บทที่ 2 ความน่าจะเป็นเบื้องต้น

1. บทที่ 2 ความน่าจะเป็นเบื้องต้น

2. ความน่าจะเป็นคืออะไร ? เราเคยได้ยินความน่าจะเป็น ในเรื่องใดบ้าง ?

3. 1. บทนำ ความน่าจะเป็น (Probability)เป็นการวัดค่าที่เป็นตัวเลข ซึ่งค่านี้นำมาวัด ระดับความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ ซึ่งยังไม่เกิด ว่าจะมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด ความน่าจะเป็น วัดอยู่ในช่วง 0 ถึง 1 ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มีค่าใกล้ 0 แสดงว่า ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์มีค่าเข้าใกล้ 1 แสดงว่า เหตุการณ์นั้นจะมีโอกาสของการเกิดขึ้นน้อย เหตุการณ์นั้นมีโอกาสที่จะเกิดขึ้นมาก

4. การทดลองเชิงสุ่ม (Random experiment)หมายถึง การทดลองที่มีผลลัพธ์ (Outcome) ที่เป็นไปได้ทั้งหมดตั้งแต่ 2 อย่างขึ้นไป และไม่ทราบล่วงหน้าว่าจะเกิดผลลัพธ์อะไรในแต่ละครั้งของการทดลอง แต่สามารถบอกผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ได้เซตหรือกลุ่มของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองเชิงสุ่ม ซึ่งเรียกว่า แซมเปิลสเปซ แซมเปิลสเปซ (Sample Space)คือ กลุ่มหรือเซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองเชิงสุ่ม แต่ละผลลัพธ์ในแซมเปิลสเปซ เรียกว่า จุดตัวอย่าง (Sample Point) หรือสมาชิก (Element) แทนด้วย S เช่น

5. โยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 ครั้ง S={HH,HT,TH,TT} เมื่อ H แทน หัว T แทนก้อย ทดลองยาฆ่าแมลงชนิดหนึ่งกับแมลงวัน จนกระทั่งมีแมลงวันตัวหนึ่งแพ้ยา S={R,NR,NNR,NNNR,…} เมื่อ R แทน มีแมลงวันตาย N แทน ไม่มีแมลงวันตาย ให้เด็กรับประทานอาหารเสริมควบคู่กับอาหารที่รับประทานปกติ แล้วบันทึกน้ำหนักที่เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา 3 เดือน S= เมื่อ X แทนน้ำหนักที่เพิ่มขึ้น

6. ลักษณะของแซมเปิลสเปซ แบ่งเป็น 2 ลักษณะ คือ * แซมเปิลสเปซแบบไม่ต่อเนื่อง(Discrete sample space)เป็นเซตที่มีจำนวนจุดตัวอย่างที่ไม่เป็นช่วง เป็นค่าใดๆที่มีจำนวนแน่นอน *แซมเปิลสเปซแบบต่อเนื่อง(Continuous sample space)เป็นเซตของค่าจริงที่มีค่าเป็นช่วง เหตุการณ์ (Event)คือ เซตย่อยของแซมเปิลสเปซ มี 2 ชนิด ดังนี้ *เหตุการณ์เดี่ยว (Simple event) คือ เหตุการณ์ที่มีสมาชิกเพียง 1 ตัว *เหตุการณ์ประกอบ ( Compound event) คือ เหตุการณ์ที่มีสมาชิกมากกว่า 1 ตัว

7. 2. การนับจุดตัวอย่าง • การนับจุดตัวอย่างที่เกิดขึ้นในการทดลอง ทำให้สามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ โดยไม่ต้องเขียนจุด ตัวอย่างได้ • กฎการคูณ (Multiplication Rule) • การทดลองหนึ่ง ประกอบด้วย k การกระทำ • โดยการกระทำที่ 1 เกิดขึ้นได้ วิธี แต่ละวิธีของการกระทำที่ 1 สามารถเกิดการกระทำที่ 2 ได้ วิธี แต่ละการกระทำที่ 1 และการกระทำที่ 2 สามารถเกิดการกระทำที่ 3 ได้ วิธี และเป็นเช่นนี้เรื่อยๆจนถึงการกระทำที่ k การทดลองนี้สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งหมด วิธี

8. ตัวอย่างเช่น- โยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2 วิธี คือ H,T • โยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2x2 วิธี คือ HH,HT,TH,TT • โยนเหรียญ 1 อัน 3 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2x2x2 วิธี คือ • HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT • โยนเหรียญ 1 อัน n ครั้ง มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ วิธี

