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제 3 장 카르노 맵 ( K-map : Karnaugh Map )

제 3 장 카르노 맵 ( K-map : Karnaugh Map ). 카르노 맵 소개 카르노 맵을 사용한 최소 곱의 합 식 무정의 (Don ’ t Care) 합의 곱 5 변수와 6 변수 맵 다중출력 문제. 카르노 맵 (K-map: Karnaugh map). 각 정사각형은 함수의 최소항들을 나타낸다. Plotting Functions. 3 변수 맵. 예제 3.1. m 0 +m 1 : A  B  C  + A  B  C =A  B 

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제 3 장 카르노 맵 ( K-map : Karnaugh Map )

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Presentation Transcript

  1. 제 3 장 카르노 맵 (K-map : Karnaugh Map) • 카르노 맵 소개 • 카르노 맵을 사용한 최소 곱의 합 식 • 무정의 (Don’t Care) • 합의 곱 • 5변수와 6변수 맵 • 다중출력 문제

  2. 카르노 맵(K-map: Karnaugh map) • 각 정사각형은 함수의 최소항들을 나타낸다.

  3. Plotting Functions

  4. 3 변수 맵

  5. 예제 3.1 m0+m1: ABC + ABC =AB m4+m6: ABC + ABC =AC m7+m5: ABC + ABC =AC m0+m4: ABC + ABC =BC m1+m5: ABC + ABC =BC

  6. A A A 0 0 0 1 1 1 BC BC BC 00 00 00 1 1 01 01 01 1 1 11 11 11 10 10 10 AC AB 수직 배열 맵(Vertical Map)

  7. B AB 00 01 11 10 C 0 1 C 1 1 1 1 A AB AC 라벨이 붙여진 맵(Map with Columns labeled) B AB 00 01 11 10 C 0 0 2 6 4 C 7 5 1 3 1 A

  8. 4 변수 맵

  9. 2 개의 1로 이루어진 그룹

  10. 4 개로 이루어진 그룹

  11. 8 개로 이루어진 그룹 A D

  12. F = AB'(C' + C) + AC(B' + B) + A'BC' = AB'C' + AB'C + AB'C + ABC + A'BC' = m4 + m5 + m5 + m7 + m2 = m2 + m4 + m5 + m7 (중복 제거 및 순서화) 예제 3.3 F = AB' + AC + A'BC' • 곱의 합으로 표현되는 함수식을 맵에 나타내는 방법

  13. 내포항 (Implicant) • 함수에 대한 곱의 합 식에서 사용되는 곱 항 • 임의의 곱의 합식은 내포항들의 합 • 내포항은 1, 2, 4, 8, ..(2의 지수승) 개의 1로 구성

  14. 내포항 예 최소항2개로 구성된 그룹4 개로 구성된 그룹 A'B'C'D' A'CD CD A'B'CD BCD A'BCD ACD ABC'D' B'CD ABC'D ABC' ABCD ABD AB'CD ------------------------------------------------------- 총 14개의 내포항

  15. 주 내포항(Prime Implicant : PI) • 다른 내포항에 완전히 포함되지 않는 하나의 내포항이다 • F의 주내포항 : A'B'C'D', ABC', ABD,CD

  16. 주 내포항(Prime Implicant : PI) • 대수적 의미 • 임의의 문자 변수가 주 내포항에서 제거되면 더 이상 내포항이 아닌 내포항을 의미 • A'B'C'D'는 B'C'D', A'C'D', A'B'D', A'B'C'가 내포항이 아니기 때문에 주 내포항

  17. Cover • F에 대한 임의의 곱의 합 식은 내포항들의 합 • F의 각 1들은 적어도 한 개의 내포항에 포함되도록 충분한 내포항들을 선택해야 한다. • 이런 곱의 합식을 F 의 커버(cover)라 한다. • 내포항 ABD는 m13과 m15를 커버

  18. 예제 3.4 • 함수 G • 3 개의 최소항 -> 적어도 2개의 항이 필요 • G = ABD + ABC • 함수 H • 최소식 H = BC'D + ABC • 내포항ABD는 다른 항에 의해 커버되는 1만을 커버

