HÍRKÖZLÉSELMÉLET/2

1. HÍRKÖZLÉSELMÉLET/2 Frigyes István 2008-09/II.

2. 2. Digitális jelek átvitele analóg csatornán: a zaj hatása

3. Bevezető megjegyzések • A digitális átvitel elmélete (legalább is részben): a döntéselmélet alkalmazása. • Digitális jelek-jelátvitel definíciója: • Véges számú jelalak (M) • Mindegyik véges ideig tart (T) • A vevő (a priori) ismeri a jelalakokat (tárolva vannak) • Így a vevő feladata: hipotézisvizsgálat.

4. Bevezető megjegyzések • Minőségi paraméter: a hibavalószínűség • (Vagyis a költségek: • ) • Hibás döntést okozhat: • additív zaj • lineáris torzítás • nemlineáris torzítás • additív interferencia (CCI, ACI) • paraméter hibás ismerete • pl. szinkronizációs hiba

5. T Tˆ Bevezető megjegyzések • Gyakran nem egy jel hibavalószínűsége, hanem egy jelcsoporté – keret – ami érdekes • (Mégegy minőségi paraméter: T hibás felismerése: jitter. )

6. Átviteli Csatorna DIGITÁLISFORRÁS NYELŐ DE-KÓDOLÓ DE-KÓDOLÓ FORRÁS FORRÁS KÓDOLÓ KÓDOLÓ NYELŐ NYELŐ PE ÁTVITELI CSATORNA ÁTVITELI CSATORNA ÁTVITELI CSATORNA PE,dek JITTERMENTESÓRA adat adat RUGALMASTÁR óra óra Bevezető megjegyzések – a paraméterek javítása Mindkét minőségi paraméter javítható. Hibavalószínűség: Jitter

7. ωc n(t) s(t) z2(t) z0(t) z1(t) NEMLINERŐSÍTŐ SÁVSZŰRŐ FADINGESCSATORNA SÁVSZŰRŐ DÖNTŐ + ωc CCI INTER-FERENCIA ω1 ACI INTER-FERENCIA ω2 ACI INTER-FERENCIA Bevezető megjegyzések – minőségrontó hatások T(ω) H(ω) A(ω)

8. Bevezető megjegyzések • Megjegyzések: • 1. Ezek a hatások nem írhatók le a két – most definiált – minőségi paraméterrel, ezek mind analóg hatások; ezért az átviteli csatorna – ezen a szinten – analóg csatorna. • 2. A rádió- és az optikai frekvenciasáv viselkedése eléggé eltérő. Előbb az elsővel fogunk foglalkozni, majd kiegészítjük az utóbbival.

9. Időzítés (T) n(t) ˆm FORRÁS JELGENE-RÁTOR DÖNTŐ NYELŐ + si(t) mi r(t)= si(t)+n(t) {mi}, Pi M Egyedülálló jelek átvitele additív Gauss-zajban • A sok hibaforrás közül most csak ezt nézzük. • A vizsgálandó modell:

10. Egyedülálló jelek átvitele additív Gauss-zajban • Specifikációk: • A Pi a-priori valószínűségeket ismerjük • Az valós időfüggvények tartója: • (0,T) • energiájuk véges (E: az időfüggvény négyzetes integrálja) • kölcsönös-egyértelmű kapcsolat (az adó nem téveszt)

11. Egyedülálló jelek átvitele additív Gauss-zajban • Zaj: Gauss • 0-várható értékű • stac. • additiv úgy rajzoltuk • fehér • Megj.: fehér zaj: σn=

12. Egyedülálló jelek átvitele additív Gauss-zajban • Megj.: a fehér csak közelítés. Pontosabb: Planck-formula: • Ha hf/kBT0<<1: • Ha hf/kBT0>>1: • f =300 GHz,T0=30K:FkBT0 -0,1dB • f=200 THz,T0=270K:FkBT0-127 dB

13. Egyedülálló jelek átvitele additív Gauss-zajban • Döntés: persze r(t)=si(t)+n(t) alapján. • A megismert általános módszer konkretizálása: független mintákat nem célszerű biztosítani (nagy volna a zaj); korrelált minták kevesebbet adnak; • továbbá: nem adtak útmutatást a sávszélességre. • Legtöbb információt várhatóan akkor kapunk, ha a jelidőben folyamatosan vizsgáljuk a jelet – és a megfelelő feldolgozást végezzük. A következőkben az adott konkrét problémát vizsgáljuk – és ahhoz csatlakozó kérdéseket.

