Macierze

1. Macierze Radosław Biaduń

2. MACIERZ Definicja 1.1. Macierz jest to tablica liczb zapisanych w m wierszach i n kolumnach, ograniczona nawiasami kwadratowymi, gdzie m, n1.

3. Macierz TRANSPONOWANA Definicja 1.2.Macierzą transponowaną macierzy A [aij] (i 1,2,...,m, j 1,2,...n) nazywamy macierz B [bij] (i 1,2,...,n, j 1,2,...m), gdzie bijaji i oznaczamy ją przez AT lub A'.

4. SUMA macierzy Definicja 1.3. Sumą macierzy A [aij] i B [bij] wymiaru mn nazywamy macierz C [cij] wymiaru mn, gdzie cij  aij + bij (i 1,2,...,m, j 1,2,...,n).

5. ILOCZYN macierzy Definicja 1.4. Iloczynem macierzy A [aij] (i 1,2,...m, j 1,2,...,n) i liczby l nazywamy macierz C [cij], gdzie cijlaij (i 1,2,...m, j 1,2,...,n). Oznaczamy ją przez lA. l 5

6. ILOCZYN macierzy Definicja 1.5. Iloczynem macierzy A i macierzy B nazywamy macierz C [cij], gdzie cijai1b1j + ai2b2j + ... + aipbpj (i 1,2,...,m, j 1,2,...,n).

7. Własności działań na macierzach

8. Macierz jednostkowa Definicja 1.6. Macierzą jednostkową ( I ) nazywamy macierz kwadratową, dla której aij 1, gdy ij, natomiast aij 0, gdy i  j.

9. Macierz ODWROTNA Definicja 1.7.Macierzą odwrotną macierzy kwadratowej A nazywamy taką macierz B, dla której AB = BA = I. Macierz odwrotną oznaczamy przez A–1. Nie każda macierz kwadratowa ma macierz odwrotną. Np. macierz zerowa nie ma macierzy odwrotnej, ponieważ OA = O.

10. Wyznacznik Iloczyn Dij = (–1) i + jdet Aij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu aij, gdzie Aij oznacza macierz stopnia n – 1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

11. WYZNACZNIK - Metoda Sarrusa Wyznacznik trzeciego stopnia można obliczyć stosując skróconą metodę zwaną metodą (regułą) Sarrusa. Metoda ta odnosi się tylko i wyłącznie do wyznaczników stopnia trzeciego i można ją zapisać w postaci schematu

12. WYZNACZNIK … 1. Wyznacznik transponowanej macierzy A jest równy wyznacznikowi macierzy A, tzn. 2. Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez przestawienie dwóch wierszy (kolumn), to . Własność 1. wskazuje na to, że wyznacznik macierzy kwadratowej A możemy również obliczyć korzystając z rozwinięcia wyznacznika względem j-tej kolumny. Zatem, jeżeli n > 1, to:

13. Wyznacznik - przyklad

14. Macierz odwrotna Definicja 1.9. Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz A–1, która spełnia warunek: AA–1A–1AI, gdzie I jest macierzą jednostkową. Transponowaną macierz dopełnień algebraicznych nazywamy macierzą dołączoną. Oznaczmy ją przez Ad: gdzie: AD – macierz dopełnień algebraicznych.

15. Macierz ODWROTNA gdzie: Dij– dopełnienie algebraiczne elementu aij.

16. Równania LINIOWE Definicja 1.10. Równaniem liniowym o n niewiadomych nazywamy równanie, w którym wszystkie niewiadome występują w pierwszej potędze i nie występują ich iloczyny i ilorazy. Macierz niewiadomych Ogólna postac: Macierz wyrazów wolnych Macierz współczynników przy niewiadomych ma postać:

17. Rozwiązywanie układów Cramera Twierdzenie 1.1 (Cramera). Układ n równań liniowych o n niewiadomych, w którym wyznacznik macierzy współczynników przy niewiadomych jest różny od zera, nazywamy układem Cramera. Układ Cramera ma jedno rozwiązanie, które wyraża się wzorem: gdzie i = 1,2,...,n, a macierz otrzymujemy z macierzy A zastępując w niej kolumnę współczynników przy niewiadomej xi kolumną wyrazów wolnych.

18. Cramera - przykład

19. Inne definicje Definicja 1.11.Minorem lub podwyznacznikiem stopnia k  min{m, n} macie­rzy A o wymiarze mn nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k powstałej z macierzy A przez skreślenie m – k wierszy oraz n – k kolumn. Definicja 1.12.Rzędem macierzy niezerowej A nazywamy najwyższy stopień jej podwyznacznika różnego od zera i oznaczamy przez rzA. Jeżeli A jest macierzą zerową, to rzA = 0. Niektóre z własności rzędu macierzy: 1. Rząd macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnego wiersza (kolumny) dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez tę samą liczbę. 2. Rząd macierzy nie zmieni się, jeżeli wiersz (kolumnę), którego elementami są same zera opuścimy.

20. Rozwiązywanie równań macierzowych AD – macierz dopełnień algebraicznych. Ad – dołączona 

21. Równanie macierzowe Aby rozwiązać to równanie, obustronnie mnożymy je przez macierz A–1i otrzymujemy: XAA–1BA–1. Ponieważ AA–1I, otrzymujemy: XBA–1.