4.3 　連立１次方程式

4.3　連立１次方程式 Ax = b(23) と書くことができる。

行列Aとベクトルbが既知で、xのn個 の要素が未知であるとする。次のような係数の行列に右辺項を加えて拡張された行列 B= を考えると、連立1次方程式が解をもつ　　　ための必要十分条件は rank A = rank B (24) が成り立つことである。

|A|≠0 の場合は，逆行列A-1が存在するので (25) がただ１つの解である。ここに、行列式|A| における要素ai jの余因子Ai jによる行列をつくり、それを転置させて得られる行列を余因子行列といい、次のように書く。の定義と行列の積の定義から (26) が得られる。→Cramer(クラーメル)の公式

例題2 解　問題の連立方程式は次のように書ける。 -14 2 4 5 -1 -1 2 11 -1 -3 １×(-1)×2 ＋１×3×3＋１×2×4 　－１×(-1)×3－１×2×2－１×3×4＝2

P.112～ 3.4.4　ガウスの消去法 • 連立１次方程式を解く解法としては，ガウスの消去法(Gaussian elimination)，ガウスジョルダン法(Gauss-Jordann elimination)，LU分解法，ガウス・ザイデル法などが知られている． • ここでは，これらのうちで比較的分かり易く，かつ，実用的でもあるガウスの消去法を使うこととする．

3 96 12 ×(3/2) 1 32 4 ×(1/2) 3-37-9 2-6 6-12 1-12-3 3-2 7-4 　まず，x1の係数に着目し，　式(b)－式(a)× rb, rb = (式(b)のx1項の係数) / (式(a)のx1項の係数) = 3/2 式(c)－式(a)× rc, rc = (式(c)の x1項の係数) / (式(a)のx1項の係数) = 1/2 により，次のように変形する．

-1-2-3 次に，x2 の係数に着目し，式(c′)－式(b′)×r c‘ , rc’ = (式(c′)の x2項の係数) / (式(b′)のx2項の係数) = 1/2により，次のように変形する．ここまでの操作を前進消去と呼ぶ． -1-(-1) 3-(-3) 1-(-2)

前進消去により得られた連立１次方程式で， まず式(c″)より x3＝6/3＝2 が求められる．次に，この結果を式(b′)に代入するとx2＝[－6－{(―4)×2}]/（－2）＝－1が求められる．さらに，これらの結果を式(a)に代入すると x1＝[8－(4×2)－{6×(－1)}]/2＝3が求められる．このようにして解を求める操作を，後退代入と呼ぶ．

4.3 連立１次方程式