  19. ABC' A'B'C'D' CD 필수 주 내포항 (Essential Prime Implicant : EPI) • 다른 주 내포항에 포함되지 않는 적어도 1개의 1을 포함하는 주 내포항이다.A'B'C'D', ABC', CD는 필수 주 내포항 • 필수(Essential) : 주어진 함수에 대한 최소화된 곱의 합 형태의 • 어떤 수식에도 이 주 내포항은 포함되어야 한다는 뜻

  20. 카르노 맵을 사용한 최소 곱의 합 식 • N-변수 맵에서, 각각의 사각형은 n 개의 인접한 사각형을 가짐 • 고립되었다는 것은 1을 갖는 인접한 정사각형들의 수가 적은 (또는 없는) 것을 의미한다. 3, 4변수 맵의 인접한 사각형

  21. 맵 방법 1 • 모든 필수 주 내포항들을 찾음. • 맵 상에서 필수 주 내포항들을 묶음 • 필수 주 내포항으로 만드는 최소항들에 * 표시를 한다. • 일반적으로 가장 고립된 1들로부터 시작하는 것이 빠르다. 2. 함수를 커버하는 '충분한' 다른 주 내포항들을 찾음.(2 가지 기준) • 선택된 주 내포항에 의해 될수록 많은 새로운(아직 커버되지 않은) 1을 커버하는 주 내포항을 선택. • 고립되고 커버되지 않은 1을 남겨놓지 않도록 함.

  22. 예제 3.5필수 주 내포항에 의해서만 커버 F = A'B'C'D' + ABC' + … F = A'B'C'D' + ABC' + CD

  23. 예제 3.6필수 주 내포항과 주 내포항에 의해 커버 • 필수 주 내포항 • 가장 고립된 m11 -> wyz • m0,m12,m8 ->y'z' • 주 내포항 • 남은 2개의 1은w'xz 에 의해 커버 • 주 내포항 w'xy', xyz는 새로운 1 • 을 커버하지 않기 때문에 중복 • 최소곱의 합 식 • f = y'z' + w y z + w'xz

  24. 예제 3.8f(a, b, c, d) = m(0, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14) • 필수 주 내포항: a'd' + bd' + a'bc + ab'd • 1개의 1(m8)이 남음 • 4개로 이루어진 그룹(c'd')과 2개로 이루어진 그룹(ab'c')에 커버 • 최소 식 • f = a'd' + bd' + a'bc + ab'd + c'd'

  25. 예제 3.10특이한 경우 • 최소 해 • G = A'BC' + A'CD + ABC + AC'D

  26. 예제 3.11여러 개의 최소 해 g(w, x, y, z)= m(2, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 15) g = xz + wz + … g = xz + wz + w'yz' + wx'y g = xz + wz + w'yz' + x'yz' g = xz + wz + x'yz' + w'xy

  27. 예제 3.12다소 복잡한 경우 • F = A'C'D' + AC'D + A'CD + ACD' + …(가운데 맵) • 커버되지 않은 3개의 1: B'D', AB', B'C중 임의의 2개로 커버 • 최소 식 F = A'C'D' + AC'D + A'CD + ACD' + B'D' + AB' F = A'C'D' + AC'D + A'CD + ACD' + B'D' + B'C F = A'C'D' + AC'D + A'CD + ACD' + AB' + B'C

  28. 예제 3.13여러 개의 최소 해 • m10과m15 • f = b'd + bd + … • 커버되지 않은 1: 3개 • 최소 해: 4가지

  29. 맵 방법 2 • 모든 주 내포항들을 원으로 묶음 • 모든 필수 주 내포항들을 선택 • 단지 한 번 원으로 묶인 1을 찾음으로써 쉽게 선택이 가능 • 맵 방법 1에 기술한 것처럼 충분한 다른 주 내포항들을 선택 • 이들 주 내포항들은 이미 단계 1에서 지정됨

