Spacecraft Dynamics and Control

1. Spacecraft Dynamics and Control Space Research Institute R. Esmaelzadeh Fall 2013

2. References • Bate, R. R., et al. (1971). Fundamentals of astrodynamics. New York,, Dover Publications. • Campbell, B. A. and S. W. McCandless (1996). Introduction to space sciences and spacecraft applications. Houston, Tex., Gulf Pub. • Regan, F. J. and S. M. Anandakrishnan (1993). Dynamics of atmospheric re-entry. Washington, DC, American Institute of Aeronautics and Astronautics. • Sellers, J. J., et al. (2005). Understanding space : an introduction to astronautics. New York, McGraw-Hill Companies. • Sidi, M. J. (1997). Spacecraft dynamics and control : a practical engineering approach. Cambridge; New York, Cambridge University Press. (ترجمه شده: دینامیک و کنترل فضاپیما، انتشارات جاودان خرد، ترجمه اسماعیل زاده و همکاران، ۱۳۹۰.) • Tewari, A. (2007). Atmospheric and space flight dynamics : modeling and simulation with MATLAB and Simulink. Boston, Mass., Birkhäuser. • Vallado, D. A. and W. D. McClain (1997). Fundamentals of astrodynamics and applications. Dordrecht ; Boston, Kluwer Academic Publishers. • Wie, B. (1998). Space vehicle dynamics and control. Reston, VA, American Institute of Aeronautics and Astronautics. • Zipfel, P. H. (2007). Modeling and simulation of aerospace vehicle dynamics. Reston, Va., American Institute of Aeronautics and Astronautics. (ترجمه شده: مدلسازی و شبیه‌سازی دینامیک اجسام پرنده، انتشارات دانشگاه صنعتی امیرکبیر، ترجمه اسماعیل زاده و الهیان، ۱۳۹۰.) • Some Personal Notes & Internet Materials R. Esmaelzadeh

3. Course Grades اصل خود جذبه است لیک ای خواجه تاش کار کن موقوف آن جذبه مباش • 50% Final Exam • 50% Homework • Arbitrary: + up to 5 for accepted paper! • فقط ارسال به یکی از ایمیل‌های زیر rsmael@gmail.comoresmaelzadeh@aut.ac.ir • درج پاسخ در www.space4u.blogfa.com R. Esmaelzadeh

4. The following journals publish papers on space dynamics and Control: • Acta Astronautica • Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy • Johns Hopkins APL Technical Digest • Journal of Guidance, Control and Dynamics • Journal of Spacecraft and Rockets • Journal of the Astronutical Sciences • Journal of the British Interplanetary Society • RCA Review • مجله(علمی پژوهشی) علوم و فناوری فضایی ( پژوهشگاه هوافضا) • مجله(علمی پژوهشی) JAST انجمن هوافضا • مجله (علمی پژوهشی) دانش و فناوری هوافضا (مجتمع هوافضا مالک اشتر) R. Esmaelzadeh

5. Introduction [Tewari] R. Esmaelzadeh

6. Introduction:Modeling [Tewari] • Idealization: Simplifying assumptions (point mass/rigid/flexible body, 2/3/6DOF, flat/spherical/nonrotational/rotational/ earth, …) must be carefully carry out so that the essential characteristics of the motion under study are not lost. • selection a set of motion variables (DoF), 3 translational degree for cg & 3 attitude degree for orientation • اینشتین: سعی کنید مسائل را تاحد امکان ساده کنید اما نه پیش پا افتاده! • Selection of Reference Coordinate Frame for expressing the equations of motion. • Derivation of Governing Equation of MotionConsistent with the Idealization • Kinematic equations: only consider the geometric relationships among the motion variables • Dynamic (or kinetic) equations: derived by taking into account the physical laws of motion R. Esmaelzadeh

7. Introduction:Why Simulation? [Tewari] • Developing Performance Requirements • Guiding & Validating Design • Test Support • Reducing Test Cost • Investigating Inaccessible Environments • Pilot & operator Training • Practicing Dangerous Procedures • Gaining Insight into Flight Dynamics • Integrating Components • Entertainment R. Esmaelzadeh

8. Introduction:Simulation [Tewari] • Numerical solution of EOF with a good accuracy • Programming Language & Software: • Matlab/Simulink(Aerospace Blockset) • FORTRAN • C • Basic • Java • Pascal R. Esmaelzadeh

9. Basic Mathematical Concepts:Vector Production [Tewari]  • اندازه بردار حاصلضرب برداري برابر با مساحت متوازي‌الاضلاع با گوشه‌هاي Aو Bاست R. Esmaelzadeh

