《 天体物理中的辐射机制 》

1. 研究生课程 《天体物理中的辐射机制》 授课教师：吴学兵（北大天文系） http://vega.bac.pku.edu.cn/~wuxb/radiation.htm 2013.11.11

2. 复习题（11. 11) 1、电子在磁场中的辐射过程有哪几种？试分别简述之。 2、写出回旋辐射的总功率表达式。简述回旋辐射的辐射频率辐射谱特征、辐射角分布和偏振特性。 3、引起回旋辐射谱线展宽的可能机制有哪几种？若回旋辐射谱线的轮廓为Lorentz谱型，则可能源于哪些展宽机制？若为Gauss谱型，则可能源于哪种机制？ 4、处理回旋辐射的经典理论的适用条件是什么？在中子星表面是否可以利用回旋辐射的经典理论？ 5. 写出相对论电子同步辐射总功率的表示式。它与回旋辐射总功率表示式有何不同？ 6、写出同步辐射峰值频率表示式。若磁场强度B为10000高斯，为10的相对论电子投射角为30度，试求其同步辐射峰频值. 7. 同步辐射的角分布和谱分布各有何明显特征？与回旋辐射有何不同？

3. 三、回旋辐射、同步辐射及曲率辐射 • 参考： 尤峻汉书第4章； Rybicki & Lightman书第6章 Frank Shu书第18, 19章

4. 三、回旋辐射、同步辐射及曲率辐射 • 电子在磁场中受Lorentz力作加速运动，产生辐射 • 非相对论电子在磁场中的辐射--回旋辐射(Cyclotron radiation) • 相对论电子在磁场中的辐射--同步辐射(Synchrotron radiation) • 两者在磁场中的运动类似，角频率为 (相对论电子情况下： )，但辐射总功率、角分布、谱分布明显不同 • 相对论电子在强磁场中沿弯曲磁力线运动产生的辐射--曲率辐射(Curvature radiation)

5. 定性分析 • 经典的偶极辐射： • 沿偶极子方向辐射最小，沿 • 方向上辐射最强 • E, B, S三矢量成右手螺旋关系 ( ，， ) • 如偶级子以单色频率沿z方向振动，空间任一点处场强为 (单色球面波辐射)

6. 非相对论电子的回旋辐射：电子在磁场中的圆周运动非相对论电子的回旋辐射：电子在磁场中的圆周运动 圆周运动是两个方向垂直、频率相同、相位差为/2的简谐振动的合成。 电子的低速圆周运动可看成二维的电偶级子。 其辐射大体上是各向同性的，X分量和Y分量互相补充，沿z轴辐射最强。 回旋辐射是单色的，其辐射频率就是电子作圆周运动的角频率。

7. 回旋辐射的偏振状态 • 二维偶级子： • Z轴方向--圆偏振(X分量和Y分量在Z轴场强互相垂直、振幅相同而相位差为/2) • 沿(X，Y)平面上任一方向(含X轴、Y轴)--线偏振 • 其它方向--椭圆偏振 • 当圆周运动速度v较大时，仍可分解为两个互相垂直的简谐振动，但不能看作偶级子。 • 当速度v值增大，角分布各向异性逐渐明显，单色性被破坏。除基频辐射外，还有等较弱的谐频成分。 • 当，-->相对论电子,分立线谱过渡成光滑连续谱

8. 相对论电子的同步辐射： 当时，辐射明显各向异性，沿电子速度方向的辐射最强，几乎都集中在以v为中心、半张角的狭窄角锥内。 同步辐射不再保持单色性，这 与辐射的方向性有关。圆周运 动电子的同步辐射只有处在圆 轨道平面上(或附近)的观测者才能观测到。辐射必然是周期性脉冲，频率是电子沿轨道的转动频率。 (拉摩频率) 能量为的电子的转动频率比非相对论电子减小倍。