9. ตัวอย่างเช่น นางสาวลำไย จะเดินทางจาก กรุงเทพ ไปขอนแก่น แล้วต่อไปอุบลราชธานี การเดินทางจากกรุงเทพไปขอนแก่น สามารถไปด้วยรถยนต์ รถไฟ หรือเครื่องบิน และจากขอนแก่นไปอุบลราชธานี สามารถไปด้วยรถยนต์ หรือรถไฟ จำนวนวิธีที่จะเดินทางไปได้ทั้งหมด จากกรุงเทพ ไป ขอนแก่น เดินทางได้ 3 วิธี จากขอนแก่น ไป อุบลราชธานี เดินทางได้ 2 วิธี จำนวนวิธีที่จะเดินทางได้ทั้งหมด 3x2 = 6 วิธี

10. 3. การจัดลำดับ (Permutation) การจัดลำดับ คือการจัดเรียงสิ่งของ โดยคำนึงถึงลำดับในการจัด *** จำนวนวิธีการจัดลำดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน คือ n! โดยที่ n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1 วิธี ตัวอย่างเช่นมีอักษร A, B, C สามารถนำมาจัดลำดับ จะทำได้กี่วิธี อักษร A, B, C แตกต่างกัน จัดเรียงลำดับได้ 3! = 3x2x1 = 6 วิธี {ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

11. ***จำนวนวิธีการจัดลำดับสิ่งของ r สิ่ง จากสิ่งของทั้งหมด n สิ่งที่แตกต่างกัน คือ • โดยที่ • ตัวอย่างเช่นมีอักษร 5 ตัว คือ A,B,C,D,E เลือก มา 3 ตัว เพื่อจัดเรียงลำดับจะทำได้กี่วิธี • เรียงลำดับตัวอักษร 3 ตัว จาก 5 ตัว • วิธี

12. ตัวอย่าง…ในการประกวดการจัดห้องพักของโรงแรมในภาคตะวันออกเฉียงเหนือ มีโรงแรมเข้าแข่งขัน 15 โรงแรม มีรางวัล ชนะเลิศ รองชนะเลิศอันดับที่ 1 และรองชนะเลิศอันดับที่ 2 จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดของการจัดประกวดที่เป็นไปได้ โดยที่1. ไม่มีข้อแม้ใดๆ2. ถ้าคณะกรรมการกำหนดให้โรงแรมโซฟิเทล ขอนแก่น ได้รับรางวัลชนะเลิศและโรงแรมอื่นๆได้รางวัลที่เหลือ

13. *** จำนวนวิธีการจัดเรียงลำดับสิ่งของ n สิ่ง ที่เหมือนกัน สิ่ง , สิ่ง , …, สิ่ง • คือ • ตัวอย่างต้องการจัดเรียงลำดับอักษร S, M, E, E จะทำได้กี่วิธี • วิธีทำ อักษรทั้งหมด 4 ตัว เรียงลำดับได้ 4 ! วิธี แต่... มีอักษร E ซ้ำกัน 2 ตัว เรียงได้ 2 ! วิธี เพราะฉะนั้นสามารถเรียงลำดับตัวอักษรได้ทั้งหมด • 4! / (2!1!1!) = (4x3x2x1) / 2! = 12 วิธี

14. ตัวอย่าง … จากคำว่า STATISTICSจงหาจำนวนคำที่เป็นไปได้ทั้งหมด ที่เกิดจากการผสมของตัวอักษรของคำดังกล่าว เมื่อถือว่าคำที่ผสมได้มีความหมาย โดย 1. ไม่มีข้อแม้ใดๆ 2. คำที่ผสมได้ต้องขึ้นต้นด้วย A และลงท้ายด้วย T

15. 1. ทดลองทอดลูกเต๋า 2 ลูกสีเขียว และสีแดง แล้วบันทึกแต้มที่ขึ้นไว้ ก.จงเขียนปริภูมิตัวอย่าง S ข.จงเขียนเหตุการณ์ A ที่ได้ผลบวกของแต้มน้อยกว่า 5 ค.จงเขียนเหตุการณ์ B ที่เต๋าลูกใดลูกหนึ่งขึ้นแต้ม 6 ง.จงเขียนเหตุการณ์ C ที่ลูกเต๋าสีเขียวขึ้นแต้ม 2 2. นักศึกษาปีที่1ของมข. ต้องเรียนวิทยาศาสตร์ 1 วิชา สังคมศาสตร์ 1 วิชา คณิตศาสตร์ 1 วิชา ถ้ามีวิชาในหมวดวิทยาศาสตร์ให้เลือก 3 วิชา หมวดคณิตศาสตร์ 2 วิชา หมวดสังคมศาสตร์ 4 วิชา น.ศ.คนหนึ่ง จะจัดโปรแกรมการศึกษาของเขาได้กี่วิธี

