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台形則による数値積分

台形則による数値積分. 定積分. f(x). 　区間 [a, b] で，連続関数 f, x 軸 , x=a, x=b で囲まれた面積. x. a. b. 定積分：. f(x). x. a. b. 定積分：. 台形則による数値積分. 連続関数 f, x 軸 , x=a, x=b ( 区間 [a, b]) で囲まれた面積. 式の変形による関数の積分 ⇒　ごく限られた関数しか定積分できない数値積分 高階関数として，数値積分の Scheme プログラムを作る. 高階関数. 入力は被積分関数 f と 3 つの数値 ( 積分区

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台形則による数値積分

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Presentation Transcript

  1. 台形則による数値積分

  2. 定積分 f(x) 　区間 [a, b] で，連続関数 f, x軸, x=a, x=b で囲まれた面積 x a b 定積分：

  3. f(x) x a b 定積分： 台形則による数値積分 連続関数 f, x軸, x=a, x=b (区間 [a, b])で囲まれた面積 • 式の変形による関数の積分 ⇒　ごく限られた関数しか定積分できない数値積分 • 高階関数として，数値積分の Scheme プログラムを作る 高階関数 入力は被積分関数 f と3つの数値(積分区 間の両端の x 座標a, b, 区間分割数 n) 出力は数値 trapezoid

  4. 区間 [a, b] の小区間への分割 f(x) • 区間 [a, b] を，n 等分 • １小区間の幅：　h = (b-a) / n • 小区間：　[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn] 但し，x0 = a, xi = x0 + i × h x x1 x2 xn-1 xn = b x0 = a

  5. 小台形 f(x) f(xi) • 小台形の面積は f(xi+1) x xi xi+1 xn = b x0 = a 小台形

  6. 台形則 trapezoidal rule 区間［a，b］を n 等分(1区間の幅h=(b-a)/n) f(x) • n 個の小台形を考え, その面積の和 Snで，定積分 I を近似 • f(x) が連続関数のとき，n→∞で，Sn→I x1 x2 x3 xn-1 x xn-2 xn = b x0 = a

  7. 台形則による数値積分 • f(x) が連続関数のときは，n を無限大に近づければ，Snは I に近づく

  8. 台形則 両端 x0 = a と xn = b 2回現れる部分 但し　 h = (b - a) / n

  9. 単に n を大きくしすぎるのは問題 • 計算時間 • 丸め誤差

  10. 実演

  11. 実演１．台形則による数値積分 • 台形則による数値積分の関数 trapezoidを定義し，実行する • 但し， 積分したい関数　f(x) = e 積分区間: [a, b] 区間数: n -x2

  12. trapezoid 関数の Contract(規約) 入力 ;; trapezoid: (number -> number) number number non-negative-integer ;; -> number 自然数 数値 関数 入力：数値 出力：数値 数値 数値 出力

  13. 数値積分 trapezoid ;;trapezoid : (number -> number) number number non-negative-integer ;; -> number ;;to compute the area under the graph of f between a & b (define (trapezoid f a b n) (local ((defineh (/ (-b a) n)) (define (f_x i) (f (+a (*h i))))) (*h (+ (/ (f a) 2) (foldr +0 (mapf_x (build-list (-n1) add1))) (/ (f b) 2)))))

  14. 次を「定義ウインドウ」で，実行する 実演１の手順 ;;trapezoid : (number -> number) number number non-negative-integer ;; -> number ;;to compute the area under the graph of f between a & b (define (trapezoid f a b n) (local ((defineh (/ (-b a) n)) (define (f_x i) (f (+a (*h i))))) (*h (+ (/ (f a) 2) (foldr +0 (mapf_x (build-list (-n1) add1))) (/ (f b) 2))))) (define (f2 x) (exp (- (*x x)))) 2. その後，次の式を「対話ウインドウ」で評価させる (trapezoidf2 0 1 1000)

  15. 関数 f2を定義している (define (f2x) (exp (- (* x x)))) これは，数値積分したい関数

  16. これは， (trapezoidf2 0 1 1000) と書いて，aの値を 0 に, bの値を 1 に，hの値を 1000 に， fを f2に設定しての実行　 評価結果である 「#i0.7468240714991862」 が表示される　

  17. 演習問題１．台形則の計算の精度 • 台形則の計算の精度が，分割幅を小さくするほど高精度になることを確かめる． • 但し， 積分したい関数　f(x) = e 積分区間　0 から 1 分割数　10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 の８通り -x2

  18. 演習問題１の手順 　次の式を「対話ウインドウ」で評価させなさい (trapezoid f2 0 1 10) (trapezoid f2 0 1 20) (trapezoid f2 0 1 40) (trapezoid f2 0 1 80) (trapezoid f2 0 1 160) (trapezoid f2 0 1 320) (trapezoid f2 0 1 640) (trapezoid f2 0 1 1280)

  19. 演習問題２ 台形則(関数trapezoid)を使い，次を計算 • 計算結果を以下と比較せよ • 区間数 n を，n = 4, 8, 16, 32, 64, 128 と変えて計算を行い，刻み幅と誤差の関係を調べよ • 区間数 n と誤差の関係を書いたグラフを作成し，おおよそ次の関係が成り立っていることを確認せよ DrScheme での (log 2) の実行結果 （c は定数）

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