9. 周期脉冲的主要频率成分决定于脉冲持续时间dt的大小，观测者收到脉冲的持续时间dt并不等于电子发射脉冲所需的时间dt’.周期脉冲的主要频率成分决定于脉冲持续时间dt的大小，观测者收到脉冲的持续时间dt并不等于电子发射脉冲所需的时间dt’. 观测者在t-t+dt时间收到的脉冲信号是电子在t’-t’+dt’这一较早时间发射的， dt’是电子沿圆轨道扫过2角所需时间。 脉冲的空间长度为，因在dt’中，电子本身向观测者前进了。

10. 周期性脉冲不再是单色波，而是含从基频到各次谐波的合成波-->谱分布。其中振幅最大的谐波频率为：周期性脉冲不再是单色波，而是含从基频到各次谐波的合成波-->谱分布。其中振幅最大的谐波频率为： 周期性脉冲包含了从基频到的各种频率成分，而辐射的峰值频率为。 -->同步辐射的非单色性来源于辐射的方向性。 由于相对论电子>>1，频率大大高于回旋辐射频率。频率为的单色波的振动周期，即在辐射角锥扫过观测者的时间dt中，恰好完成一个周期振动的单色波为最强的辐射波。凡周期与dt差甚多的单色波都较弱。由于辐射频率集中于及其近旁，，谱的分立性已不明显，可认为是光滑连续谱。

11. 回旋加速辐射 • 与同步辐射相比，非相对论电子的回旋辐射在天体物理中重要性较小。一般天体磁场较弱，1E-3~1E-6G.拉摩频率(L=1.76E7(B/1G)Hz)远低于通常的射电频率，而且非相对论电子的辐射功率小。但在强磁场的天体中，回旋辐射是不可忽视的重要机制(如太阳耀斑、白矮星光学辐射、中子星X射线辐射等)。 • 电子运动方程，拉摩频率 • 在均匀磁场中，电子受Lorentz力作用，运动方程为： • 在非相对论情况下(尤其电子极端低速时， )：

12. 求解上式给出粒子的运动方程： 取B方向为Z轴， 其解为： 式中为积分常数，是速度平行和垂直于B的分量。再积分可得运动方程：( 由初始条件决定)

13. 以上方程表示：磁场中电子沿着轴平行于B的螺旋线运动，轨道在(X，Y)平面上的投影是圆，圆心在点以上方程表示：磁场中电子沿着轴平行于B的螺旋线运动，轨道在(X，Y)平面上的投影是圆，圆心在点 处，半径为，称为拉摩半径。粒子的回转频率是，称为拉摩频率(和磁场强度B成正比，与速度无关)。描写圆心轨迹的点 称为引导中心。 拉摩(Larmor)频率： 弱磁场中，回旋频率远小于射电辐射频率(>1E7/s) 若非相对论电子不作->1极限近似，电子运动方程的准确结果仍然类似，只是电子回旋频率不在是拉摩频率，而改为

14. 此时电子运动方程为： 上式中。只要电子能量不十分大，，都称为非相对论电子。

15. 回旋辐射的总功率 • 非相对论电子的辐射总功率 • 对非相对论电子，，有： 其中是投射角，即v与B之间夹角。经典电子半径为： 或

16. 代入光速和经典电子半径值 假定电子速度是各向同性的，则平均总功率为： 非相对论电子回旋辐射功率与其能量成正比(即正比于 )，且与磁场强度平方成正比。

17. 回旋辐射的谱 • 非相对论电子在磁场中的辐射也不是严格单色的，电子速度较大时，谐频成分的辐射将增强。 • 先考虑圆轨道运动的电子( )的回旋辐射谱。选坐标原点在圆心，轨道在(X，Y)平面，电子的位置和速度为： 其中

18. 周期运动粒子的辐射谱公式： 选观测者在oxz平面内，

19. 式中代表正整数S阶Bessel函数，代表对其宗量的导数。式中代表正整数S阶Bessel函数，代表对其宗量的导数。 上式给出沿方向单位立体角，频率为的单色波辐射功率(S=1,2,3,…)

20. 完成对立体角的积分，给出 此即频率为的单色辐射功率---回旋辐射谱公式。 对非相对论电子，，可将Bessel函数作级数展开，利用渐近式 辐射谱由一系列分立谱线组成几乎全部能量集中于基频辐射中。