16. 3. ข้อสอบวิชาหนึ่งมีคำถามแบบ ถูก และ ผิด อยู่ 8 ข้อ ต่างๆกัน มีกี่วิธีที่นักศึกษาคนหนึ่ง จะตอบคำถาม ถ้าเขาตอบทั้ง 8 ข้อ 4. มีกี่วิธีที่จะจัดเลข 3 หลัก (ตั้งแต่ 100 ขึ้นไป) จากเลขโดด 0,1,2,3,4,5 4.1 ถ้าแต่ละเลขโดด ใช้ได้เพียงครั้งเดียวเท่านั้น 4.2 ถ้าแต่ละเลขโดดใช้กี่ครั้งก็ได้

17. 5. ห้างสรรพสินค้าแห่งหนึ่ง ได้จัดรายการส่งเสริมการขาย โดยถ้าลูกค้าซื้อสินค้าตั้งแต่ 1,000 บาทขึ้นไป จะได้รับแจกของชำร่วยประเภทของใช้ในครัว และของใช้เบ็ดเตล็ดอย่างละ 1 ชนิด เมื่อมีของใช้ในครัวให้เลือก 4 ชนิด คือช้อนส้อม แก้วน้ำ ผ้าเช็ดมือ จาน และมีของใช้เบ็ดเตล็ดให้เลือก 3 ชนิด คือ กระเป๋าหิ้ว ร่ม และเบาะรองนั่ง จงหาวิธีเลือกของชำร่วยที่เป็นไปได้ทั้งหมด 6. ถ้าบริษัทจำหน่ายรถยนต์ยี่ห้อหนึ่ง มีรถยนต์ให้เลือก 4 รุ่น รุ่นละ 5 สี และแต่ละรุ่นมีทั้งเกียร์ธรรมดาและเกียร์อัตโนมัติ จงหาจำนวนวิธีเลือกซื้อรถยนต์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

18. 4. การจัดหมู่ ( Combination ) • การจัดหมู่ คือ การจัดเรียงสิ่งของโดยไม่คำนึงถึงลำดับที่ • จำนวนวิธีการจัดหมู่ของ r สิ่ง จากของ n สิ่งที่แตกต่างกัน คือ โดยที่ • ตัวอย่าง ต้องการเลือกคณะกรรมการ 3 คน จาก บุคคล 5 คน จะมีจำนวนกี่วิธี • จาก • วิธี

19. ตัวอย่าง 1ในการแข่งขันฟุตบอลครั้งหนึ่ง มีทีมฟุตบอล 10 ทีม เข้าแข่งขันแบบพบกันหมด จงหาว่าผู้จัดการแข่งขัน จะต้องจัดการแข่งขันทั้งหมดกี่ครั้ง ตัวอย่าง 2จงหาจำนวนวิธี ที่จะเลือกซื้อหนังสือนำเที่ยว อย่างน้อย 3 เล่ม จากหนังสือประเภทนี้ทั้งหมด 6 เล่ม

20. 5. การหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ • มี 3 แนวทาง ดังนี้ • 1. แนวคิดแบบคลาสสิก ( Classical approach ) • ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ซึ่งกำหนดบนการทดลองที่มีแซมเปิลสเปซ S ที่ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด N อย่าง โดยแต่ละอย่างมีความเป็นไปได้เท่าๆกัน และการเกิดเหตุการณ์ A มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n อย่าง คือ • ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A = ผลลัพธ์ทั้งหมดใน A / ผลลัพธ์ทั้งหมดใน S • หรือ

21. ตัวอย่างเช่น โยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะเกิดหัวทั้ง 2 อัน • S = { HH, HT, TH, TT } • ให้ A คือ เหตุการณ์ที่เกิดหัว ทั้ง 2 อัน คือ A = { HH } • เพราะฉะนั้น ความน่าจะเป็นที่จะเกิดหัวทั้ง 2 อัน คือ • P(A) = n / N = 1 / 4

