1 / 45

หน่วยการเรียนรู้ที่ 7

หน่วยการเรียนรู้ที่ 7. เซตและตรรกศาสตร์. 1. เซต ( Set ).

herrod-garza
Download Presentation

หน่วยการเรียนรู้ที่ 7

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. หน่วยการเรียนรู้ที่ 7 เซตและตรรกศาสตร์

  2. 1. เซต (Set) • เซต (Set) เป็นชุดคำสั่งที่ต้องการกล่าวถึง โดยเขียนไว้ภายในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา (Set) แต่ละสิ่งที่ต้องกล่าวถึงเรียกว่า สมาชิกของเซต (Element) เขียนแทนด้วยอักษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็กคั่นด้วยจุลภาค “.” (Comma) เช่น {a, e, i, o, u} การเขียนชื่อของเซตจะใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A={a, e, i, o, u} “เป็นสมาชิกของเซต” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  เช่น a  A อ่านว่า a เป็นสมาชิกของ A “ไม่เป็นสมาชิกของเซต” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  เช่น b  A อ่านว่า a ไม่เป็นสมาชิกของ A

  3. วิธีการเขียนเซต 1. เขียนแบบแจกแจงสมาชิก เป็นการเขียนสมาชิกไว้ในเครื่องหมายวงเล็บปีกกาและคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่น A เป็นเซตของสีธงชาติไทย A={แดง, ขาว, น้ำเงิน} B เป็นเซตของสระในภาษาอังกฤษ B={a, e, i, o, u}

  4. 2. เขียนแบบบอกเงื่อนไข โดยใช้ตัวแปรแทนสมาชิกทุกตัวที่จะกล่าวถึง และบอกว่าตัวแปรนั้นแทนอะไร เช่น x แทนสระทุกตัวในภาษาอังกฤษ จะต้องบอกว่า x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ เขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้ {x|x เป็นสระทุกตัวในภาษาอังกฤษ } เซตว่าง (Empty Set หรือ Null) เป็นเซตที่ไม่มีสมาชิก เขียนแทนด้วย { } หรือ 

  5. ชนิดของเซต 1. เซตจำกัด (Finite Set) เป็นเซตที่บอกสมาชิกเป็นจำนวนสมาชิกเต็มบวกได้ เช่น {1, 3, 5,…, 99 } {a, f, d, f } {x|x เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 12} 2. เซตอนันต์ (Infinite Set) เป็นเซตที่สมาชิกเป็นจำนวนสมาชิกเต็มบวกที่ไม่สามารถบอกจำนวนทั้งหมดได้ จะเขียน “…” เช่น {-2, -1, 0, 1, 2, …. } {1, 3, 5, …. } {x|x >1}

  6. ชนิดของเซต 3. เซตที่เท่ากัน (Equivalent Set) เป็นเซตที่มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัวแม้จะเรียงลำดับต่างกัน เช่น A= {2, 4, 6} B= {6, 4, 2} แสดงว่า A=B C= {2, 4, 6, 8} D= {6, 4, 2} แสดงว่า C≠D

  7. 2. เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) • เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) เป็นเซตหลักที่กำหนดขึ้นมาจากการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข ภายในเอกภพสัมพัทธ์จะประกอบไปด้วยสมาชิกตามเงื่อนไขที่กำหนดมา จะมีสมาชิกนอกเหนือไปจากที่กำหนดไม่ได้ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Uถ้าไม่ระบุเอกภพสัมพัทธ์ ถือว่าเป็นจำนวนจริงใด ๆ (R)เช่น A= {x|x2 -2x-15 = 0} จาก x2 -2x-15 = 0 (x-5)(x+3)= 0 x = 5, -3 ∴ A = {5} เพราะ -3 ไม่เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์

