Sortieralgorithmen

1. Sortieralgorithmen Sortieren von Arrays

2. Sortierverfahren • Sortieren durch direktes Auswählen‚Selection Sort‘ • Sortieren durch direktes Einfügen‚Insertion Sort‘ • Sortieren durch direktes Austauschen‚Bubble Sort‘ • Sortieren durch Zerlegen‚Quicksort‘

3. Selection Sort 1 • alternative Bezeichnungen:Sortieren durch Austauschen, Sortieren durch Auswählen • Idee – Suche zunächst das kleinste, danach das zweitkleinste Item usw. – Stelle damit sukzessiv eine sortierte Liste auf.

4. Selection Sort 2 • Methode – Wähle unter A[1], A[2], ..... , A[N] das kleinste Item. – Vertausche A[1] mit diesem; damit hat es seinen endgültigen Platz. – Verfahre mit der Restliste A[2], ..... , A[N] entsprechend usw.

5. Selection Sort 3 • Programm FOR i:=1 TO n-1 DOBEGIN „weise x das kleinste Element von a[i]..a[n] zu, weise seinen Index k zu“; „Vertausche a[i] und a[k]“ END.

6. Selection Sort 4

7. Selection Sort 5 • Effizienzanalyse • Die Zahl C der Vergleiche der Schlüssel ist unabhängig von der ursprünglichen Ordnung:C = (n2–n)/2 • Die Zahl M der Bewegungen ist mindestensM [min] = 3*(n-1) bei ursprünglich geordneten Schlüsseln, und höchstensM [max] = trunc(n2/4) + 3*(n-1), falls die Schlüssel ursprünglich in umgekehrter Reihenfolge sind. • Im Mittel erhalten wir: M [mit] = n*(ln n + 0,57)

8. Insertion Sort 1 • alternative Bezeichnung:Sortieren durch Einfügen • Idee – Beginne mit dem ersten Item als bereits sortierter Teil-Liste. – Ordne das erste Item der unsortierten Restliste in die sortierte Teilliste ein.

9. Insertion Sort 2 • Methode – Bilde mit A[1] eine erste sortierte Teil-Liste. – Füge A[2] darin so ein, daß die erweiterte Teil-Liste wieder sortiert ist. – Wenn A[1], A[2], ..... , A[k] eine sortierte Teil-Liste sind, dann füge A[k+1] ein.

10. Insertion Sort 3 • Programm FOR i:=2 TO n DOBEGIN x:=a[i]; „füge x am entsprechenden Platz in a[1]..a[n] ein“ END.

11. Insertion Sort 4

12. Insertion Sort 5 • Effizienzanalyse • Die Zahl C[i] der Vergleiche von Schlüsseln ist höchstens i-1 und somit – unter Annahme, dass alle Permutationen gleich wahrscheinlich sind – im Mittel i/2.Die Zahl M[i] der Bewegungen ist C[i]+2 (inkl. Marke):C [min] = n-1 M [min] = 3*(n-1)C [max] = ((n2 + n)/2) – 1 M [max] = (n2 + 3n-4)/2C [mit] = (n2 + n-2)/4 M [mit] = (n2 + 9n-10)/4 • Die kleinsten Zahlen kommen bei bereits geordneten Elementen vor; die schlimmsten Fälle treten ein, wenn die Elemente zu Beginn in umgekehrter Reihenfolge angeordnet sind (natürliches Verhalten).

13. Bubble Sort 1 • alternative Bezeichnung: Sortieren durch lokales Vertauschen • Idee – Durch Vertauschen zweier Nachbarn, die nicht in der richtigen Reihenfolge stehen, wird der Sortierzustand besser. – Mache das so oft, bis die Liste sortiert ist.

14. Bubble Sort 2 • Methode – Durchlaufe die Liste von links nach rechts. – Wenn dabei A[i] und A[i+1] in falscher Reihenfolge stehen, vertausche sie. – Wiederhole das solange bis die Liste sortiert ist.

15. Bubble Sort 3

16. Bubble Sort 4 • Effizienzanalyse • Zahl der Vergleiche:C = (n2 – n)/2 • Zahl der Bewegungen:M [min] = 0M [max] = 3*(n2 - n)/2M [mit] = 3*(n2 - n)/4

17. Quicksort 1 • alternative Bezeichnungen: Vertauschen über große Entfernungen, Partition Exchange Sort • Idee – Divide et Impera-Prinzip: – Zerlegung in eine Liste mit allen "kleinen" und eineListe mit allen "großen" Items – Sortiere beide Teil-Listen getrennt(rekursiv nach dem selben Prinzip) – Baue aus den Teilen wieder eine Gesamtliste zusammen

18. Quicksort 2 • Methode – Wähle unter A[1], A[2], ..... , A[N] ein Pivot-Element p aus. – Zerlege mit p die Liste in zwei Teil-Listen L1 und L2 – Liste L1 enthält nur Items A[i] < p – Liste L2 enthält nur Items A[i] > p

19. Quicksort 3 • Methode (Fortsetzung) – Nach der Zerlegung wird das Pivot-Element zwischen L1 und L2 gestellt. Es hat dort seinen endgültigen Platz erreicht. – Die beiden Teil-Listen werden rekursiv nach dem selben Verfahren sortiert. – Zur Zusammenfassung der Teil-Listen sind keine weiteren Maßnahmen nötig.

20. Quicksort 4 • Wahl des Pivot-Elements p – Wunsch: p so wählen, daß die Teil-Listen gleich groß werden. – häufige Methoden zur Wahl von p: ∗ letztes Item ∗ erstes Item ∗ zufällig gewähltes Item ∗ Median von drei Items, z.B. von A[1], A[N/2] und A[N]

21. Quicksort 5 • Effizienzanalyse • Zahl der Vergleiche im günstigsten Fall:C = n*log(n) • Zahl der Bewegungen im günstigsten Fall:M = (n*log(n )/6 • Natürlich kann man nicht immer erwarten, immer das mittlere Element zu treffen (Wahrscheinlichkeit = 1/n). Bei zufälliger Wahl der Grenze ist die Leistung von Quicksort aber nur um den Faktor 2*ln(2) = 1,39 schlechter als im besten Fall!

22. Ein Vergleich der Sortiermethoden

23. Sortieralgorithmen im Internet

24. Literatur • Sedgewick, Robert: Algorithmen, Addison-Wesley • Wirth, Niklaus: Algorithmen und Datenstrukturen, B.G.Teubner, Stuttgart-Leipzig-Wiesbaden.