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第五节 函数的幂级数展开式的应用

第五节 函数的幂级数展开式的应用. 幂级数有许多应用 , 上段我们已经用它表示. 了比较复杂的函数 , 这里再来看它在近似计算. 上的应用. 例 11 计算 sin10 0 的近似值 , 精确到 10 -4. 解 : 先把自变量化为弧度制. 在 sinx 的展开式 (6) 中 , 令 x=0.174533, 并取前面三项 , 估计误差. 例 12 求. 的近似值 , 精确到 10 -4. 在二项式级数中令 x=2/3 5 ∈(-1,1) 并取二项计算 , 由于这时. 例 13 计算 ln2 的近似值 , 要求误差不超过 0.0001.

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第五节 函数的幂级数展开式的应用

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  1. 第五节 函数的幂级数展开式的应用 幂级数有许多应用,上段我们已经用它表示 了比较复杂的函数,这里再来看它在近似计算 上的应用.

  2. 例11 计算sin100的近似值,精确到10-4. 解: 先把自变量化为弧度制. 在sinx的展开式(6)中,令x=0.174533,并取前面三项,估计误差

  3. 例12 求 的近似值,精确到10-4 在二项式级数中令x=2/35∈(-1,1)并取二项计算,由于这时

  4. 例13 计算ln2的近似值,要求误差不超过0.0001 解: 如果取这级数的前n项的和作为ln2的近似值,其误差为

  5. 为了保证误差不超过10-4,就需要取级数的前 10000项进行计算.这样做的计算量太大,我们必 须用收敛快的级数来代替它. 为了加快收敛的速度,我们要注意两点: (1)通过适当的变量代换时要保证x∈I,(I为 原级数的收敛域). (2)在f(x)的幂级数∑anxn中使|x|越小越好. 现在我们采用变形的方法,使|x|变小

  6. 利用幂级数不仅可计算一些函数值的近似值,而且可计利用幂级数不仅可计算一些函数值的近似值,而且可计 算一些定积分的近似值. 例14 求 的近似值,精确到10-4

  7. 例15 计算积分 的近似值,要求误差不超过0.0001

  8. 二. 欧拉公式 设有复数项级数为 (u1+iv1)+(u2+iv2)+…+(un+ivn)+…. (1) 其中un, vn (n=1,2,3….)为实常数或实函数.如果实 部所成的级数 u1+u2+u3+…+un+… (2) 收敛于和u,并且虚部所成的级数 v1+v2+v3+…+vn+…. (3) 收敛于和v.就说级数(1)收敛,且其和为u+iv.

  9. 如果级数(1)各项的模所构成的级数 收敛,则称级数(1)绝对收敛.如果级数(1)绝对收敛,由于 那么级数(2),(3)绝对收敛,从而级数(1)收敛. 考察复数项级数

  10. 可以证明级数(5)在整个复平面上是绝对收敛的.在x轴可以证明级数(5)在整个复平面上是绝对收敛的.在x轴 上(z=x)它表示指数函数ex,在整个复平面上我们用它来 定义复变量指数函数,记作 ez,于是ez 定义为 当x=0时,z为纯虚数iy,(6)式成为

  11. 把y换成x,上式变为 eix=cosx+isinx (7) 这就是欧拉公式 应用公式(7),复数z可以表示为指数形式: ρ 其中ρ=|z|是z的模,θ=arg z 是z的辐角 θ x

  12. 在(7)式中把x换成-x,又有 e -ix=cosx-isinx 即eix=cosx+isinx e -ix=cosx-isinx 两式相减,得到 这两个式子也叫做欧拉公式.(7)式和(9)式揭示三角函 数与复变指数函数之间的一种联系.

  13. 根据定义式(6),并利用幂级数的乘法,我们可以得到根据定义式(6),并利用幂级数的乘法,我们可以得到

  14. 特殊地,当z1=x(实数),z2=iy(纯虚数),则有 复变量指数函数ez在z=x+iy处的值是模为ex,辐角为y的复数.

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