22. 2. แนวคิดของความถี่สัมพัทธ์ • ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในกรณีที่ทำการทดลองซ้ำๆกัน N ครั้ง เมื่อ N มีค่ามากหรือเข้าใกล้อนันต์ ถ้าเหตุการณ์ A เกิดขึ้น n ครั้ง คือ • ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A = n / N • P(A) = n / N • ตัวอย่างเช่นโยนเหรียญ 2 อัน 1000 ครั้ง เหรียญทั้ง 2 อันเกิดหัว 280 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญทั้ง 2 อัน แล้วเกิดหัว • วิธีทำ ให้ B แทนเหตุการณ์ที่โยนเหรียญทั้ง 2 อัน แล้วได้หัว • ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญทั้ง 2 อันแล้วเกิดหัว คือ • P(B) = n / N = 280 / 1000 = 0.28

23. 3. แนวคิดแบบอัตวิสัย( Subjective approach ) • แนวคิดนี้ ใช้ในกรณีที่ไม่สามารถหาความน่าจะเป็นตามแนวทางข้างต้นได้ เป็นการประเมินความเป็นไปได้จากความคิดหรือประสบการณ์ของบุคคลใดบุคคลหนึ่ง • ตัวอย่างเช่น ต้องการหา ความน่าจะเป็นที่กฎหมายฉบับหนึ่งจะได้รับความเห็นชอบจากรัฐสภา ซึ่งไม่สามารถหาได้ด้วยวิธีการจากแนวทางทั้งสอง ผู้สนใจอาจต้องสอบถามจากบุคคลที่เกี่ยวข้องที่น่าจะประเมินได้ ซึ่งค่าความน่าจะเป็นที่ประเมินได้ ย่อมแปรไปตามบุคคลที่สอบถาม เพราะความคิดเห็นของแต่ละบุคคลย่อมแตกต่างกัน

24. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (Condition Probabilty) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B เมื่อทราบว่าเหตุการณ์ A เกิดขึ้นแล้ว เรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เขียนแทนด้วย อ่านว่า ความน่าจะเป็นของ B เมื่อกำหนด A นิยาม: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B เมื่อกำหนดเหตุการณ์ A ได้แก่ สามารถเขียน เรียกสมการนี้ว่า“ กฎการคูณของความน่าจะเป็น ”

25. ตัวอย่าง… ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง ถ้าผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าเท่ากับ 7 จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าลูกหนึ่งขึ้นแต้ม 1 S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) } ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าเท่ากับ 7A = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}B เป็นเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกหนึ่งขึ้นแต้ม 1 B = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}

26. ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะขึ้นแต้ม 1 เมื่อผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าเท่ากับ 7 เป็น 1/3 ….

27. 36 จุดตัวอย่าง ตัวอย่าง... ในการทอดลูกเต๋าเที่ยงตรง 1 คู่ ต้องการหาความน่าจะเป็นที่แต้มรวมของลูกเต๋าเท่ากับ 4 เมื่อกำหนดว่า ลูกเต๋าต้องหงายแต้มไม่เท่ากัน วิธีทำ ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าหงายแต้มไม่เท่ากัน A = {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}

28. ให้ B เป็นเหตุการณ์ที่แต้มรวมของลูกเต๋าเท่ากับ 4 B = {(1,3),(2,2),(3,1)} ได้ P(A) = 30/36 = 5/6 และ P(B) = 3 / 36 = 1/12 และ P(A B) = 2/36 ต้องการหา “ ความน่าจะเป็นที่แต้มรวมของลูกเต๋าเท่ากับ 4 (B)เมื่อกำหนดว่า ลูกเต๋าหงายแต้มไม่เท่ากัน(A) ” P(B/A) = P(A B) / P(A) = 1/15

29. แบบฝึก … ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข1. ในการหยิบไพ่ทีละใบจากสำรับ 2 ใบ โดยไม่มีการแทนที่ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ K ทั้งคู่2. ในห้องหนึ่งมี ชาย 5 คน ใส่แว่น 2 คน และหญิง 6 คน ใส่แว่น 4 คน ถ้าสุ่มหยิบมาหนึ่งคนจากห้องนี้ ปรากฏว่าเป็นชาย จงหาความน่าจะเป็นที่เขาจะใส่แว่น3. ในการทอดลูกเต๋าเพียง 2 ลูก ถ้ากำหนดว่า ผลบวกของแต้มมากกว่า 7 จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าทั้งสองออกหน้าเดียวกัน

30. เหตุการณ์ที่เป็นอิสระกัน (Independent Events) การเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่ง ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนไป

