Геометрическая прогрессия

1. Геометрическая прогрессия (Алгебра – 9)

2. Легенда о шахматах. Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века и неудивительно, что с нею связаны различные придания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить. Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

3. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. - Я желаю достойно вознаградить тебя . Мудрец молчал. - Я достаточно богат, чтобы исполнить твоё самое смелое пожелание. Назови награду , которая тебя удовлетворит.

4. - Повелитель,- сказал Сета,- прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничноё зерно, за вторую – 2, за третью - 4, за четвёртую – 8, за пятую – 16… - Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зёрна за всё 64 клетки доски. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Сета улыбнулся и покинул залу.

5. Отходя ко сну царь вспомнил об изобретателе шахмат и спросил: -Унёс ли Сета свою жалкую награду? - Повелитель ,- ответили ему, математики твои трудятся без отдыха и надеются к рассвету закончит подсчёт. Утром царю доложили , что число это так велико, что в его амбарах нет такого количества зёрен.

6. Что за последовательность чисел получилась? 1 ; 2 ; 4 ; 16 ; 32 ; 64…. В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на два. Такая последовательность называется геометрической прогрессией.

7. Определение геометрической прогрессии. Числовая последовательность b1; b2; b3;….; bn;… называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bnq , где bn≠ 0, q – некоторое число , не равное нулю. q называется знаменателем прогрессии.

8. Примеры геометрических последовательностей. • Размножение бактерий. • Последовательность длин сторон. 2; 4; 8; 16; 32;…. 1

9. Свойство геометрической прогрессии. bn+1 = bnqbn-1 = bn: q Перемножим эти равенства bn+1∙bn-1 = (bnq) ∙ (bn: q) = bn2

10. Если все члены прогрессии положительны, то т. е. каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия.

11. Формула n – го члена геометрической прогрессии. bn+1 = bnq b2 = b1q b3 = b2q = b1q2 b4 = b3q = b1q3 bn = b1qn-1 ………………………

12. Задача №1. Найти седьмой член геометрической прогрессии, если b1=81, q= . Решение.

13. Задача № 2. Решение. bn=b1·qn-1 2) bn=2·3n-1= 486, 3n-1= 243, 3n-1= 35,

14. Задача № 3 . На луг площадью 12800 м2 попали семена одуванчика и со временем заняли 50м2. При благоприятных условиях одуванчик размножаясь, занимает площадь в двое большую, чем в прошлом году. Через сколько лет одуванчики займут весь луг?

15. Решение. Дано: b1=50, bn=12800, q=2. Найти:n. bn=b1·qn-1 bn=50·2n-1= 12800, 2n-1= 256, 2n-1= 28, n–1= 8, n= 9. Ответ: за 9 лет.

16. Закрепление. • Какая последовательность называется геометрической прогрессией? • Почему она так называется? • Как вычислить n – ный член геометрической прогрессии?

17. Д\з: §30, № 407-409 (чет). Работа в классе: • № 406 (устно), • № 407-409 (нечет).