  8. 3. ความสัมพันธ์ระหว่างเซต 3.1 เซตย่อย (Subset) กำหนดให้ A= {1, 2, 3} พิจารณาจากเซต {1}, {2}, {3}, {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3} จะเห็นว่า เซตต่างๆ มีสมาชิกที่มาจากสมาชิกของเซต A เรียกว่าเป็นเซตย่อยของเซต A เขียนแทนด้วยสัญลักลักษณ์ “⊂” เซต A จะเป็นเซตย่อยของ B ก็ต่อเมื่อสมาชิกของเซต A ทุกตัวเป็น สมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A ⊂ B

  9. 3.2 เซตยกกำลัง (Power Set) เซตกำลังของเซตใดๆ คือเชตที่มีสมากชิกเป็นเซตย่อยทั้งหมดของเซตที่กำหนด ถ้า A เป็นเซตใดๆ เซตกำลังของ A เขียนแทนด้วย P(A)ถ้า เป็นเซตใดๆ เซตกำลังของ B เขียนแทนด้วย P(B) A= {o, u, t} เซตย่อยของเซต A คือ {o}, {u}, {t}, {o, u} , {o, t} , {u, t} ,{o, u, t},  P(A) = {o}, {u}, {t}, {o, u} , {o, t} , {u, t}, {o, u, t}, 

  10. 3.3 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn – Euler Diagram) แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ เป็นการเขียนรูปแทนเอกภพสัมพันธ์ เซต และเซตย่อยเพื่อแสดงความสัมพันธ์ของเซตให้ชัดเจนขึ้น นิยมใช้รูปสี่เหลี่ยมแทนเอกภพสัมพันธ์ วงกลมหรือวงรีแทนเซตใดๆ เช่น A และ B เป็นเซตต่างสมาชิกกัน A B U

  11. A ⊂B และ A ≠B U B A

  12. A = B, C ⊂B, A และ C ไม่มีสมาชิกรวมกัน U B A C

  13. 4. การดำเนินการเกี่ยวกับเซต 4.1 ยูเนียน (Union) เป็นเซตที่เกิดจากการนำเซตหลายๆ เซตมาสร้างเป็นเซตใหม่โดยเซตใหม่ที่ได้จะมีสมาชิกเป็นเซตที่เกิดจากสมาชิกทุกตัวของเซตที่นำมาสร้าง เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “U”A ยูเนียน B เขียนแทนด้วย A U B เช่น A= {1, 2, 3, 4}, B= {2, 4, 6, 8}, A U B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} เขียนแผนภาพการยูเนียนของเซต A และเชต B ได้ดังรูป

  14. 4.2 อินเตอร์เซกชัน (Intersection) เป็นเซตที่เกิดจากการนำเซตหลายๆ เซตมาสร้างเป็นเซตใหม่โดยเซตที่ได้จะมีสมาชิกเป็นสมาาชิกที่อยู่ร่วมกันในทุกเซตที่นำมาสร้าง เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “∩”A อินเตอร์เซกชัน B เขียนแทนด้วย A ∩B เช่น A= {1, 2, 3, 4}, B= {2, 4, 6, 8}, A ∩ B = {2, 4} เขียนแผนภาพการอินเตอร์เซกชัน ของเซต A และเชต B ได้ดังรูป

  15. 4.3 คอมพลีเมนต์ (Complement) เป็นเซตที่เกิดจากการนำเซตหนึ่งซึ่งเป็นเซตย่อยของ U มาเทียบกับ U คอมพลีเมนต์ของเซตที่นำมาจะเป็นเซตใหม่ที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกที่นำมาเทียบ เซตใหม่นี้เรียกว่า คอมพลีเมนต์ของเซตเช่น เซตที่นำมาเป็นเซต A เชตใหม่ที่เรียกว่าคอมพลีเมนต์ของเซต A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “A′” อ่านว่า เอคอมพลีเมนต์ดังตัวอย่าง U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 2, 3, 4}, A′= {5, 6, 7} เขียนเป็นแผนภาพดังรูป