10. Basic Mathematical Concepts:Vector Production- Continue [Zipfel] • حاصلضرب Dyadic: • كاربرد: يافتن تصوير بردار t روي برداري u: • تمرين1: برنامه‌ای بنویسید که دو بردار را دریافت نموده و با فراخوانی یک تابع تصویر یکی را روی دیگری محاسبه نماید. توجه: توابع باید به همراه برنامه اصلی که فراخوانی درآن انجام می‌شود نوشته شوند R. Esmaelzadeh

11. Basic Mathematical Concepts:Vector Variation [Tewari] • Time derivative of a vector Where A denotes the total change caused by changes in both magnitude and direction هردو طرف معادله فوق در يك دستگاه مي‌باشند. R. Esmaelzadeh

12. Coordinate Systems [Zipfel] مرجع [ANSI/AIAA R-004-1992] 11 دستگاه مختصات استاندارد معرفي نموده است • Heliocentric System Space fixed coordinate system: 0 - At the center of the Sun XI – Directed to vernal equinox YI - Completes right-hand triad ZI – Normal to ecliptic & directed up • Geocentric-Inertial (J2000) System Space fixed coordinate system: 0 - At the center of the Earth XI – Directed to vernal equinox YI - Completes right-hand triad ZI - Coincident with the Earth’s axis of rotation in the direction of north • بسته به كاربرد دستگاه اينرسي تعريف مي‌شود؛ مي‌توان محورx را در تلاقي نصف‌النهار گرينويچ(يا نقطه پرتاب) و استوا قرار داد يا دستگاه اينرسي در لحظه پرتاب منطبق بر دستگاه پرتاب باشد. R. Esmaelzadeh

13. Coordinate Systems-Continue • Geocentric earth-fixed system Earth fixed coordinate system (rotating with the Earth): 0 - At the center of the Earth XE - Through the intersection of the equator and the Greenwich meridian YE - Completes right-hand triad ZE - Coincident with the Earth axis in the direction of north • Geographic (Geocentric) Coordinate System 0 - At the vehicle center of mass projection to the earth surface xG - North direction yG - East direction zG - Directed to the center of the Earth • در پروازهاي نزديك سطح زمين و سرعت كمتر از 5 ماخ از دستگاه افق محلي(Local-level) يا NEDاستفاده مي‌شود كه تفاوتش با جفرافيايي در جهت بردار z آن بوده كه عمود بر افق محلي است نه به سمت مركز زمين R. Esmaelzadeh

14. Coordinate Systems- Continue • Body Axis (Missile) System 0 - At the vehicle center of mass xB - Coincident with the vehicle longitudinal axis, positive forward yB - Coincident with the vehicle lateral axis, positive to the right در موشك‌هاي متقارن اين محور با سطوح آيروديناميكي يا هندسي تنظيم مي‌شود zB - Coincident with the vehicle normal axis, direction to form right-hand triad • اصولاً محورها در جهت محورهاي اصلي اينرسي قرار دارند • Stability System 0 - At the vehicle center of mass xs – is parallel & directed to projection of the velocity vector wrt air on oxBzB ys - Coincident with oyB axis zs - direction to form right-hand triad R. Esmaelzadeh

15. Coordinate Systems- Continue • Wind Coordinate System for Aircraft 0 - At the vehicle center of mass xw – is parallel & directed to the relative velocity vector wrt air yw - direction to form right-hand triad zw – lies in the aircraft’s plane of symmetry & aligning with ozs نيروي برا در صفحه تقارن هواپيما و در امتداد این محور ايجاد مي‌شود • Aeroballistic Coordinate System for missiles 0 - At the vehicle center of mass xR – Coincident with oxB yR - direction to form right-hand triad zR – (with xR) lie in the load factor plane directed down این دستگاه یک نوع دستگاه بدنی برای موشک‌هاست R. Esmaelzadeh

16. Coordinate Systems- Continue • Aeroballistic wind Coordinate System for missiles 0 - At the vehicle center of mass xA – is parallel & directed to the relative velocity vector wrt air yA - direction to form right-hand triad & on oyBzB zA – (with xA) lie in the load factor plane directed down • Flight-path Coordinate System 0 - At the vehicle center of mass xv – is parallel & directed to the relative velocity vector wrt Earth yv – in horizontal plane (oxGyG) zv – direction to form right-hand triad R. Esmaelzadeh

