解析几何

1. 解析几何 第一章 向量与坐标

2. 课程介绍 几何三大问题是 :1.化圆为方求作一正方形使其面积等於一已知圆的； 2.三等分任意角； 3.倍立方求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍 对第一个问题：圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π，所以化圆为方的问题等于去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）

3. 第二个是三等分一个角的问题。对于某些角如 900 1800三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如600。若能三等分则可以做出200的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为3600/18=200）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的 第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须把立方形的祭坛的体积加倍，有人主张把每边长加倍，我们知道那样体积已经变成原来的8倍。 这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大 问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。

4. 1637年笛卡儿创建了解析几何，使得许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1637年笛卡儿创建了解析几何，使得许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。 1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。 1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。 由此可见解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，为了把代数学应用到几何中，最根本的做法就是把空间的几何结构有系统的代数化、数量化。

5. 向量是我们解决空间解析几何问题的一个重要工具，同时向量的方法也是力学，物理学以及其他应用学科的一个好的方法。在这一节，我们在引入向量概念的基础上，给出向量的加、减、数乘的概念。同时要学会应用向量来解决空间几何中的问题。向量的方法也是我们解决以后问题的一个重要的方法。向量是我们解决空间解析几何问题的一个重要工具，同时向量的方法也是力学，物理学以及其他应用学科的一个好的方法。在这一节，我们在引入向量概念的基础上，给出向量的加、减、数乘的概念。同时要学会应用向量来解决空间几何中的问题。向量的方法也是我们解决以后问题的一个重要的方法。

6. | | 或 向量的大小. 向量的模： 或 　　　向量(Vector)的概念 定义1. 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量既有大小又有方向的量. 有向线段 向量的几何表示： 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.

7. 或 定义2如果两个向量大小相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为 单位向量： 模为1的向量. 零向量： 模为0的向量. ＝ 所有的零向量都相等. 定义3大小相等但方向相反的两个向量叫做互为反向量.

8. 定义4平行于同一直线的一组向量叫做共线向量.定义4平行于同一直线的一组向量叫做共线向量. 规定：零向量与任何共线的向量组共线. 定义5 平行于同一平面的一组向量叫做共面向量. 规定：零向量与任何共面的向量组共面. 　　注：由于平行于同一直线的一组向量必平行 于同一平面， 故一组共线向量一定是共面向量。 三向量中如果有两向量是共线的，则三向量一定 也是共面的。

9. 向量的加法（Operations of Vectors) B O A 这种求两个向量和的方法叫三角形法则.

10. ‖ 分为同向和反向 特殊地：若

11. 定理1 如果把两个向量 为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量 B C O A 这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则 定理2向量的加法满足下面的运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3）

12. A4 A1 A3 A2 An-1 O An 这种求和的方法叫做多边形法则

13. 向量减法

14. C A B

15. 数量乘向量(Multiplication by Numbers)

16. 定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）第一分配律： （3）第二分配律： 向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算. 两个向量的平行关系

17. ‖ 证 充分性显然； 必要性 两式相减，得

18. 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.

19. 例1化简 解

20. 与 平行且相等, 例2试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 结论得证.

21. 例3：设AM是 的中线求证 A A N M B C C B M 例4：用向量法证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半

22. 向量的线性关系与向量的分解

24. 例1 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分. D e3 F P1 C e2 A E e1 B

25. 连接AF，因为AP1是△AEF 的中线，所以有 又因为AF1是△ACD 的中线，所以又有

28. 标架与坐标 定义1：空间中的一个定点O，连同三个不共面的有序向量 的全体，叫做空间中的一个标架，记做 若 是单位向量则 叫做笛卡儿标架若 两两相互垂直的笛卡儿标架叫笛卡儿直角标架，简称直角标架；在一般的情况下 叫做仿射标架 e3 e3 e2 e2 e1 右手标架 e1 左手标架

29. 竖轴 纵轴 定点 横轴 过点0沿三个坐标向量e1,e2,e3的方向引三轴0x,0y,0z，用这样的有公共点的不共面的三轴Ox,0y,0z来表示空间坐标系。记做0-xyz. 0为坐标原点,三轴0x,0y,0z叫做坐标轴并依次叫做x轴,y轴,z轴. 约定：三个坐标轴的正方向符合右手系。 空间直角坐标系

30. z y x 八个卦限 0

31. . z y x 八个卦限 0

32. z y x Ⅲ Ⅱ z Ⅰ Ⅳ M  (x,y,z) 点的坐标 (x,y,z) M 0 y x N Ⅵ Ⅴ Ⅷ

33. . z 0 y x (x,y,z)  M 点的坐标 z (x,y,z) M 0 y x N

34. . z 0 y x M点的对称点 关于xoy面: (x,y,z) (x,y,-z) 关于x轴: (x,y,z) (x,-y,-z) M(x,y,z) 0 R (-x,-y,-z) 关于原点: (x,y,z) (-x,-y,-z) Q P x (x,-y,-z) (x,y,-z)

35. 坐标轴上的点 坐标面上的点 有序数组 空间的点 称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标， z称为竖坐标. 特殊点的表示:

36. 称为向量 的坐标分解式.

37. 在三个坐标轴上的分向量： 显然， 向量的坐标： 向径： (点M关于原点O)

38. 定理1向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点的坐标定理1向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点的坐标 为空间两点.

39. 利用坐标作向量的线性运算 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式

40. 定理2两个非零向量 共线的充要条件是对应坐标成比例 (当分母为零时，约定分子也为零） 推论 三个点 和 共线的充要条件是

41. 定理3三个非零向量 共面的充要条件是 推论 四个点 共面 的充要条件是 或

42. 为直线上的点， 设 线段的定比分点坐标

43. 由题意知：

44. 空间一点在轴上的射影

45. 空间一向量在轴上的射影

46. 定义的说明： 射影为正； 射影为负； 射影为零； (4)相等向量在同一轴上射影相等；

47. 由此定义， 射影定理1 证

48. 射影定理2 （可推广到有限多个） 射影定理3

49. 解

50. 两向量的数量积 实例 M1 M2 启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.