14. Egyedülálló jelek átvitele additív Gauss-zajban • A megvizsgálandó kérdések: • 0. Digitális jelek vektoriális előállítása • 1. Az optimális vevő • 2. Hibaarány • 3. Koherens – nem-koherens • 4. Optimális jelkészlet • 5. A digitális jelek által elfoglalt frekvenciasáv

15. 0.Egyedülálló jelek – digitális jelek vektoriális előállítása • Adva a – valahogy megválasztott – jelkészlet : • Választunk egy ortonormált bázist: • (ortonormált: • Úgy, hogy • Persze

16. 0. Egyedülálló jelek – digitális jelek vektoriális előállítása • Így: az időfüggvényeket egyértelműen jellemzi (ai,1, ai,2 … ai,D) szám D-s • De: ami D számmal van jellemezve, az tekinthető egy D-dimenziós vektornak • Vagyis • Így definiáltunk egy vektorteret: jel-tér • D a jeltér dimenziószáma (dimensionality)

17. 0. Megjegyzés • Mint mondtuk: DM • Korábban láttuk: az általános esetben a döntési tér dimenziószáma: D=M-1. • Konkrét jelalakoknál (mint most) a döntést a jeltérben végezhetjük – ennél D lehet kisebb • (Megj.: volt egy megfigyelési terünk is, D=N; folyamatos megfigyelésnél elvileg D=∞ is lehet; most nem túl érdekes)

18. 0. Hogy választjuk a bázist?

19. 0. Hogy választjuk a bázist? • Ezt az eljárást folytatjuk, amíg elfogy (Gram-Schmidt féle ortogonalizáció) • Látható: legfeljebb M bázisfüggvény lehet • De ha vannak jelalakok, melyek egymás lin. kombinációi, azok nem hoznak be új dimenziót – így lehet, hogy D<M • Pl. M-állapotú PAM jelkészlet 1-dimenziós • QAM jelkészlet 2-dimenziós

20. 0. Skalárszorzat • Két jeltérbeli vektor skalár szorzata a szorzatuk integrálja • Ebből (egyébként): |si|2 = Ei

21. 0. Egyedülálló jelek – a zaj vektoriális előállítása • A jel után a zajt is vektoriálisan kellene előállítani. • Persze fel lehet írni a j-edik zaj-vektor-komponenst: • És az ebből adódó zaj-vektort • De nem igaz (teljes zaj-folyamatra), hogy

22. 0. Egyedülálló jelek – a zaj vektoriális előállítása • (Egy Gauss-folyamat nem lehet véges-sok függvény lineáris kombinációja.) • Így • -ről azonban tudjuk, hogy ortogonális a teljes jel-térre; miután a jel a jeltérben van hatékony vevő a zajnak ezt a részét kiszűrheti – a vétel szempontjából irreleváns. n tehát tartalmazza a zaj teljes hatékony részét. (Röviden visszatérünk)

23. n ˆm FORRÁS JELVEK-TORGE-NERÁTOR DÖNTŐ NYELŐ + si mi r= si+n {mi}, Pi 0. Egyedülálló jelek – vektoriális előállítás • Vizsgálhatjuk tehát az összeköttetés vektoriális modelljét

24. 0. Egyedülálló jelek – vektoriális előállítás • A (jeltérbeli) zaj val.sűrűsége: korábban a σ2 volt kétséges (a fehér zajé végtelen) • Részletezés nélkül: a [0,T] intervallumban Gs fehér zaj bármilyen teljes ortogonális függvényrendszer szerint sorbafejthető • Az egyes összetevők függetlenek és σ2-ük azonos. • A jeltér bázisa egy ilyen teljes bázis része – minket csak ennyi érdekel

25. 0. Egyedülálló jelek – vektoriális előállítás • Így írható a sűrűségekre:

26. Jeltér

27. φ(t) T 1/T1/2 s1(t) T A=(E/T)1/2 M=2 D=1 s2(t)=-s1(T) s2 s1 0. Jeltér – példák • 1. (Antipodális) NRZ alapsávi jelek

28. 0. Jeltér – példák • 2. BPSK jelek M=2 D=2 s2 Φ s1 Ha Φ=π: antipodális D=1

29. s2 s1 s3 s4 0. Jeltér – példák • 3. QPSK jelek M=4 D=2

30. 0. Jeltér – példák • 4. (Ortogonális QFSK jelek) M=4 D=4 s3 s4 s2 s1

31. s2 s1 s3 s4 0. Jeltér – példák • 5 Biortogonálisjelek M=4 D=2 Figyeljük meg: u.o. mint a QPSK