17. Orbiter-based Coordinate Systems [Vallado] • Satellite Coordinate System 0 - At the satellite center of mass xo – (or R) pointing from Earth’s center along the radius vector toward satellite yo – (or S) is normal xo in the direction (not coincides) of the velocity vector zo – (or W) is normal to the orbital plane • Perifocal Coordinate System 0 - At the center of the Earth xp (or P) – direction to perigee yp (or Q) – is normal to xp in direction of satellite motion zo (or W) – is normal to the orbital plane to form right-hand triad R. Esmaelzadeh

18. Axis Transformation • Directional Cosine Matrix (DCM) • Euler Axis & Principal Angle • Euler Angles • Quaternion • Rodrigues Parameters R. Esmaelzadeh

19. Axis Transformation:DCM [Regan] R. Esmaelzadeh

20. Axis Transformation: DCM- Example [Tewari] R. Esmaelzadeh

21. Axis Transformation: Euler Axis & Principal Angle [Tewari]  • For • The Euler axis correspond to the real eigenvalue. R. Esmaelzadeh

22. Axis Transformation: Euler Axis & Principal Angle- Example [Tewari] R. Esmaelzadeh

23. Axis Transformation: Euler Angles • با سه دوران متوالی از یک دستگاه به دستگاه دیگر می‌توان انتقال یافت. برحسب توالي دوران حول محورها، 12 ماتريس دوران برابر حاصل خواهد شد(6تا بادوران‌هاي غيرتكراري و 6تا با دوران‌هاي اول و سوم تكراري- شرط آن عدم توالی دوران حول یک محور می‌باشد) • انتخاب هريک بستگي به كاربرد دارد. معمولاً براي کاربردهاي هواپيمايي A321=A1()A2()A3()[Sidi]=A1(1)A2(2)A3(3)[Regan]=A1(R3)A2(R2)A3(R1)[Simulink] وبراي کاربردهاي فضايي A313=A3(2)A1()A3(1)[Sidi]=A3(1)A1(2)A3(3)[Regan]=A3(R3)A1(R2)A3(R1) [Simulink] • A1(R1)A2(R2) A3(R3): A3(R3)A2(R2)A1(R1) A2(R3)A1(R2)A2(R1) • A2(R3)A3(R2)A1(R1) A2(R3)A3(R2)A2(R1) • A1(R3)A2(R2)A1(R1) A1(R3)A2(R2)A3(R1) • A1(R3)A3(R2)A1(R1) A2(R3)A1(R2)A3(R1) • A1(R3)A3(R2)A2(R1) A3(R3)A2(R2)A3(R1) • A3(R3)A1(R2)A2(R1) A3(R3)A1(R2)A3(R1) • Aiها ماتریس‌های پایه دوران هستند.زواياي اويلر در اين 12حالت الزاماً برابر نيستند ولی ماتریس‌های دوران باهم برابر و برابر با DCM هستند و شکل ماتریس‌های دوران فقط در زوایای اویلر کوچک باهم برابر می‌شوند (مثال DCMvsEulers). R. Esmaelzadeh

24. Axis Transformation: Euler Angles- Continue [Sidi] • برای شش دوران نوع اول با ادبیات کتاب Sidi داریم:  • تمرين2: برنامه‌ای بنویسید که زوایای اویلر و ترتیب دوران‌ها را گرفته و ماتریس دوران کلی را از دوران های پایه محاسبه نماید(معادل تابع angle2dcm متلب). R. Esmaelzadeh

25. Axis Transformation: Quaternion [Tewari] • کواترنیون هم اسکالر و هم بردار است و هم هیچکدام! سه جزء آن عناصر برداری و یک جزء آن مرتبط با زاویه دوران است. • تفاوت این روش با روش زاویه اصلی و محور اویلر در این است که استخراج کواترنیون‌ها از ماتریس دوران به توابع مثلثاتی نیاز ندارد. در بعضی از مراجع q4=q0 • واضح است ماتریس دوران فوق همان ماتریس DCM است. • در بعضی از مراجع شکل زیر برای ماتریس فوق ارائه شده است که عملاً برابرند. R. Esmaelzadeh

26. Axis Transformation: Quaternion – Continue [Tewari] • اگر ماتريس دوران اوليه يا DCMمعلوم باشد: oraij=cij • بيشترين دقت متعلق به حالتي است که بزرگترين مخرج را داشته باشد • اگر زواياي اويلر اوليه معلوم باشد برای 321 داریم: • برای سایر ترتیب‌ها می‌توان از توضیح صفحه بعد استفاده نمود R. Esmaelzadeh