  30. 예제 3.15복잡한 경우 • 가운데 맵 : 모든 주 내포항 • m3와 m5 -> A'B' 와 C'D 필수 주 내포항 • 남은 4개의 1을 커버: 적어도 2개 이상의 항이 필요 • B'D'는 2개의 새로운 1을 포함 • B'C' 는 단지 1개를 포함 • 남은 1을 커버하기 위하여 ABC가 필요 • 최소 해 • F = A'B' + C'D + B'D' + ABC

  31. 예제 3.16필수 주 내포항의 cover가 작은 경우 G(A, B, C, D) = m(0, 1, 3, 7, 8, 11, 12, 13, 15) • 필수 주 내포항 : YZ • 5개의 1이 남음 • 주 내포항: W'X'Z, X'Y'Z', WXY', • W'X'Y', WY'Z' , WXZ • 적어도 3개의 항이 더 필요

  32. 예제 3.16계속 • 최소해 • F = YZ + W'X'Z (dotted circle) + X'Y'Z' + WXY' • F = YZ + W'X'Y' + X'Y'Z' + WXY' • F = YZ + W'X'Y' + WY'Z' + WXY' • F = YZ + W'X'Y' + WY'Z' + WXZ

  33. 예제 3.17필수 주 내포항이 없는 경우 • a'c'd'로 시작하는 경우의 해 • f = a'c'd' + bc'd + acd + b'cd'

  34. 예제 3.17(계속) • a'c'd' 와abd를 선택하는 경우 (가운데 맵)  5개의 항 • a'c'd' 와 a'b'd'를 선택하는 경우 (가운데 맵)->5개의 항 • a'b'd' 로 시작 (세번째 맵) • f = a'b'd' + a'bc' + abd + ab'c

  35. 예제 3.18필수 주 내포항이 없고 복잡한 경우 G(A, B, C, D) = m(0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15) • m0를 커버하는 C'D' 로 시작, 그리고 B'D, BC • m13을 커버하는 3가지(AB 또는AC' 또는AD) • F = C'D' + B'D + BC + { AB 또는AC' 또는AD}

  36. 예제 3.18(계속) • m0를 커버하는B'C' 로 시작하는 경우, BD', CD • 앞에서 처럼m13을 커버하는 3가지(AB 또는AC' 또는AD) • 총 6 개의 최소 해가 존재

  37. 예제 3.19 • 1개의 필수 주 내포항과 10개의 1이 남음 • 모든 주 내포항 : 가운데 맵 • 주 내포항들을 2개씩 그룹핑함 • 7 개의 항 이내로 간소화가 불가능하고, 32개의 다른 해가 존재 f = a'b'c'd' + a'cd + bc'd + a b'd + a bc' + a'bc + a cd' = a'b'c'd' + a'cd + bc'd + ab'd + abd' + bcd' + ab'c = …

  38. Don’t Care (무정의) • 무정의를 가진 함수에 대한 최소 해를 구하는 방법 • 정의 변경 • 주 내포항 : 다른 더 큰 사각형에 포함되지 않은 1, 2, 4, 8, .. 개의 1 또는 ×의 사각형이다. - ×(무정의)도 1과 같이 동등하게 다룬다. • 필수 주 내포항 : 다른 주 내포항에 의해 커버되지 않는 1을 적어도 한 개를 커버하는 주 내포항이다. 무정의(×)는 주 내포항을 필수로 만들지는 않는다. • 최소 해를 구할 때 무정의 중에 어떤 것은 포함되고 어떤 것은 포함되지 않음

  39. 예제 3.20 F(A, B, C, D) = m(1, 7, 10, 11, 13) + d(5, 8, 15) • 최소해 (가운데 맵) • F = BD + A'C'D + AB'C • 모든 무정의를 1로 고려하는 경우 (오른쪽 맵) • F = BD + A'C'D + AB'C + AB'D' • F = BD + A'C'D + ACD + AB'D' • 모든 무정의를 ‘0’으로 고려한 경우 • F = A'B'C'D + A'BCD + ABC'D + AB'C

