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概率论与数理统计讲义. 此幻灯片可在网址 http://www.appmath.cn 上下载. 第二十二讲 复习. (1) 求导公式. 复合函数求导法则：设 u = j ( x ) 在 x 是可导， y = f ( u ) 在对应点 u = j ( x ) 处可导，则复合函数 y = f ( j ( x )) 处可导，且. 概率论中用到导数的地方： 1, 连续随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 与概率密度函数 f ( x ) 有关系：. 2, 在求解最大似然估计时，要求似然函数 L ( q ) 的最大值，需要求 L 对参数 q 的导数或者偏导. 基本积分公式.

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  1. 概率论与数理统计讲义 此幻灯片可在网址http://www.appmath.cn上下载 第二十二讲 复习

  2. (1)求导公式

  3. 复合函数求导法则：设u=j(x)在x是可导，y=f(u)在对应点u=j(x)处可导，则复合函数y=f(j(x))处可导，且复合函数求导法则：设u=j(x)在x是可导，y=f(u)在对应点u=j(x)处可导，则复合函数y=f(j(x))处可导，且

  4. 概率论中用到导数的地方：1,连续随机变量X的分布函数F(x)与概率密度函数f(x)有关系：概率论中用到导数的地方：1,连续随机变量X的分布函数F(x)与概率密度函数f(x)有关系： 2,在求解最大似然估计时，要求似然函数L(q)的最大值，需要求L对参数q的导数或者偏导.

  5. 基本积分公式

  6. (3) 分部积分法：设u(x),v(x)在[a,b]上有连续的导数，则

  7. 概率论中用到积分的地方：如果随机变量X的概率密度函数为f(x), 则它的分布函数为 而X落在区间[a,b]或[a,b)或(a,b]或(a,b)的概率为 还有

  8. 还有

  9. 习题4-1 6. 设随机变量X的分布函数求E(X), D(X).解: 首先求出X的概率密度函数

  10. 则

  11. 计算E(X2)

  12. 二重积分计算法1.若D为矩形区域R：axb,cyd, 则

  13. 2. 若区域D是由两条直线x=a,x=b及两条曲线y=j1(x),y=j2(x)[j1(x)j2(x),axb]所围成，则 若区域D是由两条直线y=c,y=d及两条曲线x=y1(y),x=y2(y)[y1(y)y2(y),cyd]所围成，则

  14. 经常遇到的题就是j1(x),j2(x)中有一个是常数, 另一个是直线函数, 经常遇到的概率论中的例子如下面一些图形表示:

  15. 二重积分在概率论中的用处：假设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y), 则(X,Y)落在任何区域里的概率为 此外还有

  16. 习题4-3 3. 设二维随机变量(X,Y)在由x轴, y轴及直线x+y-2=0所围成的区域G上服从均匀分布, 求X与Y的相关系数rXY.解 如图所示, G的面积为2, 所以概率密度函数在此区域内取常数1/2, 即

  17. 由x轴, y轴及直线x+y-2=0所围成的区域G, 因此可以确定积分限, 这是最重要的! y y=2-x x O

  18. 则

  19. 最后得

  20. 样本均值和样本方差的计算 样本方差的简便算法: 一些科学型计算器可以统计样本均值和样本标准差.

  21. 第一步:先按这两个键进入stat状态 第三步:然后按x和S键可查看样本均值和样本标准差 第二步:然后每按一个数就按DATA键

  22. 第一步:按MODE,2键进入SD状态,并按shift,CLR,1,=键清零第一步:按MODE,2键进入SD状态,并按shift,CLR,1,=键清零 第二步:每按一个数字后按DT键 第三步:按shift,2,1,=键得样本均值, 按shift,2,3,=键得样本标准差

  23. 各种科学型计算器计算样本标准差和样本均值的操作办法各不相同, 可在百度上将计算器的型号输入查找, 就可以找到网上的说明书, 主要是背诵并练习几次快速计算样本标准差和样本均值的技术, 这样考试的时候可以节省计算的时间.尤其要注意当计算样本标准差的时候, 有的计算器是有除以n和除以n-1两种的, 我们需要计算的是后者.

  24. 最大似然估计法对离散型总体, 似然函数为 对连续型总体, 似然函数为 求使lnL(q)最大的q值就是q的最大似然估计.

  25. 对数的性质:如果a=eb, 则ln a = bln ab = ln a + ln bln ab = b ln a

  26. 最大似然估计法的一个经验之谈:写出似然函数后不要先整理再取对数再求导再令导数等于零, 而是写出似然函数后先取对数再求导再令导数等于零这个时候再整理.

  27. 例如, 第156页书上例5, 假设总体的分布为参数是l的指数分布, 要求对l的最大似然估计, 则总体的概率密度为因此似然函数为这个时候书上的标准例子经常就进一步写成:我把这一步叫整理并认为是没有必要做的.

  28. 建议的做法, 在得到之后, 不整理立即就取对数得不需要进一步整理, 而是立即求lnL的导数

  29. 然后令此导数等于0, 给出似然方程并整理:最后得到

  30. 习题7-1 5. 设总体X具有概率密度(1) 求q的矩估计, (2) 求q的极大似然估计.解: (1) 总体一阶原点矩为

  31. 令它等于一阶样本原点矩A1, 得方程

  32. (2) 求q的极大似然估计.似然函数不整理直接取对数得

  33. 求导得令它等于0得似然方程解得

  34. 无偏估计：有效性 设和是q的两个无偏估计量, 如果则称 较 有效.

  35. 单正态总体的抽样分布

  36. 常用统计分布设X1,X2,…,Xn是取自总体N(0,1)的样本, 则称统计量 服从自由度为n的c2分布, 记为c2~c2(n). E(c2)=n, D(c2)=2n.

  37. 设X~N(0,1), Y~c2(n), 且X与Y相互独立, 则称 服从自由度为n的t分布, 记为t~t(n).

  38. 设X~c2(m), Y~c2(n), 且X与Y相互独立, 则称 服从自由度为(m,n)的F分布, 记为F~F(m,n), 性质, 若X~t(n), 则X2~F(1,n); 若F~F(m,n)则

  39. 对单正态总体X~N(m,s2)作对均值的区间估计的公式(显著性水平a):当s2已知时:当s2未知时:对单正态总体X~N(m,s2)作对均值的区间估计的公式(显著性水平a):当s2已知时:当s2未知时:

  40. 单正态总体的假设检验(X~N(m,s2)) 检验假设H0:m=m0,H1:mm0 , 如s2未知, 接受域: 如s2已知, 则接受域为:

  41. 数学期望(均值)离散型: 连续型:

  42. 随机变量函数的数学期望(设Y=g(X))离散型: 连续型:

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