27. Axis Transformation: Quaternion vs. Euler Angels – Continue [Wie] • رابطه دوران‌های پایه بر حسب کواترنيون‌ها: • دوران حول محور x به اندازه  دوران حول محور y به اندازه  دوران حول محور z به اندازه  • توالی دوران‌ها برحسب کواترنيون‌ها: • حال برای هریک از ۱۲ ترتیب دوران می‌توان طبق روابط فوق رابطه بین کواترنیون‌ها و زوایای اویلر را به دست آورد مثلا برای 32  1 همان روابط صفحه قبل را به دست خواهیم آورد • تمرين۳: برنامه‌ای بنویسید که زوایای اویلر و ترتیب دوران را گرفته و کواترنیون‌ها را محاسبه کند (معادل تابع angle2quat متلب) R. Esmaelzadeh

28. Transformation Matrix [Zipfel] • Inertial to Heliocentric: • Inertial To Earth-fixed:  زاويه بين محور XI و XE بوده و زاويه‌ساعت نام دارد(et) • Earth-fixed to Geographic • Geographic to Body R. Esmaelzadeh

29. Transformation Matrix- Continue • Stability to Body: • Stability to wind: • Body to wind: • Aeroballistic to Body: • Aeroballistic Wind to Aeroballistic: • Body to Aeroballistic Wind: R. Esmaelzadeh

30. Transformation Matrix- Continue • Geographic to Flight-path :Heading Angle  :Flight-path Angle توجه: برای محاسبه  باید صورت پرانتز را در یک منفی ضرب کرد Attitude Kinematics: =[1 2 3]=[x y z] • بررسي تغييرات وضعیت دستگاه مختصات نسبت به زمان • واضح است با تغييرات ماتريس دوران روبرو هستيم پس با نوشتن معادلات ديفرانسيل كوسينوس‌هاي هادي، زواياي اويلر و کواترنيون‌ها مي‌توان مسأله را حل کرد. R. Esmaelzadeh

31. Attitude Kinematics:DCM [Zipfel, Tewari] • نه معادله ديفرانسيل: شش معادله مستقل و سه معادله وابسته • در پايان هر قدم انتگرالگيري شرط تعامد بايد چك شود و اگر برقرار نبود بايد تصحيح زير را اضافه نمود (T=C): • مزايا: معادلات ديفرانسيل خطي، خوش‌رفتار و بدون تكينگي • معايب: به دليل سادگي استفاده از زواياي اويلر، در مقداردهي و خروجي اين معادلات بايد آن زوايا محاسبه شوند كه در همان حالات خاص، خروجي (نه خود معادلات) تكين است. به عنوان مثال براي ترتيب متعارف 3 2 1 : R. Esmaelzadeh

32. Attitude Kinematics:Euler Angle Method [Regan] • به‌طوری‌که برای ترتیب متعارف 321: 2=, 3=,1=, • زماني كه كارايي محاسبات اهميت داشت اين روش مورد توجه بود و امروزه به ندرت استفاده مي‌شود • مزايا: سه عدد معادله ديفرانسيل غيرخطي و سادگي در مقداردهي • معايب: مشكل تكينگي در بعضي از حالات خاص R. Esmaelzadeh

33. Attitude Kinematics:Quaternion Method [Zipfel, Tewari] • Given Euler angles, initialize the quaternion differential Eqs.: براي ترتيب متعارف 3 2 1 : • Integration of quaternion differential Eqs.: درصورتي‌كه نرم يك نبود ترم را به سمت راست معادلات مي‌توان اضافه نمود كه و • Calculate Transformation matrix: • Obtain the new Euler angles values: بديهي است اين روابط براي ترتيب دوران متعارف است R. Esmaelzadeh

34. Attitude Kinematics:Example [Tewari] با فرض C3C1C3 خواهيم داشت: Exercise 4: Simulate this example Exercise 5:Simulate this example using quaternions ODE R. Esmaelzadeh

35. Translational Motion [Tewari] • Aerospace Vehicle Dynamics • Translational Motion of a point (CG) on the Vehicle ==> 3DOF Trajectory study ==> 6DOF Trajectory study • Rotational Motion of the Vehicle about that Point (CG) ==> 3DOF Trajectory study • Body • Rigid, 6DOF • Flexible, DOF • Newton’s Laws:نیوتن سه قانون مکانیک و یک قانون جاذبه را بنیان نهاد F=d(mv)/dt for m=const.  F=mdv/dt=ma R. Esmaelzadeh