21. 如电子沿磁场方向有运动( )，即作螺旋轨道运动，谱分布可借助于Lorentz变换得到。 在引导中心参考系(运动系) 中， 电子仍做圆周运动(速度 )， 而观测者则沿磁场以运动。 螺旋轨道电子的辐射谱特征与圆轨道 电子辐射的主要不同点是谱线有移动， 从圆轨道辐射频率变成螺旋 轨道辐射频率。螺旋轨道电子 辐射的S次谐波辐射功率改为：

22. 回旋辐射的角分布 • 辐射能量集中于基频辐射，因此可用基频辐射的角分布来代表整个辐射的角分布。 • 以圆轨道辐射为例， 回旋辐射的角分布大体是各向同性的，沿磁场方向辐射最强，垂直磁场方向辐射最弱，强度差二倍。

23. 回旋辐射的偏振特性 谱公式中积分项和频率为的单色波的振幅值有关 基频辐射的振幅值 对=0(沿磁场方向的辐射)，。场强的x和y分量相等而相位差/2，-->圆偏振波。 对= /2(沿垂直磁场方向的辐射)， -->线偏振波。 取中间值时，一般为椭圆偏振波。

24. 回旋辐射的谱线宽度及轮廓 • 引起回旋辐射谱线展宽的可能机制： • 1、辐射展宽 • 由于电子在辐射过程中损失能量，辐射只能维持有限长的时间，波列不可能无限长。有限长的波列不是严格单色的，谱线有一自然宽度。频宽和电子辐射时间有关，，谱线的最小宽度。 • 2、碰撞展宽 • 电子在回旋运动中和等离子体中其它粒子发生碰撞，造成辐射的暂时中断，使辐射波列成为有限长，引起谱线展宽。谱宽和平均两次相邻碰撞时间间隔 • 有关，，即近似等于碰撞频率。

25. 3、多普勒效应 由于电子沿磁场方向的速度分量各不相同，随机分布，各个电子辐射的多普勒频移各不相同，使谱线加宽。若电子平均热运动速度为，则谱线的多普勒宽度为 4、质量的相对论变化 由于而各个电子速度不同，使它们具有不同质量值，因而在磁场中有不同的回旋频率。 ( )，这一线宽的量级为。

26. 5、辐射自吸收 如回旋辐射线线心频率处的等离子体光学厚度则自吸收效应必须予以考虑。这时线心处强度应相当接近该频率处的黑体辐射强度。 在的光学厚情况下，只有黑体谱，谱线完全不出现。 在的光学薄情况下，可以出现细锐谱线。 在的中间情况，应相当接近于黑体谱。线心强度不得超过同一频率处的黑体辐射强度，结果使回旋辐射谱线能量分散在一较宽的频率范围中。 6、磁场的不均匀性 由于，磁场B的不均匀性会引起谱线加宽。这一线宽的量级是

27. 回旋辐射谱线形状(轮廓) • 根据谱线形状可以判断哪种展宽机制起主要作用，因为不同的展宽效应有不同的谱型。 • 辐射展宽和碰撞展宽----Lorentz谱型 • 多谱勒展宽----Gauss谱型 • (1)、辐射展宽的谱型 • 展宽机制来源于电子在辐射中能量的逐渐衰减，使得辐射场中任一点的场强具有阻尼振动形式。 振幅随时间指数衰减，为阻尼系数。振幅减小到原有值的1/e所需时间=1/，为辐射时间(电子辐射寿命)

28. 有限时间内的辐射不是严格的单色辐射，可用傅氏分析求其频谱分布。有限时间内的辐射不是严格的单色辐射，可用傅氏分析求其频谱分布。 积分强度

29. 各单色辐射的强度为： 或 此即辐射展宽的谱分布公式。谱线轮廓如a, 洛伦兹谱型。

30. 在处有一尖锐的极大，表示辐射频率基本仍为，只是有一谱线宽度。当时，减少到极大值的一半。谱线的半宽度为：在处有一尖锐的极大，表示辐射频率基本仍为，只是有一谱线宽度。当时，减少到极大值的一半。谱线的半宽度为： (2)、碰撞展宽的谱型 也为洛伦兹谱型。若平均碰撞时间为 (碰撞频率的倒数，即为每次辐射的平均持续时间。 谱线的半宽度为