31. A และ B เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ที่เป็นอิสระกัน (independent) ก็ต่อเมื่อ • Pr(B/A) = Pr(B) • Pr(A/B) = Pr(A) • ถ้าเป็นอย่างอื่น จะกล่าวว่า A และ B ไม่เป็นอิสระกัน

32. ตัวอย่าง… ในการโยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง แซมเปิลสเปซ คือ S = {(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)} ให้ C เป็นเหตุการณ์ที่เหรียญหงายหัวทั้ง 2 ครั้ง C = {(H,H)} ให้ B เป็นเหตุการณ์ที่เหรียญหงายหัวในการโยนครั้งแรก B = {(H,H),(H,T)} ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่เหรียญหงายก้อยในการโยนครั้งที่ 2 A = {(H,T),(T,T)}

33. ทฤษฎีของเบย์ (Bayes’Theorem) ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ และ เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

34. ตัวอย่าง… โรงงานแห่งหนึ่งมีเครื่องจักร 4 เครื่อง โดยที่เครื่องจักรแต่ละเครื่องผลิตชิ้นส่วนอย่างเดียวกัน เครื่องจักรเครื่องที่ 1 และ 2 ผลิตได้ 20 % ของชิ้นส่วนทั้งหมด เครื่องจักรเครื่องที่ 3 และ 4 ผลิตได้ 30 % ของชิ้นส่วนทั้งหมด ฝ่ายควบคุมคุณภาพพบว่า เครื่องจักรเครื่องที่ 1 ผลิตชิ้นส่วนเสีย 6 % เครื่องจักรเครื่องที่ 2 ผลิตชิ้นส่วนเสีย 5 % และเครื่องจักรเครื่องที่ 3 และ 4 ผลิตเสียเท่ากัน คือ 8 % ชิ้นส่วนชิ้นหนึ่งถูกหยิบขึ้นมาอย่างสุ่ม ก. จงหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนจะเสียข. สมมติว่า ชิ้นส่วนที่หยิบได้ในข้อ ก. เสีย จงหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนนั้นผลิตโดยเครื่องจักรเครื่องที่ 2

35. ก. ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ชิ้นส่วนเสีย เป็นเหตุการณ์ที่ชิ้นส่วนที่หยิบได้ผลิตจากเครื่องจักร i ต้องการหา P(A) จะได้

36. ข. โดย Bayes’Theorem จะได้

37. (1.) ถ้านมสดชนิดบรรจุถุงที่จำหน่าย ณ ร้านค้าแห่งหนึ่งมี 2 รส คือ รสหวานและจืด โดยผลิตจากโรงงาน 3 แห่ง คือ มวกเหล็ก หนองโพ และแอกมิลค์ ในแต่ละวันร้านค้าแห่งหนึ่งรับนมสดจากมวกเหล็ก รวม 300 ถุง ซึ่งเป็นรสหวาน 100 ถุง จากหนองโพรวม 200 ถุง เป็นรสหวาน 50 ถุง จากแอกมิลค์ 100 ถุง เป็นรสหวาน 50 ถุง ถ้าในเช้าวันหนึ่งขณะที่พนักงานขายกำลังจัดเรียงถุงนมสดเข้าตู้เย็น ปรากฏว่ามีนมสดรสหวานพลัดตกแตก 1 ถุง จงหาความน่าจะเป็นที่นมสดรสหวานดังกล่าวก. ผลิตจากมวกเหล็กข. ไม่ได้ผลิตจากแอกมิลค์

38. (2.) ถ้าความน่าจะเป็นที่คนแต่ละคนจะเป็นโรคเกี่ยวกับโลหิตในระยะร้ายแรง และเริ่มแรกเท่ากับ 0.02 และ 0.1และความน่าจะเป็นที่คนจะไม่เป็นโรคนี้เท่ากับ 0.88 ผลของการตรวจโดยห้องปฏิบัติการเป็นดังนี้ความน่าจะเป็นที่คนไข้ซึ่งเป็นโรคนี้ในระยะร้ายแรง แล้วตรวจพบว่าเป็นโรคเท่ากับ 0.9ความน่าจะเป็นที่คนไข้ซึ่งเป็นโรคนี้ในระยะเริ่มแรก แล้วตรวจพบว่าเป็นโรคเท่ากับ 0.6ความน่าจะเป็นที่คนไข้ซึ่งไม่เป็นโรคนี้ แล้วตรวจพบว่าเป็นโรคดังกล่าวเท่ากับ 0.1ถ้าคนไข้คนหนึ่งได้รับการตรวจโดยห้องปฏิบัติการ พบว่าเป็นโรคนี้ จงหาความน่าจะเป็นที่คนไข้ผู้นี้จะเป็นโรคดังกล่าวในระยะร้ายแรงจริง

