Централна симетрия

1. Централна симетрия Автори: Лиляна Николова Петър Петров

2. Даден е ъгъл a ит.О и т.А Да се построи образът на т.А при ротация R1(O,+a) и ротация R2(O,-a) А‘ + a А О - a a А‘‘ При каквa стойност на ъгъл aA’ ще съвпадне с A’’?

3. +180 А‘ А О А‘‘ - 180  Частният случай на ротация при ъгъл 180 се нарича централна симетрия, а точките А и А‘А‘‘ се наричат симетрични точки спрямо т.О

4. Определение Централната симетрия: Преобразуване на фигурата F във фигурата F‘ при което произволна т.М от F се преобразува в симетричната и т.М‘ от F‘ относно т.О се нарича централна симетрия с център т.О • Се определя от центъра О • Означава се с So • Притежава всички свойства на ротацията

5. Свойства на централната симетрия • Т1 Образът на отсечка е равна на нея отсечка • Т2 Образът на ъгъл е равен на него ъгъл • Т3 Образът на права е права

6. Т1 Образът на отсечка е равна на нея отсечка Дадено: So(A) = A’ ; So(B) = B’ т.О не лежи на правата АВ Да се докаже, че: AB = A’B’ A’ B O B’ Доказателство: Разглеждаме DAOB иDA’OB’ 1) АО = A’O – А и А‘ са симетрични 2) ВО = В’O – Ви В‘ са симетрични 3) АОВ = А‘ОВ‘ – връхни A  DAOB DA’OB’

7. т.О лежи на правата АВ Изводи: • АВ = А‘В‘ • АВА‘В‘ O A’ A В B’ В O A’ A B’ A’ B O B’ A

8. Задача 1 • Даден е DABC с височина АН и т.О лежаща извън него. • Да се построи образът DA‘B‘C‘на триъгълника при централна симетрия So • Да се докаже, че: • DABC DA‘B‘C‘ • А‘Н‘С‘ = 90

9. 1. Построение: С • т.Аaи т.Оa • k1(О, r1=AO) • a  k1 = т.А‘ • т.B  bит.О b • k2(О, r2=BO) • b k2= т.B‘ • т.C  cи т.Оc • k3(О, r3=CO) • c k3= т.C‘ • т.H dи т.Оd • k4(О, r4=HO) • d  k3 = т.H‘ Н А В О В‘ А‘ Н‘ С‘

10. 2. Доказателство С Разглеждаме DABC и DA‘B‘C‘ • АВ = А‘В‘ - по Т1 • ВС = ‘ё - по Т1  • СА = С‘А‘ - по Т1  DABСDA’B’С‘ по III пр. по T2 А‘Н‘С‘ = AHC= 90 Н А В О В‘ А‘ Н‘ С‘

11. Задача2 Да се построи образът на права ако: б) т.О Zа а) т.О Zа a B A O а‘ B’ A’ a  a’ a B’ A’ O B A Правата а е централно симетрична

12. Определение • Ако съществува т.О спрямо която фигурата F е симетрична на себе си, т.О се нарича център на симетрия на фигурата, а F - централно симетрична

13. Коя от фигурите няма център на симетрия? • Окръжност • Квадрат • Ромб • Равностранен триъгълник

14. Централно симетрична ли е фигурата?

15. Задача Точките М и N лежат на страните АВ и CD на успоредника ABCD, така че АМ=CN. Определете центъра на симетрия при която М се преобразува в N

16. Решение D N C O B А M

17. Решение • Разглеждаме DAMOи DCNO • MO = NO – по построение • AM = CN – по условие • АMO = CNO - кръстни D N C  O  DAМОDCNO   AO = CO B А M Аналогично доказваме, че BO = DO т.е т.О е обща среда на диагоналите АС и BD

18. Задача Даден е DABC (АВ = АС) и т.М среда на ВС. Определете вида на четириъгълника АВА‘С, където т.А‘ е образ на А при централна симетрия с център т.М Задача Даден е DABC (ВАС = 90) и т.М среда на ВС. Определете вида на четириъгълника АВА‘С, където т.А‘ е образ на А при централна симетрия с център т.М