Лектор Пахомова Е.Г.

1. Дифференциальные уравнения Тема: Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (однородные с постоянными коэффициентами, уравнения Эйлера) Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г.

2. 3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Пусть линейное однородное уравнение имеет вид y(n) + a1y(n – 1) + … + an – 1y +  any = 0 , (10) где a1,a2,…,an – некоторые действительные числа. Уравнение (10) называется линейным однородным уравнением n–го порядка с постоянными коэффициентами. Решения уравнения (10) будем искать в видеy = ex , где  – некоторая постоянная. Имеем: y=ex, y=2ex, y=3ex, … , y(n)=nex. Подставляем y ,y,y, …,y(n) в уравнение (10) и получаем: nex + a1n – 1ex + … + an – 1ex +  anex = 0 , n  + a1n – 1  + … +an–1 +an =0. (11)

3. Уравнение (11) называется характеристическим уравнением (для) уравнения (10). Многочлен в левой части (11) называется характеристичес-ким многочленом, Корни уравнения (11) называются характеристическими корнями уравнения (10). Замечания. 1) Формально характеристическое уравнение(11) получается из (10) заменой производных искомой функции на соответ-ствующие степени , а самой функции – на 0 = 1 . 2) Уравнение (10) – алгебраическое уравнение n-й степени.  оно имеет n корней, но 1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность; 2)корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены). Следовательно, функции вида ex в общем случае не дадут всю ф.с.р. уравнения (10).

4. ТЕОРЕМА 6. Пусть – характеристический корень уравнения (10). Тогда 1) еслиℝи – простой корень уравнения (11), торешением уравнения (10) является функцияex; 2)еслиℝи – корень кратностиk уравнения (11) , то решениями уравнения (10) являются функции ex, xex, x2ex,  …,  xk – 1ex; 3) если=a+biℂи – простой корень уравнения (11), то ̄=a–biтоже является простым корнем уравнения (11), а решениями уравнения (10) являются функции eax cosbx, eax sinbx; 4) если=a+biℂи – корень кратностиk уравнения(11), то ̄=a–biтоже является корнем кратностиkуравнения (11), а решениями (10) являются функции eax cosbx, xeax cosbx, x2eax cosbx, …, xk –1eax cosbx eax sinbx, xeax sinbx, x2eax sinbx, …, xk –1eax sinbx. Решения, относящиеся к различным характеристическим корням, линейно независимы и найденные таким образом n решений уравнения (10) будут образовывать его ф.с.р.

5. ПРИМЕР 1. Найти общее решение уравнения ПРИМЕР 2. Найти общее решение уравнения ПРИМЕР 3. Найти общее решение уравнения

6. 4. Уравнения Эйлера Линейное однородное уравнение вида xny(n) + a1xn – 1y(n – 1) + … + an – 1xy +  any = 0 , (12) (где aiℝ) называется уравнением Эйлера. Уравнение Эйлера сводится к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентамизаменой x = et .  фундаментальная система решений уравнения (12) состоит из функций вида x   ↔   et  ; lnℓxx   ↔   tℓet  ; x cos(lnx) ,  x sin(lnx)   ↔   eat cosbt , eat sinbt   ; lnℓxxcos(lnx),  lnℓxxsin(lnx)   ↔   tℓ eatcosbt, tℓ eatsinbt .

7. Замечание. На практике, при интегрировании уравнения Эйлера, можно сразу записать его характеристическое уравнении. Действительно, характеристическое уравнение – это условие для , при котором et является решением ЛОДУ. Но et= x. Следовательно, то же самое условие для  полу-чится, если потребовать, чтобы функция y = x являлась решением уравнения (12). ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения

8. 5. ЛОДУ 2-го порядка, с произвольными коэффициентами Рассмотрим уравнение y+a1(x)y+a2(x)y=0.(13) Пусть y1(x) любое ненулевое решение уравнения (13). Тогда его общее решение имеет вид ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения , если известно, что его решением является функция