Аналогия методов решения геометрических задач на плоскости и в пространстве

1. Аналогияметодов решения геометрических задач на плоскости и в пространстве Аничкина Валентина Викторовна учитель Сытьковской общеобразовательной школы

2. Метод дополнительных построений(планиметрия) . . Боковая сторона АВ трапеции АBCD равна l, а расстояние от середины CD до прямой AB равно m. Найти площадь трапеции АВСД . Достроим трапецию АВСД, продолжив АК до пересечения с ВС. Рассмотрим подобные треугольники АМК и АВF. КН перпендикулярна АВ, значит КН=m. SАМК= .Треугольники СFК и ДАК равны ( по второму признаку). SАBF=lm . SАВСД =SАВF . Ответ: SАВСД= lm. .

3. Метод дополнительных построений(стереометрия) В треугольной пирамиде РАВС все плоские углы при вершине Р прямые. Найдите площадь сферы, описанной около этой пирамиды, если РА = 2, РВ = 3, РС = 4. Достроим данную пирамиду до прямоугольного параллелепипеда (рис. 9). Как известно, его диагонали равны и имеют общую середину O. Точка O равноудалена от вершин параллелепипеда и, следовательно, является центром его описанной сферы, которая, разумеется, будет и описанной сферой пирамиды. Следовательно, радиус R сферы равен половине диагонали d параллелепипеда, а ее площадь равна

4. Метод площадей(планиметрия) В треугольнике АВС, площадь которого равна S, биссектриса СЕ и медиана BD пересекаются в точке F. Найдите площадь четырехугольника ADFE, если ВС= а, АС= b. (отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты, равно отношению сторон, к которым эти высоты проведены). Медиана ВD делит треугольник на два равновеликих треугольника АВD и ВDС. Применить свойство биссектрисы = = =. SDFС=в этом отношении . Аналогично предыдущему пункту найти площадь треугольника АСЕ. SACE= . Площадь ADFEнайти как разность площадей треугольников ACEи CFD. Ответ:

5. Метод объемов(стереометрия) Дан конус с вершиной M, радиус основания которого равен 6. На окружности его основания выбраны точки A, B, C так, что углы BMA, AMC, CMB равны 90° каждый. Точка F выбрана на дуге BC окружности основания конуса, не содержащей точки A, так, что объем пирамиды MABFC наибольший. Найдите расстояние от точки F до плоскости МАВ. Пирамида MABC правильная (рис. 11), а F — середина дуги BC . Искомое расстояние hF — это высота пирамиды MABF, опущенная на грань ABM. Высоту hC пирамиды MABC, опущенную на ту же грань, легко найти — она совпадает с ребром CM и равна hc= = * = Находим отношение hF : hC, а оно равно отношению объемов пирамид. Имеем: = = =

6. Алгебраический метод(планиметрия) Найдите площадь треугольника АВС, если АС=3, ВС=4, а медианы, проведенные из вершин А и В, перпендикулярны. Точка О – точка пересечения медиан. Рассмотреть подобие треугольников А1ОВ1 и АОВ с коэффициентом подобия . Обозначить А1О=х, В1О=у. = = = . Применим теорему Пифагора для треугольников А1ОВ и В1ОА. Из полученной системы найти х и у. А1В² =А1О² + ВО² , АВ1²= АО² + В1О², 2² =х² + ВО² , 1,5² = y² + АО² , х²= , y²= . Подставив найденные выражения , Вычислим АВ . АВ= .Находим площадь треугольника по формуле Герона: S= S=

7. Алгебраический метод(стереометрия) В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6, найдите: а) расстояние от вершины А1 до плоскости ВС1D; б) угол между диагональю ВА1 грани АА1В1В и плоскостью ВС1D Рассмотрим тетраэдр A1BC1D (рис. 5). Все его ребра — диагонали граней куба (они равны ), то есть этот тетраэдр правильный. Расстояние от его вершины A1 до грани BC1D есть его высота, и найти ее можно через объем. Тетраэдр получается в результате отрезания от куба плоскостями его граней четырех равных «прямоугольных» тетраэдров. Возьмем один из них, например, ABDA1. Площадь его основания ABD вдвое меньше площади грани куба, а высота равна высоте куба, поэтому его объем в 6 раз меньше объема куба = , ; = (1 - ) = =72 Площадь S равностороннего треугольника BDC1 равна (6 )²=18 Следовательно искомое расстояние равно =4

8. б) Если из точки P проведены к некоторой плоскости наклонная длины l и перпендикуляр h (рис. 6), то угол a между наклонной и плоскостью можно найти по формуле sin а= . В нашей задаче l=ВА1= , h=  а=arcsin =arcsin

9. Спасибо за внимание