1 / 147

第 七 講

第 七 講. 常態分配及其他連續分配. The Normal Distribution and Other Continuous Distributions. 學習目標. 1. 定義連續型隨機變數 2. 均等 (uniform) 、常態 (normal) 以及指數 (exponential) 分配的介紹 3. 連續型隨機變數機率的計算 4. 以常態分配機率近似二項分配機率. 資料的獲得. 實驗 (experiment) 例如 1 : 丟擲一個骰子

hillary-knowles
Download Presentation

第 七 講

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第 七 講 常態分配及其他連續分配 The Normal Distribution and Other Continuous Distributions

  2. 學習目標 • 1. 定義連續型隨機變數 • 2. 均等(uniform)、常態(normal)以及指數 (exponential)分配的介紹 • 3. 連續型隨機變數機率的計算 • 4. 以常態分配機率近似二項分配機率

  3. 資料的獲得 • 實驗(experiment) 例如 1 : 丟擲一個骰子 2 : 長度的測量(公分，英吋 等) • 調查(survey) 例如 1 : 某公司新推出的產品在市場上的反應情形 2 : 對某年齡學童身高的測量 ( 150cm, 130cm, 145cm, …)

  4. 資 料 類 型 Data Types 資 料 屬 質 屬 量 連續 離散

  5. Continuous Random Variables 連續型隨機變數

  6. 連續型隨機變數 Continuous Random Variables • 1. 隨機變數 (Random variable, r.v.) • 將隨機實驗的結果(outcomes)以實數值來表達 例如：學生體重 (65.5公斤、51公斤等等) • 2. 連續型隨機變數(Continuous r.v.) • 對應實數的數值 • 經由量測得來(obtained by measuring) • 對應於某區間必定為無限多數值 (Infinitive number of values in an interval) • 無法一一計數列出 (uncountable)

  7. 連續型隨機變數範例Continuous Random Variable Examples

  8. 例題: 連續型隨機變數 可能數值 隨機變數 實 驗

  9. 例題: 連續型隨機變數 可能數值 隨機變數 實 驗 實驗 100個人的體重 重量 45.1, 78, ...

  10. 例題: 連續型隨機變數 實 驗 可能數值 隨機變數 100個人的體重 重量 45.1, 78, ... 壽命的測量 小時 900, 875.9, ...

  11. 例題: 連續型隨機變數 實 驗 可能數值 隨機變數 100個人的體重 重量 45.1, 78, ... 壽命的測量 小時 900, 875.9, ... 詢問每次食物的花費 金錢花費 54.12, 42, ...

  12. 例題: 連續型隨機變數 實 驗 可能數值 隨機變數 100個人的體重 重量 45.1, 78, ... 小時 900, 875.9, ... 壽命的測量 詢問每次食物的花費 金錢花費 54.12, 42, ... 間隔時間 0, 1.3, 2.78, ... 到達時間

  13. 連續型隨機變數 x 值 (小時) 例如:燈泡壽命的時間測量

  14. 連續型隨機變數之密度函數(density function) • 連續型隨機變數之數值(x)變化，為整個實驗之結果，具有不可數且無限多的實數，可以用一條曲線來表示整個實驗結果的分布情形。以座標橫軸表示ｘ值，則該曲線定會在橫軸(x)的上方，且該曲線和其 x 值之間所圍繞的區域面積為1。此時以一個數學函數 f(x) 來表示該曲線與ｘ值之間的關係，則該函數 f 即為此隨機變數之密度函數。

  15. 連續型隨機變數之機率與機率密度函數 • 在任一給定的 x 數值區間，與其對應於密度函數 f(x) 的面積即為機率。此時又稱該密度函數為機率密度函數(probability density function)。 • f(x) 本身僅代表於 x 值上的一個密度曲線高度，並非機率(probability) 。　　 f(x) x c d

  16. 機率密度函數 • 1. 數學模式。 • 2. 該函數可清楚的表達出連續型隨機變數(X)之所有實驗結果的機率分配。 • 3. 當代入數值 x 後，對應到該密度函數的值為密度曲線之高度。 • f(x)並非機率probability 密度函數 (x, f(x)) 密度曲線 f(x) x a b x 數值

  17. 機率密度函數 密度函數值 • 基本性質 • 1. f (x)  0 • 2. 曲線下總面積為1, (x, f(x)) f(x) x a b (圖形下Area under curve面積為1) x 數值

  18. 連續型隨機變數的機率 機率為密度曲線下的面積 ! f(x) c d X

  19. 分配函數Distribution function 機率 分配函數

  20. 分配函數性質 1. 0  F(x)  1 2. F(- )=0 ， F( )= 1 3. F(x)  F(y) ， 若　 x  y 4. F(x) =P( X ≤ x )= 1 – P( X > x ) 5. P( x < X  y ) = F(y) - F(x) ，若 x < y

  21. 連續型隨機變數 變數值 、 密度曲線 機率密度函數 、 函數分配 例如:燈泡壽命的時間測量 x 值 (小時)

  22. 一些常見連續型機率分配

  23. 一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 欲在某經常發生事故路段，設置緊急救護中心。若發生事故的地段距離為100公里，試問中心設在離路口20公里，50公里，或80公里處，何者較為適合?