31. (3)、多普勒展宽的谱型 若电子沿B方向速度分量为，电子作螺旋轨道运动，相对观测者速度为，多普勒频移为： 由于随机取值，造成谱线加宽。只有在观测方向上的速度分量对多普勒频移有贡献，故只需考虑Maxwell分布形式： 多普勒展宽具有Gauss分布形式，称为Gauss谱型。

32. 辐射强度在处达到极大。令，求出频率差为： 谱线的半宽度为 故多普勒展宽 *实际展宽机制经常不只一种，一般谱型既不是典型的Lorentz形，也不是典型的Gauss形。但多普勒效应对谱线中心形状起决定作用，碰撞效应对谱线两翼形状起决定作用。

33. 经典理论的适用范围 • 只有当辐射光子的能量远小于电子动能时，用经典辐射理论处理回旋辐射才是正确的。 • 对非相对论电子，如用表示以电子伏特为单位的电子的动能，不等式可写成： • B是磁场强度。此即回旋辐射经典理论的适用条件。在强磁场情况下(如中子星表面， )，不能忽视量子效应的影响。

34. 同步加速辐射 • 与回旋辐射相比，相对论电子在磁场中的同步辐射在天体物理中更为重要 • 大多数宇宙非热射电辐射来自同步辐射(如类星体、射电星系、正常星系、超新星遗迹、太阳的射电辐射等) • 一些天体的可见光和X射线辐射也(部分)来自于同步辐射(如蟹状星云、射电星系、类星体和其它活动星系核等)

35. 相对论电子在磁场中的运动方程 • 在均匀磁场中， e 由

36. 相对论电子在磁场中的运动初看似乎是频率为的圆周运动或螺旋轨道运动。但由于，圆半径相对论电子在磁场中的运动初看似乎是频率为的圆周运动或螺旋轨道运动。但由于，圆半径 很大，实际上电子运动更近似于直线。 • 同步辐射的总功率和辐射寿命 • 相对论电子的辐射功率： 利用Lorentz力公式，用场强和速度表示功率， (电子经典半径)

37. 对具有各向同性速度分布的电子， 相对论电子辐射功率不同于非相对论电子！ 非相对论电子：辐射功率正比于电子能量( ) 相对论电子：辐射功率正比于电子能量的平方 ( )，辐射功率远大于非相对论 电子。

38. 相对论电子大部分辐射在峰频发出。对能量为，投射角为(电子速度与磁场夹角)的电子，相对论电子大部分辐射在峰频发出。对能量为，投射角为(电子速度与磁场夹角)的电子， 对螺旋轨道，是磁场在垂直电子速度方向上的投影 起作用，称为有效磁场。 电子由于辐射失去大部分能量的时间： 电子的辐射寿命：

39. 对某些源，年龄比电子寿命长很多 --->源中存在某种连续产生高能电子的机制， 使辐射源得以维持。 如蟹状星云(B~1E-4G)，产生X射线辐射 ( ~1E18Hz)的相对论电子，辐射寿命~20年。 而Crab Nebula 年龄~1000年，源中有使电子 能量增大到1E8MeV的连续加速机制---中子星！ 以上忽略了辐射阻尼的作用，因电子在每一周期内的运动中辐射的能量远小于电子能量，即电子回转周期远小于电子辐射寿命， 对辐射频率显著小于 (10MeV)的相对论电子，以上不等式总是满足的。