  16. U A 6 1 2 5 3 4 7

  17. พีชคณิตของเซต ให้ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ที่มีเซตย่อยเป็น A, B, C และ  • กฎการสลับที่ (Commutative Law) เซตที่นำมายูเนียนกันหรืออินเตอร์เซกชันกันสามารถสลับกันได้ A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A 2. กฎการจัดหมู่ (Associative Law) A ∪ (B ∪C) = (A ∪ B) ∪C A ∩ (B ∩C) = (A ∩ B) ∩C

  18. 3. กฎการกระจาย (Distributive Law) A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩(A ∪ C) A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪(A ∩ C) 4. กฎการเหมือนกัน (Independent Law) A ∪ A = A A ∩ A = A

  19. 5. กฎการคอมพลีเมนต์ (Complement Law) A ∪ A′ = ∪ A ∩ A′ = Ø (A′) ′ = A ∪′ = Ø Ø ′ = ∪ A-B = A ∩ B ′

  20. 5. ตรรกะ ตรรกะ (Logic) เป็นเหตุผลที่ที่ใช้ในการแก้ไขปัญหาต่าง ในวิชาคณิตศาสตร์ ตรรกศาตร์ เป็นวิชาที่ว่าด้วยข้อเท็จจริงที่สามารถอ้างเหตุผลได้ ในวิชาคอมพิวเตอร์ตรรกะเป็นขั้นตอนหรือแนวทางในการดำเนินการของโปรแกรมที่ประกอบด้วยแนวคิด สมมติฐาน การทดสอบเงื่อนไข การดำเนินการ ฯลฯ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การออกแบบวงจรจะใช้วงจรตรรกะใช้วงจรตรรกะในการตรวจสอบการทำงานของอุปกรณ์ที่สามารถเขียนเป็นสมการทางคณิตศาสตร์

  21. 6. ประพจน์และตัวแปร 6.1 ประพจน์ ประพจน์ (Proposition or Statement) เป็นประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น 2 x 9 = 2 + 9 เป็นเท็จ 2 + 4 = 3 + 3 เป็นจริง โลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ เป็นจริง การคำนวณในคอมพิวเตอร์ไม่มีการลบ เป็นจริง จำนวนจริงทุกจำนวนมีอินเวอร์สของการคูณ เป็นเท็จ จริง (True) และเท็จ(False) ของประพจน์เรียกว่า “ค่าความจริงของประพจน์” ข้อความที่ไม่เป็นประโยคบอกเล่า หรือปฏิเสธ ไม่จัดเป็นประพจน์ เช่น มีไวรัสในเครื่องคอมพิวเตอร์ไหม, โปรดเงียบ, X< 0 เป็นต้น

  22. 6.2 ตัวแปร ตัวแปรเป็นสัญลักษณ์แทนสมาชิกในเอกภพสัมพันธ์ (Relative Universe) ประโยคที่มีตัวแปรเป็นนิพจน์หรือไม่เป็นนิพจน์ก็ได้ แต่สามารถทำให้เป็นประพจน์ได้ด้วยการแทนที่ตัวแปร เช่น 3x - 2 = 1 มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าคือ x ไม่เป็นประพจน์ แต่ถ้าแทนค่า x ด้วยจำนวนใดๆ จะหาค่าออกมาได้ เช่น x = 0 ได้ผลลัพธ์ 0 – 2 = 1 เป็นเท็จ x = 1 ได้ผลลัพธ์ 3 – 2 = 1 เป็นจริง x = 2 ได้ผลลัพธ์ 6 – 2 = 1 เป็นเท็จ

  23. 7. การเชื่อมประพจน์ ตัวเชื่อม(Connective) เป็นคำที่ใช้เชื่อมประโยคเข้าด้วยกัน ได้แก่ และ หรือ ถ้า ... แล้ว ก็ต่อเมื่อ ดังตัวอย่าง ประพจน์ที่ 1 “2 น้อยกว่า 5” ประพจน์ที่ 2 “2 เป็นจำนวนคู่” นำประพจน์ที่ 1 และ 2 มาสร้างประพจน์ใหม่ได้ดังนี้ 2 น้อยกว่า 5 และ 2 เป็นจำนวนคู่ 2 น้อยกว่า 5 หรือ 2 เป็นจำนวนคู่ ถ้า2 น้อยกว่า 5 แล้ว 2 เป็นจำนวนคู่ 2 น้อยกว่า 5 ก็ต่อเมื่อ 2 เป็นจำนวนคู่