39. (3.) ถ้าคนแต่ละคนมีความน่าจะเป็น 0.001 ที่จะเป็นโรคมะเร็งความน่าจะเป็นที่คนที่ไม่เป็นโรคมะเร็งจะถูกตรวจพบว่าเป็นมะเร็งเท่ากับ 0.01และความน่าจะเป็นที่คนเป็นมะเร็งจะถูกตรวจพบว่า ไม่เป็นมะเร็งจริงเท่ากับ 0.02ถ้าคนๆหนึ่งได้รับการตรวจ พบว่าเป็น จงหาความน่าจะเป็นที่เขาจะเป็นมะเร็งจริง

40. 1. ผู้บริหารโรงงานผลิตรถยนต์แห่งหนึ่ง ได้กำหนดให้พนักงานเปลี่ยนแปลงเวลาทำงาน เพื่อเร่งผลิตรถยนต์เพื่อการส่งออก โดยแบ่งเวลาทำงานเป็น2 รอบ รอบปกติ ทำงานระหว่างเวลา 7.00 – 15.00 น. รอบค่ำ ทำงานระหว่างเวลา 16.00 – 23.00 น. พนักงานทุกคนต้องสลับทำงานทั้งรอบปกติและรอบค่ำ กำหนดให้ทำงานรอบปกติ 1 เดือนและรอบค่ำ 1 เดือนหมุนเวียนกันไป พนักงานส่วนใหญ่ไม่พอใจ ความน่าจะเป็นที่พนักงานแผนกผลิตตัวถังรถยนต์จะนัดหยุดงานเท่ากับ 0.75 ส่วนพนักงานแผนกเครื่องยนต์ มีความน่าจะเป็นที่จะนัดหยุดงานเท่ากับ 0.65 พนักงานแผนกเครื่องยนต์นัดหยุดงานวันใด เสียงชักชวนให้หยุดงานจะทำให้พนักงานแผนกผลิตตัวถังรถยนต์หยุดงานตามด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.90

41. ก. จงหาความน่าจะเป็นที่พนักงานแผนกผลิตตัวถังรถยนต์และพนักงานแผนกเครื่องยนต์จะนัดหยุดงานพร้อมกันข. ถ้าพนักงานผลิตตัวถังรถยนต์หยุดงาน จงหาความน่าจะเป็นที่พนักงานแผนกเครื่องยนต์จะหยุดงานตาม

42. 1.ธนาคารแห่งหนึ่งมีพนักงานวิเคราะห์สินเชื่อ 2 คน คือ พนัส และ ภาวินี ซึ่งมีหน้าที่วิเคราะห์และอนุมัติสินเชื่อ ในช่วง 5 ปีที่ผ่านมา พนัสเป็นผู้วิเคราะห์การขอสินเชื่อ 55% ของการขอสินเชื่อของลูกค้าธนาคารทั้งหมด ส่วนอีก 45 % ภาวินีเป็นผู้วิเคราะห์ การขอสินเชื่อของลูกค้าที่พนัสวิเคราะห์จะได้รับการอนุมัติ 70 % และส่วนที่ภาวินีวิเคราะห์จะได้รับอนุมัติ 80 % สุ่มลูกค้ามา 1 ราย พบว่าไม่ได้รับอนุมัติสินเชื่อ จงหาความน่าจะเป็นที่การขอสินเชื่อนั้น จะพิจารณาโดยพนัส

43. จงแสดงวิธีทำและหาคำตอบต่อไปนี้ (ข้อละ 5 คะแนน) 1. ดึงไพ่ 5 ใบ จากสำรับหนึ่ง ซึ่งมี 52 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ 1.1 โพดำ 5 ใบ1.2 โพแดง 4 ใบ1.3 A 2 ใบและ K 2 ใบ 2. หยิบลูกแก้ว 3 ลูก จากกล่องซึ่งมีลูกแก้วสีดำ 5 ลูก และสีเขียว 3 ลูก โดยหยิบทีละลูกแล้วใส่กลับที่เดิมก่อนจะหยิบลูกต่อไป จงหาความน่าจะเป็นที่ 2.1 ลูกแก้วทั้งหมดเป็นสีเดียวกัน 2.2 ลูกแก้วที่หยิบมามีทั้ง 2 สี