36. Translational Motion:Differential Velocity & Acceleration [Zipfel]   R. Esmaelzadeh

37. Translational Motion: Euler Transformation [Zipfel] • هردوطرف معادله در يك دستگاه خواهند بود يا B يا A • تمرین ۶: مطلوبست محاسبه سرعت اولیه یک ماهواره‌بر روی سکوی پرتاب نسبت به دستگاه اینرسی در دستگاه‌های اینرسی و زمین چسبان. فرض کنید در لحظه نخست محور X هردودستگاه در راستای تلاقی نصف‌النهار نقطه پرتاب و خط استوا باشد. Re= 6378 km, Latitude==35,24’,36’’, e=[0, 0, 7.292115147e-52/(24*60*60)] • توضیح: در معادله قبل A=I, B=E, TIE=[cos et -sin et 0; sin etcoset 0; 0 0 1], [DER]E=0,[R]E=[Recos; 0; Resin]  R. Esmaelzadeh

38. Translational Motion: Example [Zipfel]  R. Esmaelzadeh

39. Translational Motion:Newton’s 2nd Law [Zipfel] • Trajectory Eqs. External forces: • با توجه به اينكه نيروهاي آيروديناميكي وتراست معمولاً در دستگاه بدني هستند لذا با انتقالشان به اينرسي خواهيم داشت(واضح است در صورت نبود نیروهای پیشران و آیرودینامیک حرکت جسم به جرم وابسته نیست): * و براي جابجايي مي‌توان نوشت: **or • با حل شش معادله ديفرانسيل * و** مسير حركت در دستگاه اينرسي حاصل خواهد شد(البته معادلات سینماتیکی نیز باید درنظرگرفته شوند معادلات اویلر یا کواترنیون‌ها) R. Esmaelzadeh

40. Translational Motion:Exercise 7 • مطلوبست شبیه‌سازی حرکت سقوط آزاد یک فرد به جرم 70 kg از ارتفاع 30 km در دستگاه‌های اینرسی و زمین چسبان بدون درنظرگرفتن اتمسفر. سایر داده‌ها را از تمرین ۶ استفاده نمایید. برای gI از تابع InertialGravity داده شده در وبلاگ استفاده کنید. • توضیح دستگاه پرتاب [Cornelisse](Launch): مرکز واقع در نقطه پرتاب، محور Zl عمود بر سطح زمین و روبه بالا، صفحه XlYl عمود بر محور Zl و مبین صغحه افق، محور Xl در امتداد نقطه پرتاب که با شمال زاویه آزیموت l می‌سازد و محور yl با دو محور دیگر دستگاه راستگرد می‌سازد برای ماتریس انتقال از دستگاه زمین به پرتاب از ترتیب ZXZ با زوایای زیر استفاده می‌شود: 90 + longitude 90 - latitude  90- azimuth R. Esmaelzadeh

41. Translational Motion-Translating Inertial Frames [Zipfel]  R. Esmaelzadeh

42. Translational Motion- Coriolis Transformation [Zipfel] • معادله نيوتن در دستگاه اينرسي صادق است آيا مي‌توان در دستگاه غير اينرسي نوشت؟ • پاسخ: بله به شرط اينكه جملات اضافي ناشي از انتقال اويلر را به سمت راست معادله نيوتن انتقال داد:  Earth as Reference Frame: • تمرین ۸(ضریب ۲): مطلوبست حل تمرین قبل با استفاده از معادلات حرکت در دستگاه زمین چسبان R. Esmaelzadeh

43. Translational Motion:Motion under gravitational acceleration الف- براي اجسام ثابت يا با سرعت كم: gE= gI-(r) • راستاي gE درامتداد شاقول است • -(r) به دليل علامت منفي شتاب گريز از مركز ناميده مي‌شود در نيمكره شمالي به سمت جنوب و در نيمكره جنوبي به سمت شمال است بيشترين مقدار آن در استوا و حدود 0.3%g0 است ب- براي اجسام متحرك: gE= gI-(r)-2V • V در سقوط آزاد هردو نيمكره به سمت غرب ولذا منفي آن به سمت شرق است بنابراين • يك جسم در حالت سقوط آزاد در نيمكره شمالي به سمت جنوب شرقي و در نيمكره جنوبي به سمت شمال شرقي منحرف مي‌گردد (تمرین ۷) • درحالت حركت افقي نيروي كوريوليس در نيمكره شمالي جسم را به سمت راست و در نيمكره جنوبي به سمت چپ منحرف مي‌كند: • حركت پادساعتگرد گردباد در نيمكره شمالي و بالعكس در نيمكره جنوبي • حركت ساعتگرد آونگ فوكو در نيمكره شمالي و بالعكس در نيمكره جنوبي R. Esmaelzadeh