  24. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” ใช้สัญลักษณ์  การเชื่อมประพจน์เข้าด้วยกันจะใช้ตัวอักษร “p, q, r, s” แทนแต่ละประพจน์ p q p  q T T T T F F F T F F F F

  25. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ” ใช้สัญลักษณ์  การเชื่อมประพจน์เข้าด้วยกันจะใช้ตัวอักษร “p, q, r, s” แทนแต่ละประพจน์ p q p  q T T T T F T F T T F F F

  26. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า ... แล้ว” ใช้สัญลักษณ์  การเชื่อมประพจน์เข้าด้วยกันจะใช้ตัวอักษร “p, q, r, s” แทนแต่ละประพจน์ p q p  q T T T T F F F T T F F T

  27. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” ใช้สัญลักษณ์  การเชื่อมประพจน์เข้าด้วยกันจะใช้ตัวอักษร “p, q, r, s” แทนแต่ละประพจน์ p q p  q T T T T F F F T F F F T

  28. 8. การหาค่าความจริงของประพจน์ 8.1 การหาความความจริงของประพจน์ด้วยตารางค่าความจริง ตัวอย่างที่ 1ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ p  q  p p q p  q p  q  p T T T T T F T T F T T F F F F T

  29. 8. การหาค่าความจริงของประพจน์ 8.1 การหาความความจริงของประพจน์ด้วยตารางค่าความจริง ตัวอย่างที่ 2ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ p  q  p  q p q q p  q p q p  q  p q T T F T T T T F T T T T F T F T F F F F T F T T

  30. 8.2 การหาความความจริงของประพจน์ด้วยผังโครงสร้างต้นไม้ (Tree Diagram) ตัวอย่างที่ 3ถ้า p เป็นจริง q เป็นเท็จ q เป็นเท็จ r เป็นเท็จ s เป็นจริง จงหา ค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ ก. q  r F F T

  31. T F ข. p  q  r F F T ค. p  s  r T T T F F

  32. T F ง. p  q  r F F F จ. p  s  r  s F T T F T T T

  33. 9. การอ้างเหตุผล การอ้างเหตุผลมีสองส่วน ส่วนหนึ่งคือ เหตุ และอีกส่วนหนึ่งคือ ผล การอ้างเหตุผลจะใช้ตัวเชื่อม  เชื่อมเหตุทั้งหมดและใช้ตัวเชื่อม  เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุและผล เมื่อเชื่อมแล้วได้ผลเป็นสัจนิรันดร์ถือว่าการอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล (Valid) ถ้าไม่เป็นสัจนิรันดร์ถือว่าการอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (Invalid) สัจนิรันดร์ (Tautology)คือประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงตลอด ไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อยที่เป็นตัวแปรจะมีค่าความจริงอย่างไร การอ้างเหตุผลจะใช้รูปแบบ เหตุ  ผล ซึ่งรูปแบบนี้จะมีกรณีเป็นเท็จได้เพียงกรณีเดียวคือ T F

  34. ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ1. p  q 2. p ผล q วิธีทำ จัดรูปแบบของเหตุผลใหม่เป็น [(p  q)  p]  q p q p  q [p  q ] p [p  q  p]  q T T T T T T F F F T F T T F T F F T F T

  35. จากตารางได้ค่าความจริงของ [{P(x)  Q(x)}  P(x)]  Q(x)เป็นสัจนิรันดร์ การอ้างเหตุผลกับประโยคเปิด เช่น[{P(x)  Q(x)}  P(x)]  Q(x)เมื่อแทนค่า x ในเอกภพสัมพันธ์จะได้ประพจน์ในรูปแบบ p  q  p ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ เหตุ1. P(x)  Q(x) 2. P(x) ผล Q(x)  เป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล

  36. ตัวอย่างรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์เป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลตัวอย่างรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์เป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล รูปแบบที่ 1 เหตุ1. p  q รูปแบบที่ 2 เหตุ1. p  q 2. p 2. q ผลp ผลp รูปแบบที่ 3เหตุ1. p  q รูปแบบที่ 4 เหตุ1. p  q 2. q  r 2. q  p ผลp  r ผลp  q

  37. ตัวอย่างรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์เป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลตัวอย่างรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์เป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล รูปแบบที่ 5เหตุ1. p q รูปแบบที่ 6เหตุ1. p  q 2. p 2. q  r ผลq 3. p q ผลr s รูปแบบที่ 7เหตุ1. p q รูปแบบที่ 8 เหตุ1. p 2. p ผลp  q ผลq

  38. การอ้างเหตุผลด้วยแผนภาพการอ้างเหตุผลด้วยแผนภาพ เหตุ1. คอมพิวเตอร์มีหน่วยความจำ 2. Talking Dictionary เป็นเครื่องคอมพิวเตอร์ผลTalking Dictionary มีหน่วยความจำ ให้ a แทน Talking Dictionary A แทนเชตของคอมพิวเตอร์ B แทนเซตของหน่วยความจำ เหตุ 1. AB 2. aA ผล aB แสดงว่าการสรุปนี้สมเหตุสมผล U B A a

  39. การอ้างเหตุผลด้วยแผนภาพการอ้างเหตุผลด้วยแผนภาพ เหตุ1. คนเขียนโปรแกรมเป็นโปรแกรมเมอร์ 2. ชาวตะวันตกเป็นเป็นโปรแกรมเมอร์ ผลคนเขียนโปรแกรมเป็นชาวตะวันตก ให้ A แทนเซตของคนเขียนโปรแกรม B แทนเชตของโปรแกรมเมอร์ C แทนเซตของชาวตะวันตก เหตุ 1. AB 2. CB ผล AC

  40. U U B B A C A C กรณีที่ 1 กรณีที่ 2 กรณีที่ 3 จากแผนภาพ กรณีที่ 1และกรณีที่ 3A C แสดงว่าการสรุปนี้ไม่สมเหตุสมผล U B A C

  41. การอ้างเหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning or Deduction) การอ้างเหตุผลจากความรู้พื้นฐานที่ยอมรับกันมาก่อน เช่น เหตุ (Premise) สมมุติฐาน (Hypothesis)หรือสัจพจน์ (Axiom) วิธีสรุปความรู้พื้นฐานที่ยอมรับกันมาก่อนนี้นิยมใช้กันมาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ เช่น เทลีสใช้พิสูจน์ความรู้ทางเรขาคณิตให้เป็นเหตุเป็นผลด้วยสัจพจน์ 10ข้อ การให้เหตุผลเป็บนิรนัย เป็นการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์โดยใช้ตรรกศาสตร์เข้ามาช่วย โดยเริ่มจากเหตุหลักเรียกว่า การวางนิรนัยทั่วไป แล้สมีเหตุย่อยประกอบ จากนั้นจึงพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างเหตุหลักและเหตุย่อยเพื่อหาข้อสรุป

  42. ตัวอย่างการใช้เหตุผลแบบนิรนัยตัวอย่างการใช้เหตุผลแบบนิรนัย เหตุ1. นักเรียนทุกคนต้องสอบปลายภาค 2. นายทรงพลเป็นนักเรียน ผลนายทรงพลต้องสอบปลายภาค เหตุ1. ถ้าอุณหภูมิในซีพียูสูงเกิน 70องศาเซลเซียส คอมพิวเตอร์จะปิดตัวเอง 2. เครื่องวัดอุณหภูมิอ่านค้าได้ 72องศาเซลเซียส ผลคอมพิวเตอร์ปิดตัวเอง

  43. The End หน่วยการเรียนรู้ที่ 7

More Related