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第三章：证明（一）

第三章：证明（一）. 回顾与思考. 直观是把“双刃剑”. 直观是重要的 , 但它有时也会骗人. 回顾与思考. 1. 定义 : 对名称和术语的含义加以描述 , 作出明确的规定 , 也就是给出它们的 定义. 2. 命题 : 判断一件事情的句子 , 叫做 命题. 注意： ① 每个命题都由 条件 和 结论 两部分组成 . 条件是已知事项 , 结论是由已知项推断出的事项 . ② 一般地 , 命题可以写成 “ 如果 …… , 那么 ……” 的形式 , 其中 “ 如果 ” 引出的部分是 条件 , “ 那么 ” 引出的部分是 结论 .

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第三章：证明（一）

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Presentation Transcript

  1. 第三章：证明（一） 回顾与思考

  2. 直观是把“双刃剑” 直观是重要的,但它有时也会骗人.

  3. 回顾与思考 1.定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定, 也就是给出它们的定义. 2.命题:判断一件事情的句子,叫做命题. 注意： ①每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知项推断出的事项. ②一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. ③正确的命题称为真命题，不正确的的命题称为假命题 ④要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例．

  4. 基础练习A: 1．下列命题中，真命题是（ ） A．有两边相等的平行四边形是菱形; B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．四个角相等的菱形是正方形; D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．下列命题是假命题的是（ ） A．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c B．互补的两个角不能都是锐角; C．乘积是1的两个数互为倒数; D．全等三角形的对应角相等

  5. 基础练习A: 3．“所有的质数都是奇数”的题设是_____， 结论是_____，它是一个_____命题． （填“真”或“假”） 4．阅读下列语句： ⑴若a∥b，b∥c，则a∥c； ⑵对顶角相等； ⑶相等的角是对顶角； ⑷若a·b=0，则a=0； ⑸两直线平行，同旁内角互补. 在上述语句中，属于真命题的是_____(填序号).

  6. 基础练习A: 5．在四边形ABCD中，给出下列论断： ①AB∥DC； ②AD=BC； ③∠A=∠C． 以其中两个作为条件，另外一个作为结论， 用“如果……那么……”的形式，写出一个 你认为正确的命题．

  7. 回顾与思考 公理:公认的真命题称为公理. 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理 的方法证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理. • 本套教材选用如下命题作为公理 : • 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等, 那么这两条直线平行; • 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; • 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; • 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; • 5.三边对应相等的两个三角形全等; • 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

  8. c c 1 a a 1 2 2 b b c a 1 2 b ☞ 平行线的判定 几何的三种语言 • 公理: • 同位角相等,两直线平行. • ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. • 判定定理1: • 内错角相等,两直线平行. • ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. • 判定定理2: • 同旁内角互补,两直线平行. • ∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.

  9. c c 1 a a 1 2 2 b b c a 1 2 b 平行线的性质 几何的三种语言 • 公理: • 两直线平行,同位角相等. • ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. • 性质定理1: • 两直线平行,内错角相等. • ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. • 性质定理2: • 两直线平行,同旁内角互补. • ∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .

  10. 1 3 5 2 4 基础练习B: 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置， 下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4； （3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°， 其中正确的个数 是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4

  11. M a 1 P 2 3 b N 图6 基础练习B: 如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上。 那么∠1+ ∠2 +∠3=____________

  12. 1 2 基础练习B: 如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个矩形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则∠1+∠2＝度.

  13. A B C 三角形内角和定理 回顾与思考 • 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. • △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. • ∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: • ∠A=1800–(∠B+∠C). • ∠B=1800–(∠A+∠C). • ∠C=1800–(∠A+∠B). • ∠A+∠B=1800-∠C. • ∠B+∠C=1800-∠A. • ∠A+∠C=1800-∠B. • 这里的结论,以后可以直接运用.