44. Translational Motion:Grubin Transformation [Zipfel]   در اجسام پرنده و به خصوص موشك‌ها معمولاً INS(Inertial Navigation System)منطبق بر مركز ثقل نيست با اين نوع انتقال مي‌توان تصحيح لازم را انجام داد. به‌عنوان مثال در یک ماهواره که فقط تحت تاثیر شتاب جاذبه می‌باشد خواهیم داشت: R. Esmaelzadeh

45. 3DoF Simulation:Point-mass model [Zipfel] • برای مطالعات اولیه مناسب است و فقط از قانون دوم نیوتن استفاده می‌شود. • براساس متغيرهاي حالت، از سه رويكرد متفاوت در ارائه معادلات حركت استفاده مي‌شود: • رويكرد دكارتي: معادلات با متغيرهاي سرعت و موقعيت در دستگاه دكارتي (اينرسي) فرموله می‌شوند (تمرین ۷). • معادلات سرراست بوده و كافيست نيروها را از دستگاه‌هاي مختلف به دستگاه اينرسي انتقال داد، • نسبت به دو رويكرد بعد آسان‌ترين نمايش براي شبيه‌سازي است، • تنها مشكل آن عدم درك شهودي است. • رويكرد قطبي: استفاده از بردار سرعت نسبت به زمين در دستگاه مسیر پرواز با متغيرهاي اندازه بردار سرعت نسبت به زمين، زواياي مسير پرواز و سمت(آزيموت) و موقعيت نسبت به زمين • معادلات نسبت به رويكرد قبلي پيچيده‌ترند، • براي بررسي اثرات نيروهاي كوريوليس و گريز از مركز مناسبترند و كافيست قانون نيوتن را به دستگاه متحرك انتقال داد، • درك شهودي عالي. • مناسب برای بیان حرکت‌های درون صفحه • رويكرد مستقيم: متغيرهاي سرعت جغرافيايي، زواياي مسير پرواز و سمت(آزيموت)، فاصله شعاعي، طول و عرض جغرافيايي(تقريباً مشابه رويكرد قطبي است به جز متغيرهاي سينماتيك) R. Esmaelzadeh

46. 3DoF Simulation:EoM with Cartesian approach [Zipfel] • ]V: Flight-path coordinate system • ]G: Geographic coordinate system R. Esmaelzadeh

47. 3DoF Simulation-EoM with polar approach [Zipfel]   or R. Esmaelzadeh

48. 3DoF Simulation: EoM with polar approach- Continue نكته در محاسبه[VE]V است (مرجع[zipfel] اشتباه دارد): • محور x دستگاه x در راستای تصویر بردار سرعت در صفحه افق محور y در صفحه افق و عمود بر x و محور z به سمت مرکز زمین و با = دو محور دیگر دستگاه راستگرد می‌سازد • محور x دستگاه y در راستای تلاقی نصف‌النهار جاری با استوا و محور y در صفحه استوا و عمود بر x و محور z در راستای محور چرخش زمین= با استفاده از روابط سينماتيكي خواهيم داشت: در نتيجه سمت چپ معادلات عبارتست از: R. Esmaelzadeh

49. 3DoF Simulation:EoM with polar approach [Tewari]- Continue [fp]v= fT cos cos iv + fTsin jv – fT sin cos kv • بردار نيروي تراست با صفحه xvzv زاويه  و تصويرش در آن صفحه با محور xv زاويه  مي‌سازد [fa]v= • با درنظر داشتن نيروهاي فوق صورت بسط يافته معادلات حركت 3DoF مركز جرم جسم حول زمين كروي با رویکرد مستقیم عبارتست از: R. Esmaelzadeh

50. 3DoF Simulation: Subsystem models- Gravity- [Tewari] • مدل كروي(نيرويي که از ذرات mi به m وارد مي‌شود): • مدل زمین مسطح جاذبه متغير با ارتفاع: اين قانون در نزديکي سيارات به خاطر شکلشان معتبر نيست لذا با استفاده از روش پتانسيل جاذبه مدل دقيقتر بيضوي حاصل خواهدشد: • خطاي روابط بسيار كوچك است (كمتر از 0.3 µg ) R. Esmaelzadeh