32. 0. Jeltér – példák • MQAM jelek M D=2 Példa: M=16

33. n s1 s2 r s5 n r s3 s4 1. Egyedülálló jelek – optimális döntési szabály • A döntési szabály most: a jeltér optimális (minimális hibaarányt eredményező) particionálása • Pl: D=2 Azelőtt a döntési teret kellett

34. 1. Egyedülálló jelek – optimális döntési szabály • Láttuk: a kockázat minimális ha az a-posteriori valószínűség maximális. (Arra döntünk ami a legvalószínűbb), vagyis • A maximalizálandó valószínűséget meghatározhatjuk a Bayes-tétellel:

35. 1. Egyedülálló jelek – optimális döntési szabály • Így a döntési szabály: • Illetve: mert a nevező nem függ (explicite) i-től

36. 1. Egyedülálló jelek – optimális döntési szabály • Az a-post. sűrűség logaritmusa: • Végül is

37. 1. Egyedülálló jelek – optimális döntési szabály • Egy pillanatra visszatérünk a zaj-vektorra. • Láttuk, hogy • A döntésben szereplő zajrészletezve, a teljes zaj figyelembevételével • Vagyis az optimális vevőben‘n(t) valóban irreleváns

38. 1. Egyedülálló jelek – optimális döntési szabály • Megjegyzés: ha Pi≡1/M (azonos a-priori) • vagyis a legközelebbi javára kell dönteni

39. ½(N0lnPM-EM) ½(N0lnP2-E2) ½(N0lnP1-E1) × + + + × × r KOMPARÁTOR max sM s1 s2 1. Optimális döntőkészülék – vektoriális alak Ha az E-k egyformák, ki-hagyhatóaz előfesz-ből.Ha még Pi=1/M,az egész elhagyható

40. ½(N0lnPM-EM) ½(N0lnP1-E1) ½(N0lnP2-E2) × + + × × + r(t) s1(t) KOMPARÁTOR max sM(t) s2(t) 1. Optimális döntőkészülék (korrelációs) Persze a skaláris szorzás értelmét ismerjük Kérdés: szükség volt-ea modell összes elemére?

41. Időzítés (T) n(t) ˆm FORRÁS JELGENE-RÁTOR DÖNTŐ NYELŐ + si(t) mi r(t)= si(t)+n(t) {mi}, Pi M s(t) ismert

42. 1. Optimális döntőkészülék (illesztett szűrő) • Az előbbi korrelációs művelet lineáris (szorzás r(t)-től független ismert jellel és integrálás). • De: lin. művelet szűrővel is végrehajthajó – igy bizonyára van egy egyenértékű szűrő is – súlyfüggvénye h(t). h(t)=si(T-t) ↓ kauzális!

43. sM(T-t) s1(T-t) s2(T-t) ½(N0lnPM-EM) ½(N0lnP1-E1) ½(N0lnP2-E2) + + + 1. Optimális döntőkészülék (illesztett szűrő) t=T r(t) KOMPARÁTOR max

44. T T A 1/T1/2 s1(t) φ(t) 1. Néhány előbbi példa, kiegészítve a döntési küszöbökkel (Pi=1/M) • 1. (Antipodális) NRZ alapsávi jelek M=2 D=1 s2(t)=-s1(T) s1 s2

45. 1. Néhány előbbi példa, kiegészítve a döntési küszöbökkel (Pi=1/M) • MQAM jelek M D=2

46. s2 s1 s3 s4 1. Néhány előbbi példa, kiegészítve a döntési küszöbökkel (Pi=1/M) • 3. QPSK jelek M=4 D=2

47. 1. Optimális vétel az optikai frekvenciasávban • Láttuk, hogy az optikai sávban termikus zaj nincs • Van viszont sörétzaj. (Opt. hivatkozás nélkül láttuk a Poisson-eloszlású zaj hatását.) Kicsit részletesebben később

48. 2. Hibavalószínűség az optimális detektorban • Az eddigiek alapján a helyes döntés fel-tételes valószínűsége (feltétel: si-tadták) • A helyes döntés teljes valószínűsége • És a hibavalószínűség, persze

49. 2. Hibavalószínűség az optimális detektorban • Ha az a-priori valószínűségek egyformák • Illetve, ha a jeltérbeli elrendezés (gyakran így hívják: konstelláció) még szimmentikus is:

50. 2. Hibavalószínűség az optimális detektorban • Igen fontos megjegyzés: mint látjuk, a hibaval. csak a jelvektorokól függ és nem függ a jelalakoktól. Így pl az antipodális NRZ és az antipodális BPSK vagy a QPSK és a biortogonális jelek hibaaránya egyforma. • Így a konkrét jelalakokról más kritériumok alapján dönthetünk.