  24. 一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 身高

  25. 一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 指數分配 等車時間

  26. 一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 指數分配 其他分配 抽菸者在不同年齡染患肺癌的風險 f(x)=0.03+0.0003(x-35)2 , x  35

  27. 一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 指數分配 其他分配

  28. 均 勻 分 配Uniform Distribution 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。產品重量落在該區間內任一段區間的頻率或可能性均相同。

  29. 均 勻 分 配 f(x) c d x 所有實驗結果發生的頻率或可能性均相同

  30. 均 勻 分 配 f(x) c d x 所有實驗結果發生的頻率或可能性均相同 機率密度函數

  31. 均 勻 分 配 f(x) • 1. 所有實驗結果發生的頻率或可能性均相同。 • 2. 機率密度函數為 x c d x • 3. 分配函數

  32. 均 勻 分 配4. 平均數 (μ) 及 標準差 (σ)

  33. 均 勻 分 配 f(x) x c d 平均數及中位數相同

  34. 均 勻 分 配 範 例 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。若公司收到的訂單要求該產品重量必須在24至28公克間，試問該公司有多少產品符合此要求。

  35. 範 例 解 f(x) 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。 x

  36. 範 例 解 1 10 f(x) 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。 x 20 30

  37. 範 例 解 f(x) 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。若公司收到的訂單要求該產品重量必須在24至28公克間，試問該公司有多少產品符合此要求。 x 24 28 30 20

  38. 範 例 解 f(x) • P(24  X  28) = (底 Base) (高 Height) = (28 - 24) (1/10) = 0.40 1/10 x 30 20 24 28

  39. 均 勻 分 配 範 例 28 28 1 28 2 8 – 2 4 x 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。若公司收到的訂單要求該產品重量必須在24至28公克間，試問該公司有多少產品符合此要求。 解 : P(24 X  28)=24 f(x) d x = 2410d x = 10 24= 1 0 = 0.4

  40. 均 勻 分 配 範 例 c+d 20+30 2 2 30-20 121/2 某工廠的研究部門相信，在廠中機器所生產的產品，每件多少重量有一些差異，且相信產品重量變化均勻分布在20至30公克的範圍內。試問該產品的平均重量與標準差。 解 : E(X)= = = 25  =  2.89

  41. 範 例 二 • 當您是銘傳飲料公司的生產經理時， 您知道公司將飲料充填量設定為 450克，但實際飲料充填量為一均勻分配於430至470克之間。 試問某罐飲料充填量在440克以下的機率為何? Ming Chuan

  42. 範 例 二 解 f(x) • 當您是銘傳飲料公司的生產經理時， 您知道公司將飲料充填量設定為 450克，但實際飲料充填量為一均勻分配於430至470克之間。 試問某罐飲料充填量在440克以下的機率為何? x 430 470

  43. 範 例 二 解 f(x) • 當您是銘傳飲料公司的生產經理時， 您知道公司將飲料充填量設定為 450克，但實際飲料充填量為一均勻分配於430至470克之間。 試問某罐飲料充填量在440克以下的機率為何? x 430 440 470

  44. 範 例 二 解 f(x) • P(430 X 440) = (底Base)(高Height) = (440- 430)(0.025) = 0.25 1/40 1 470-430 x 430 440 470

  45. 一些常見連續型機率分配 連續型 機率分配 均勻分配 常態分配 指數分配 其他分配

  46. 常態分配Normal Distribution

  47. 常態分配的重要性 • 1. 常態分配數學式為「常態機率密度函數」 • 2. 可用來描述許多隨機程序或連續現象 • 3. 離散或連續分配計算機率值時可用它求近似值 • 例如 : 二項分配 (Binomial distribution)，經驗法則 (Empirical Rule) • 4. 傳統的統計推論基礎

  48. 常態分配的一些性質 • 1. 鐘型 (bell-shaped)，且圖形對稱 。

  49. 常態分配的一些性質 • 1. 鐘型 (bell-shaped) ，且圖形對稱 。 Mean Median Mode

  50. 常態分配的一些性質 • 1. 鐘型 (bell-shaped) • 2. 對稱函數﹔平均數( mean), 中位數 (median),眾數 (mode) 均相同 • 3. X 值定義在(-, )﹔且雙尾漸近水平軸 • 4. 代入不同的 x 值對應到的 f(x) 高低不同; 且曲線下總面積=1 平均數中位數 眾數

More Related