40. Crab Nebula: Remnant of SN 1054 至和元年五月已丑，出天关东南，可数寸，岁余稍没---《宋史志卷九》

41. Crab Nebula Spectrum of the Crab over a very wide range of energies. The emission is dominated by synchrotron radiation, and at at very high energies (1010-12 eV) there may be an inverse-Compton component. Source : Hillas et al 1998, ApJ, 503, 744 Images of the Crab in radio, infrared, optical and X-ray. Source :http://chandra.harvard.edu/photo/0052/what.html

42. 7颗Gamma射线脉冲星的多波段能谱 NASA/Fermi Gamma-ray Space Telescope has discovered 46 gamma-ray pulsars in 6 months (Abdo et al. 2010,ApJS, 187,460;arXiv0910.1608)

43. Fermi's Latest Gamma-ray Census Highlights Cosmic Mysteries 09.09.2011 Earlier this year, the Fermi team released its second catalog of sources detected by the satellite's Large Area Telescope (LAT), producing an inventory of 1,873 objects shining with the highest-energy form of light. This all-sky image, constructed from two years of observations by NASA's Fermi Gamma-ray Space Telescope, shows how the sky appears at energies greater than 1 billion electron volts (1 GeV). Brighter colors indicate brighter gamma-ray sources. For comparison, the energy of visible light is between 2 and 3 electron volts. A diffuse glow fills the sky and is brightest along the plane of our galaxy (middle). Discrete gamma-ray sources include pulsars and supernova remnants within our galaxy as well as distant galaxies powered by supermassive black holes. (Credit: NASA/DOE/Fermi LAT Collaboration) Active galaxies called blazars constitute the single largest source class in the second Fermi LAT catalog, but nearly a third of the sources are unassociated with objects at any other wavelength. Their natures are unknown. (Credit: NASA's Goddard Space Flight Center)

44. Crab Nebula • Consider electrons in the Crab Nebula synchrotron radiating at 20 keV ( c = 4.8 ×1018 Hz), in which the magnetic field strength is of order 10-4 Gauss. For these electrons the Lorentz factor  is 108

45. Crab Nebula The synchrotron spectrum turns over at about1016 Hz (or ~ 40 eV).The cooling time at this frequency is about1090years, which is consistent with the age (~950yrs) of the crab nebula (discovered in AD1054). =E/P=50Yr*[1/480^(1/2)]/[1/480]=50Yr*(480)^(1/2) =1090Yr 950

46. 同步辐射的角分布 • 相对论电子的辐射由于多普勒效应而具有显著的方向性，辐射集中在以速度V为轴线、半张角为 • ~1/的狭小角锥内。 越大，角锥越小。 • 由于电子在磁场中被加速，速度与加速度垂直. 角分布公式： • 同步辐射的谱分布(圆轨道情形) • 相关数学：Bessel方程 在P0时在x=0处有限的解：第一、二、三类Bessel函数( 、、、 )

47. 当自变量是虚数时，采用修正的Bessel函数、 考虑电子的圆周运动，与回旋辐射谱类似，沿单位立体角、频率为 的辐射功率为： 与回旋辐射相比，公式相同，基频远比回旋辐射小(因>>1)。在同步辐射情况下，相邻谱线间隔 ( )变得更小，实际已成连续谱。

48. 同步辐射的频率基本上集中于峰频及其附近， ，故S应取大数，即我们关心各高频成分的辐射功率。由~1，得到 由于辐射谱实际上是连续谱，就是频率在 之间的辐射功率。 此即相对论电子的同步辐射谱公式。其中 (拉摩频率)

49. 辐射谱形决定于： 可将叫做无量纲的同步辐射谱。 在时，曲线达到极大 值0.918。极值两侧函数的 渐近式为： 在低频端，函数以~ 形式缓慢上升，在处达到峰值；在高频端，以指数形式很陡地下降。 故表示辐射的临界频率，比更高的频率极弱，实际上辐射截止于。

50. 定性分析给出峰值频率，实际上应为 。 同步辐射的理论谱已由实验所验证。电子加速器的实验证实了所观测到的从直到的连续谱。 尽管同步辐射的频谱弥散在很宽的波段上，但粗略地看，能量为的电子的同步辐射仍像是一条宽的单色“谱线”，频率为。