  14. A 2 3 4 1 B C D 关注三角形的外角 几何的三种语言 • 三角形内角和定理的推论: • 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. • 推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. • 推论3:直角三角形的两锐角互余. • △ABC中: • ∠1=∠2+∠3; • ∠1>∠2,∠1>∠3. 这个结论以后可以直接运用.

  15. E A D C B 例题欣赏 • 例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B= ∠C. • 求证:AD∥BC.

  16. D 2 C 3 5 E 4 1 A B F 例题欣赏 • 例2 已知:如图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE. • 求证: ∠1>∠2.

  17. A H F 2 1 B E C D 你认识外角吗? 例题欣赏 已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

  18. B D A C 你认识外角吗? 试一试 已知: 如图所示. 求证: (1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.

  19. 试一试 C D • 1.如图：将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的线段最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段AE，DE，EF，BF，CF把四个顶点连接起来） . E F A B 1题图 • 已知图中∠DAE=∠ADE=300，∠AEF=∠BFE=1200 . • 你能证明此时的AB∥EF吗？.

  20. c a 3 4 2 b 1 2题图 试一试 • 2.已知：如图，直线 a,b被 直线c所截，a∥b. • 求证：∠1+∠2=1800.

  21. C E 1 O A 2 3 4 D F B 3题图 5 试一试 • 3.已知:如图，∠1+∠2=1800. • 求证: ∠3=∠4.

  22. 基础练习B: 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C =90°， 若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于( ) A．315° B．270° C．180° D．135°

  23. 基础练习B: 一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后， 得到一个四边形，则

  24. 基础练习B: 一副三角板如图所示叠放在一起， 则图中∠α的度数是___ ______．

  25. 基础练习B: 如图所示，两平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行于α，求角θ的度数．

  26. 图19 基础练习B: 如图19，在△ABC中，BD⊥AC与D．若∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，E为线段BD上任一点． （1）试求∠ABD的度数； （2）求证：∠BEC>∠A．

  27. A E B D C 基础练习B: 某机器零件的横截面如图所示，按要求线段AB和DC的延长线相交成直角才算合格，一工人测得∠A=230，∠D=310，∠AED=1430，请你帮他判断该零件是否合格．

  28. 基础练习B: 如图10一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的∠A是120°，第二次拐的∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ）

  29. 基础练习B: 如图15，要能使AB∥ED，∠B，∠C，∠D应满足 什么条件？

  30. 基础练习B: 如图，∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，求∠FEM

  31. E D A C B F 基础练习B: 如图，BE∥DF，∠B =∠D ，求证：AD∥BC

  32. 回顾与思考 证明一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论; (2)根据题意画出相应的图形; (3)根据题设和结论写出已知,求证; (4)分析证明思路,写出证明过程.

  33. 基础练习C: 如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，那么∠BOC与∠A有什么关系呢？证明你的猜想．

  34. 基础练习C: 如图2，，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，试问∠P与∠A有什么关系？证明你的结论．

  35. 基础练习C: 如图3，△ABC中，∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点P，试问∠P与∠A有什么关系？证明你的结论．

  36. 基础练习C: 如图17（1），有两条平行直线m、n、AOB是两平行线的一折线，则我们会有这样的结论：∠O=∠1+∠2． （1）证明该结论； （2）如果将折一次改为折两次如图17（2）∠1，∠2，∠3，∠4会满足怎样的关系，证明你的结论； （3）若此折线继续折下去，折三次，折四次……折n次，又会得到怎样的结论？请你用自己的语言来描述所得到的结论（不必证明）．

  37. 有这些结论可以用: 公理 : 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 结论： (1)等角的补角相等. (2)等角的余角相等. (3)对顶角相等. (4)平行于同一条直线的两条直线平行. (5)直角三角形两锐角互余 (6)两锐角互余的三角形是直角三角形 (7)四边形的内角和等于360度 判定定理： (1)内错角相等，两直线平行. (2)同旁内角互补，两直线平行. 性质定理： (1)两直线平行，内错角相等. (2)两直线平行，同旁内角互补. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度 推论1：三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

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