第四节反馈控制系统的稳定性分析

第四节反馈控制系统的稳定性分析 一、稳定性的概念和定义二、稳定的充要条件三、代数稳定判据－劳斯判据四、劳斯判据的特殊情况五、劳斯判据的应用

稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。

一、稳定性的概念和定义 如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。图3-21 小球的稳定性

若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数，就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情况。如果当时，脉冲过渡函数收敛于系统原平衡工作点，即下式成立：二、稳定的充要条件 (3-38) 则线性系统是稳定的。

设系统闭环传递函数为： (3-39) 系统闭环特征方程为: 闭环特征根为: 设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下： (3-40) 则系统脉冲响应的拉氏变换为： (3-41)

发散 (1)若为实数 (2)若为复数得系统的脉冲过渡函数为（响应） (3-42) 由式(3-38)若系统稳定

(3)若特征根为k个实根，r个复数根， 线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根都具有负实部或都位于S平面的左半平面，则系统稳定。

例4一个单位反馈系统的开环传递函数为 试说明系统是否稳定。解：系统的闭环传递函数为系统稳定

三、代数稳定判据－劳斯判据 1. 系统稳定性的初步判别（必要条件）设系统的闭环特征方程式为如下标准形式： (3-43) 2. 劳斯稳定判据

直至其余项均为零。

按此规律一直计算到n -1行为止。 结论：考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的;假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。

例5 系统特征方程为 试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数 (2)列写劳斯阵列表如下: 第一列的系数都为正数，系统稳定

例6 系统特征方程为 试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。解：(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。 (2)列写劳斯阵列表如下: 有两个根位于s平面的右半平面

练习系统特征方程为 试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定具有正实部根的个数。答案：系统不稳定,有两个根具有正实部,即有两个根位于s平面的右半平面

１、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不全为零，这时可用一个很小的正数　　来代替这个零，然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号，则系统临界稳定，否则不稳定。１、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不全为零，这时可用一个很小的正数　　来代替这个零，然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号，则系统临界稳定，否则不稳定。四、劳斯判据的特殊情况

例7 系统特征方程为 判别系统的稳定性。解：(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。 (2)列写劳斯阵列表如下: 第一列为零系统不稳定，且有两个根具有正实部

练习系统特征方程为 判别系统的稳定性。系统不稳定，且有两个根具有正实部

２、若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。２、若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。 (1)用(k-1)行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶次为(n-k+2)，然后s的次数递降2。 (2)将辅助方程对s求导，其系数作为全零行的元素，继续完成劳斯表。 (3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。

解辅助方程得: 例8 系统特征方程为判别系统的稳定性。解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数 (2)列写劳斯阵列表如下:

例9 系统特征方程为 判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根的个数。

练习系统特征方程为

五、劳斯判据的应用 应用劳斯判据不仅可以判别系统是否稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。

图3-22 稳定裕量 1. 稳定裕量的检验 如图3-22所示，令即把虚轴左移。将上式代入系统的特征方程式，得以z为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴 (垂直线 )的右边。如果所有根均在新虚轴的左边（新劳斯阵列式第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量。

例10 检验特征方程式 是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s = -１的右边。解 (1)特征方程式系数都为正实数,满足稳定的必要条件 (2)列劳斯阵列表第一列无符号改变，故没有根在S平面右半平面。令s= z-1，代入特征方程式，得即

从表中可看出，第一列符号改变一次，故有一个根在直线s= -1（即新座标虚轴）的右边，因此稳定裕量不到1。则新的劳斯阵列表

2. 分析系统参数对稳定性的影响 设一单位反馈控制系统如图3-23所示，求使系统稳定的k的范围图3-23 (2)列劳斯阵列表解(1)系统的传递函数为：特征方程为：系数都为正实数

(2)列劳斯阵列表 若要使系统稳定，其充要条件是劳斯阵列表的第一列均为正数，即 K > 0，30 - K > 0 0 < K < 30, 其稳定的临界值为30。

例11 系统特征方程式为 按稳定要求确定 T 的临界值。解劳斯阵列表为即必须 T > 25 系统才能稳定。

第四节 反馈控制系统的稳定性分析