تئوری الاستیسیته

2. تئوری الاستیسیته Theory of Elasticity كريم عابدي

3. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص

4. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص 1 - مقدمه تاكنون در فصل اول به آناليز تنش (Stress Analysis) و آناليز كرنش (Strain Analysis) پرداختيم. در فصل دوم نیز به استخراج معادلات و روابط بنيادي در تئوري الاستيسيته پرداخته و روابط تنش-كرنش را استخراج نموديم. همچنين در فصل دوم به ويژگي هاي مسائل تئوري ارتجاعي پرداختيم و معادلات تئوري ارتجاعي بر حسب تغيير مكان ها (معادلات ناويه Navier) و نيز معادلات تئوري ارتجاعي بر حسب تنش ها (معادلات سازگاري بلترامي- ميشل Beltrami-Michell) را استخراج نموديم. - اكنون مي توانيم در پرتو مباحث فوق الذكر، به بررسي و حل مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص بپردازيم.

5. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص - مسائل دو بعدي الاستيسيته از جمله مسائل خاص مي باشند كه در اين فصل مورد بحث و بررسي قرار خواهد گرفت. - منظور از مسائل دو بعدي الاستيسيته مسائلي هستند كه استفاده از دو مختصات، براي حل آنها كفايت مي كند. - از يك ديدگاه مسائل دو بعدي به دو دسته عمده تقسيم بندي مي شوند: الف) مسائل تنش مسطح (كه در آنها داريم: ) ب) مسائل كرنش مسطح (كه در آنها داريم: )

6. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص • مسائل خاص ديگري كه در اين فصل ( با استفاده از مباحث تئوري ارتجاعي ارائه شده در فصول اول و دوم) مورد بحث و بررسي قرار خواهند گرفت، عبارتند از: • الف) خمش خالص ميله ها، • ب) پيچش ميله ها، • پ) حل مسائل تقارن محوري. بحثي در مورد روش عناصر محدود و تئوري الاستيسيته و رابطه بين آنها به ويژه در ارتباط با توابع تغيير شكل

7. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص 2- مسائل تئوري ارتجاعي دو بعدي الف) كرنش مسطح (Plane Strain) • مسأله كرنش مسطح، يك مسأله خاص تئوري ارتجاعي با طبيعت دو بعدي مي باشد كه مي تواند به عنوان مثال در دو نوع رفتار سازه اي خاص پيش آيد: • *رفتار يك جسم استوانه اي شكل طويل كه محور مولد آن موازي محور X3 (يا Z) در نظر گرفته مي شود. سيستم بار توزيعي بر روي اين استوانه به گونه اي است كه مؤلفه سوم بردار جابجايي حذف و در عين حال دو مؤلفه ديگر جابجايي در راستاي X3 ثابت بوده يعني مستقل از X3 مي باشند. • * رفتار يك سد طويل، نمونه ديگري از مسأله كرنش مسطح مي باشد.

8. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص

9. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص بنابراين يك جسم هنگامي در وضعيت تغيير شكل مسطح يا كرنش مسطح است (به عنوان مثال موازي سطح X1X2) كه مؤلفه U3 بردار تغيير مكان آن حذف و مؤلفه هاي U1 و U2 آن فقط تابعي از متغيرهاي X1 و X2 بوده يعني مستقل از X3 باشند. به عبارت ديگر تغيير شكل مسطح توسط روابط زير مشخص مي شود: و

10. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص - با توجه به روابط ذكر شده، روابط كرنش – تغيير مكان زير را خواهيم داشت: و به صورت اندیسی داریم:

11. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص از روابط تنش-کرنش نیز داریم (بر حسب ضرایب لامه): بنابراين ملاحظه مي شود كه در حالت كرنش مسطح، تنش ها مي توانند حالت سه بعدي داشته باشند، يعني الزاما مساوي صفر نيست.

12. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص برحسب ضرايب هوك نيز داريم: كه عكس آنها به صورت زير در مي آيد:

13. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص مي توان نشان داد كه . به عبارت ديگر متناسب با مي باشد و لذا فقط تابعي از X1 و X2 مي باشد. بنابراين معادلات تعادل تنش به صورت زير در مي آيد: با توجه به اينكه مؤلفه هاي تنش، تابعي از X1 و X2 هستند، ‌دو معادله اول تعادل منجر به اين نكته مي شود كه B1و B2 نيروي حجمي فقط تابعي از X1 و X2 باشند و معادله سوم نشان مي دهد كه مؤلفه سوم نيروهاي حجمي بايستي صفر باشد، زيرا مستقل از X3 مي باشد.

14. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در حالت كرنش مسطح، از شش رابطه سازگاري كرنش ها،‌ فقط يك رابطه باقي مي ماند كه به صورت زير است: معادلات ناويه يا معادلات تئوري ارتجاعي برحسب مؤلفه هاي تغيير شكل نيز به صورت زير درمي آيند :

15. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص كه در آنها داريم: معادلات بلترامي- ميشل يا معادلات تئوري ارتجاعي برحسب مؤلفه هاي تنش نيز به صورت زير در مي آيند:

16. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص شرايط مرزي مربوط به تنش ها نيز به صورت زير در مي آيند: مشخص است كه نيروي سطحي T با مؤلفه هاي T1 و T2و T3 فقط بايد تابعي از X1 و X2 باشد. همچنين روشن است كه در يك مسئله كرنش مسطح، مؤلفه سوم نيروهاي سطحي اعمالي مي تواند صفر نباشد.

17. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در مختصات استوانه اي براي حالت كرنش مسطح داريم: روابط كرنش – تغيير مكان در دستگاه مختصات استوانه اي عبارتند از:

18. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص معادلات تعادل تنش ها عبارتند از: طبیعی است که BZ باید مساوی صفر باشد. تنها رابطه سازگاري كه باقي مي ماند عبارت است از:

19. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در دستگاه مختصات استوانه اي، روابط تئوري ارتجاعي برحسب مؤلفه هاي تغيير مكان به صورت زير در مي آيند (معادلات ناويه): در دستگاه مختصات استوانه اي، روابط تئوري ارتجاعي برحسب مؤلفه هاي تنش بصورت زير در مي آيند (معادله سازگاري بلترامي - ميشل):

20. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص ب) تنش مسطح (Plane Stress) مسئله تنش مسطح، يك مسئله خاص تئوري ارتجاعي با طبيعت دو بعدي مي باشد كه مي تواند به عنوان مثال در سه نوع رفتار سازه اي خاص پيش آيد: * رفتار يك صفحه تحت اثر نيروهاي درون صفحه اي (In-plane Forces)، * تير تحت اثر كنش هاي درون صفحه اي، * ديوارهاي برشي.

21. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص بنابراين در حالت تنش مسطح، مؤلفه هاي تنش در راستاي X3 حذف و مؤلفه هاي تنش در راستاي X1 و X2 صرفاً توابعي از X1 و X2 مي باشند. به عبارت ديگر داريم: اگر معادله سوم تنش - کرنش را مساوي صفر قرار دهيم، در اين صورت به صورت زير بدست مي آيد:

22. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص از طرف ديگر داريم: روابط مذكور به صورت معكوس به صورت زير در مي آيند: ملاحظه مي شود كه فقط تابعي از X1 وX2است.

23. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص معادلات تعادل به صورت زير در مي آيد: بنابراين در يك مسئله تنش مسطح، نيروي حجمي در راستاي X3 بدون مؤلفه بوده و مؤلفه هاي آن در دو راستاي ديگر يعني B1و B2 مستقل از X3 مي باشند. از روابط سازگاري، فقط چهار رابطه باقي مي ماند:

24. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص سه رابطه آخر نشان مي دهند كه تابع یك تابع خطي است، يعني داريم: كه در آن C0 و ‍C1 و C2 ضرايب ثابتي هستند. معادلات ناويه يا معادلات تئوري ارتجاعي برحسب مؤلفه هاي تغيير شكل نيز به صورت زير در مي آيند:

25. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص معادلات بلترامي – ميشل يا معادلات تئوري ارتجاعي برحسب مؤلفه هاي تنش نيز به صورت زير در مي آيند: شرايط مرزي مربوط به تنش ها نيز به صورت زير نوشته مي شوند: بنابراين در يك مسئله تنش مسطح، مؤلفه سوم نيروهاي اعمالي سطحي، صفر مي باشد.

26. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص از روابط بلترامي – ميشل براي حالات تنش مسطح و كرنش مسطح ملاحظه مي شود كه اگر نيروهاي حجمي صفر باشند و يا ثابت باشند، در اين صورت توزيع تنش در سطوحي به موازات OX1X2 براي مسائل تنش مسطح و كرنش مسطح يكسان بوده و اين توزيع تنش بايد معادله و معادلات تعادل را ارضا نمايند. معادلات بلترامي – ميشل برای کرنش مسطح: معادلات بلترامي – ميشل برای تنش مسطح: در مختصات استوانه اي براي حالت تنش مسطح داريم:

27. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص روابط بين كرنش – تغيير مكان به صورت زير نوشته مي شوند: روابط تنش – كرنش و معادلات تعادل و معادلات ناويه هم به راحتي به دست مي آيند. معادلات سازگاري بلترامي – ميشل براي حالت تنش مسطح به صورت زير در مي آيد:

28. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص پ) تابع تنش ايري (Airy's Stress Function) در بخش هاي قبلي معادلات تعادل براي مسائل كرنش مسطح و تنش مسطح توسعه داده شد. در هر دو حالت تنش مسطح و كرنش مسطح نشان داديم كه مؤلفه هاي سوم نيروهاي حجمي ((B3 بايستي صفر باشند و مؤلفه نيروهاي حجمي B1 و B2 صرفاً تابعي از X1 و X2 مي باشند. در عمل يك تابع به نام تابع پتانسيل را تعريف مي كنيم، هنگامي كه B1و B2 را بتوان به صورت زير بيان نمود:

29. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در اين صورت معادلات تعادل (چه در حالت تنش مسطح و چه در حالت كرنش مسطح) به صورت زير بيان مي شوند: حال اگر تابع تنش را بگونه اي انتخاب كنيم كه داشته باشيم (در دو حالت تنش مسطح و كرنش مسطح): مشخص است كه با اين انتخاب، معادلات تعادل (چه در حالت تنش مسطح و چه در حالت كرنش مسطح) ارضاء مي شوند.

30. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص از طرفی معادلات بلترامي – ميشل (يا معادلات تئوري ارتجاعي برحسب مولفه هاي تنش) در حالت كرنش مسطح به صورت زير در آمده بودند: اگر را كه برحسب مي باشند، و نیز B1و B2را که بر حسب V می باشند، در معادله بالا جایگذاري كنيم خواهيم داشت: يا به اختصار مي توان نشان داد كه:

31. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در غياب نيروهاي حجمي و یا در صورت ثابت بودن آنها خواهيم داشت: بنابراين آناليز مسئله كرنش مسطح در تئوري الاستيسيته منجر به حل معادله زیر : و يا معادله مي گردد. يعني بايد تابع تنش ψ را بگونه اي پيدا كنيم كه در يكي از دو معادله فوق صدق كند و شرايط حدي مربوط به تغيير مكان ها و تنش ها را نيز ارضا نمايند. در ارتباط با مسئله تنش مسطح گفتيم كه معادلات بلترامي – ميشل يا معادلات تئوري ارتجاعي به صورت زير در آمدند:

32. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص از جاگذاري كه برحسب مي باشند و نيز B1 و B2 كه برحسب V مي باشند، نتيجه زير براي حالت تنش مسطح به دست مي آيد: در غياب نيروهاي حجمي و یا در صورت ثابت بودن آنها خواهيم داشت: بنابراين در حالت های معمول ( در غياب نيروهاي حجمي و یا در صورت ثابت بودن)، حل مسائل الاستيسيته در حالت دو بعدي، منجر به حل معادله مي شود. در اينجا بايد به نكته اي اشاره شود:

33. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص در بررسي مسائل تنش مسطح گفتيم كه از روابط سازگاري براي حالت تنش مسطح، فقط چهار رابطه زير باقي مي مانند: از رابطه اول، همان معادله بلترامي – ميشل زير به دست مي آيد: از سه رابطه ديگر سازگاري نيز روابط زير برحسب تابع تنش بدست مي آيد: كه آنها نيز بايد توسط ارضا شوند.

34. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص چنانچه نيروهاي حجمي صفر يا مقداري ثابت باشند، از رابطه فوق نتيجه مي شود كه بايد به صورت زير باشد: كه در آن ‍C1 تاC3 سه ضريب ثابت اختیاری هستند. اگر شرايط سه گانه بالا در مورد را ناديده بگيريم، که فقط موجب خطاي جزئي در توزيع تنش مي گردد (و اغلب نتایج حاصل نیز با تقریب خوبی به واقعیت نزدیک است)، در صورتي كه نيروهاي حجمي صفر يا مقداري ثابت باشد، خواهيم داشت: كه نشان مي دهد كه براي شرايط مرزي داده شده، مسائل تنش مسطح و مسائل نظير آن در كرنش مسطح داراي توزيع تنش هاي مشابهي مي باشند.

35. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص ت) نحوه حل مسائل الاستيسيته دوبعدي با استفاده از تابع تنش ايري معمولاً ‌براي حل مسائل دوبعدي تئوري ارتجاعي (تنش مسطح و كرنش مسطح)، بايد با توجه به شرايط مرزي مربوط به تنش ها، تابع تنش ايري مناسب را حدس زد. روش رايج براي اين منظور در نظر گرفتن تابع چند جمله اي براي تابع تنش ايري است. به عنوان مثال اگر چند جمله اي زير را در نظر بگيريم: كه در آنها ضرايب a و b و c و ... ضرايب ثابتي هستند. تركيب اين ضرايب ثابت را مي توان به نحوي اختيار نمود كه تابع ، شرايط مرزي را ارضاء نمايد.

36. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص كليه جملات تا توان سوم، معادله را ارضاء مي نمايد ولی برای جملات داراي توان چهارم و بيشتر، بايد بين ضرايب آنها روابطي برقرار گردد تا ارضاء شود. بنابراين پيش بيني يك چند جمله اي براي تابع مركب از جملاتي با ضرايب نامعلوم و جانشين كردن آن در معادله و همچنين ارضاي شرايط مرزي تنش ها، منجر به يافتن ضرايب آن چند جمله اي مي شود و بدين طريق جوابی براي مسئله مورد نظر آماده مي شود. به عنوان مثال تابع تنش را به صورت زير در نظر مي گيريم:

37. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص كه در آن a1 و a2 و a3 سه ضريب ثابت مي باشند. مشخص است كه تابع فوق در معادله صدق مي كند. حال اگر بر اساس اين تابع و با توجه به عبارات زير: مؤلفه هاي تنش را محاسبه كنيم، خواهيم داشت:

38. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص يعني تنش ها در كليه نقاط جسم ثابت مي باشند، بنابراين تابع مذكور براي شرايطي مناسب است كه نمايانگر تنش يكنواخت در محدوده جسم مورد مطالعه باشد. واضح است كه در اين صورت تنش هاي مرزي جسم نيز بايستي به شكلي، گوياي مؤلفه هاي تنش مذكور ارائه شده باشد. يعني:

39. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص اگر يك چند جمله اي درجه 3 به صورت زير كه در آن a1 تا a3 و b1 تا b4ضرايب ثابتي هستند، مورد استفاده قرار دهيم، در اين صورت خواهيم داشت: مجدداً هرگاه اين تابع را در معادله بكار بريم، معادله مذكور به صورت بديهي ارضاء مي شود. مؤلفه هاي تنش از روابط مربوطه به صورت زير بدست مي آيند:

40. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص عبارات فوق نشان دهنده تغييرات خطي هر سه مؤلفه تانسور تنش در هر دو راستاي x1 و x2 مي باشد. واضح است كه در اين صورت تنش هاي مرزي جسم نيز بايستي به شكلی، گوياي مؤلفه هاي تنش مذكور ارائه شده باشند. براي يك صفحه مستطيلي اگر فرض شود كه تمامي ضرايب به جز b4 مساوي صفر باشند، در اين صورت خواهيم داشت: مؤلفه هاي تنش به صورت زير بدست مي آيند: كه بيانگر حالت خمش خالص مي باشد، ‌يعني داريم:

41. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص اكنون بايد بررسي كنيم كه آيا تابع انتخاب شده تنش، شرايط مرزي را ارضاء مي كند يا نه؟ مشخص است كه شرايط مرزي به شرطي كاملاً روي تمامي سطوح ارضاء مي شود كه در روي سطوح x1=0 و x1=L داشته باشيم: كه در آن A سطح مقطع است. شرايط مرزي دوم با جايگذاري مقدار تنش به صورت زير به دست مي آيد:

42. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص با توجه به اينكه داريم: بنابراين به صورت زير به دست مي آيد: و ، كه همان جواب كلاسيك خمش خالص تير است.

43. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص لازم به ذكر است، هرگاه چند جمله اي ديگري با درجه بيش از 3 اختيار كنيم، ‌در اين صورت معادله به طور طبيعي ارضاء نشده و لذا ايجاب مي كند كه روابطي بين ضرايب آن چند جمله اي ايجاد گردد تا معادله ارضاء شود. بديهي است كه در اين صورت توزيع تنش، تابع درجه 2 يا بالاتر، از x1 و x2 در مي آيد. به عنوان مثال اگر تابع تنش را بصورت چند جمله اي درجه 4 اختيار كنيم: و در معادله جايگذاري كنيم، در مي يابيم كه معادله مذكور هنگامي ارضاء مي شود كه داشته باشيم:

44. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص مؤلفه هاي تنش در اين حالت عبارتند از: بدیهی است که ضرایبa4و b4وc4و d4ضرایب اختیاری می باشند و با تنظیم آنها می توان شرایط متنوع بارگذاری یک صفحه مستطیلی را به دست آورد. بنابراین توزیع بارگذاری زیر به دست می آید: به عنوان مثال، در حالت خاص خواهيم داشت:

45. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص به همين ترتيب اگر چند جمله اي از مرتبه 5 را به صورت زير براي تابع تنش تصور كنيم: و در معادله جايگذاري كنيم، در مي يابيم كه معادله مذكور هنگامي ارضاء مي شود كه داشته باشيم: مؤلفه هاي تنش نيز عبارتند از: بدیهی است با تنظیم ضرایب اختیاری می توان شرایط متنوع بارگذاری یک صفحه مستطیلی را به دست آورد.

46. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص 3- خمش تير يك سرگيردار تحت اثر بار متمركز – مقطع مستطيلي تير يك سر گيردار را با مقطع مستطيلي يكنواخت در نظر گرفته و فرض مي كنيم كه اين تير تحت اثر بار متمركز P در انتهاي آزاد خود مي باشد.

47. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص مسئله مذكور را به عنوان يك مسئله تنش مسطح تلقي نموده و آن را براي حالت بدون نيروي حجمي حل مي كنيم. ابتدا شرايط مرزي را براي اين مسئله مشخص مي نماييم. در خواهيم داشت: در x =0 نيز خواهيم داشت: از آنجا که لنگر خمشی در هر مقطع تیر تابع خطی x بوده و از طرفی می دانیم که لنگر مقطع بایستی توسط تنش های σxخنثی گردد، بنابراین به سهولت می توان دریافت که تابع تنش عمودی σxیک تابع خطی از x خواهد بود. پس خواهیم داشت: که در ان باید f (y) باید مشخص شود. فرض مي كنيم: که در آن c4یک ضریب ثابت است.

48. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص اگر از اين تابع دو بار نسبت به متغير y انتگرال گيري كنيم، تابع تنش ايري تعيين مي گردد (زيرا ): توابع f1(x) و f2(x) هر دو توابعی ازxمی باشند که بايد با توجه به ارضای معادله تعیین شوند. بنابراین خواهیم داشت: چون توابع f1(x) و f2(x) فقط بستگی بهx دارند، لذا معادله مذکور در صورتی ارضا می شود که روابط زیر برقرار باشند: با انتگرال گيري از اين معادلات داريم:

49. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص که کلیه ضرایب به کار رفته در معادلات فوق ضرایب ثابتی می باشند که با استفاده از شرایط مرزی تعیین می شوند. پس تابع تنش به صورت زير در مي آيد: با داشتن تابع تنش فوق مي توان مؤلفه هاي تنش را محاسبه نمود: یا می توان آنها را به صورت زیر نوشت:

50. فصل سوم: مسائل تئوري ارتجاعي در حالات خاص اكنون با داشتن مولفه هاي تانسور تنش، شرايط مرزي را اعمال مي نماييم. بنابراين تابع تنش ايري به شكل زير خواهد بود: كه در معادله مذكور، با توجه به بي اثر بودن درجه كمتر از يك، جملات مذكور حذف شده اند.