  40. 예제 3.21 모든 해의 대수적 표현이 동일하지 않은 경우 • 2 개의 필수 주 내포항 x'z와 w'yz(가운데 맵) • 4 개의 무정의로 이루어진 w'x'는 주 내포항이지만, 필수는 아님 • 모두 무정의로만 이루어진 주 내포항은 사용할 수 없음 • 최소화 해 g1 = x'z + w'yz + w'y'z' + wxy' (m0 = 1) g2 = x'z + w'yz + xy'z' + wxy' (m0 = 0) g3 = x'z + w'yz + xy'z' + wy'z (m0 = 0) g2와g3 는 대수학적으로 같은 함수이지만 g1 과는 다르다.

  41. 예제 3.22 • 첫번째 맵 : 유일한 필수 주 내포항 c'd'와 ab, 3 개의 1이 남음 • 두번째 맵 : b'd'를 이용한 2개의 해 • 세번째 맵 : ad'를 이용한 해 g1 = c'd' + ab + b'd' + a'cd g2 = c'd' + ab + b'd' + a'b'c g3 = c'd' + ab + ad' + a'b'c • 동일성을 검증 : 무정의들이 처리된 값을 표로 구현 • g1≠ g2 = g3

  42. 맵 방법 3 1. 맵 방법1또는 2를 사용하여 모든 필수 주 내포항을 찾음 2. 필수 주 내포항에 포함되는 모든 1들을 X 로 대치 포함되지 않고 남아있는 1 을 구별하기 위함 3. 맵 방법1과 2 에서처럼 다른 주 내포항들을 충분히 선택

  43. 예제 3.23 F(A, B, C, D)= m(0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 15) • 처음에 필수 주 내포항 A'B와CD를 찾음 • 두번째 맵 : 포함된 모든 1을 무정의로 변환 • 나머지 1들은 AC와 B'C'D' 에 의해 커버 • 최소화 해 • F = A'B + CD + AC + B'C'D'

  44. 합의 곱 • 합의 곱 형태의 최소화 • 함수의 보수를 맵에 표현 • 함수에 대한 맵이 이미 존재하는 경우, 모든 0을 1로, 모든 1을 0으로 대치. X 는 변환하지 않음 • 앞에서 사용한 방법을 이용하여 함수의 보수에 대한 최소화 곱의 합 식을 찾음 • 합의 곱 식을 만들기 위하여, 2 에서 구한 곱의 합 수식에 보수를 취함 (드모르강의 정리 (대수적 속성 P11)을 이용)

  45. 예제 3.25합의 곱 f (a, b, c, d) = m(0, 1, 4, 5, 10, 11, 14) f '(a, b, c, d)= m(2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15) • f 에 대한 최소 합의 곱 식 • f' = ac' + a'c + abd •  f = (a'+c)(a+c')(a'+b'+d') • f' = ac' + a'c + bcd •  f = (a'+c)(a+c')(b'+c'+d') • f 에 대한 최소 곱의 합 식 • f = a'c' + ab'c + acd'

  46. 5, 6 변수 맵 • 5변수 맵은 25 = 32개로 구성 • 16개의 정사각형을 2개층(layer)구조로 나타냄 • 5변수 맵(2-layer)

  47. 6변수 맵의 경우도 16개의 정사각형의 맵이 4개층 구조로 그려짐 • 4변수 맵과 동일

  48. 5 변수 함수에 대한 맵핑 F(A, B, C, D, E) = m(4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 16, 18, 27, 28, 31)

  49. 1들 중에서 인접한 층에서 대응하는 정사각형에 1이 없는 것 • 이러한 1을 포함한 주 내포항은 그 층에만 속하게 된다(따라서, 4변수 맵 문제가 된다.). • 이와 같은 예로, m4, m9, m16, m28의 경우가 있다 • F = A'B'C+A'BE+AB'C'E' +ABCD'E' +…

  50. 양쪽의 레이어 상에 1을 커버하는 필수 주 내포항 • 최종 해 (계속) F = ABC + ABE + ABCE + ABCDE +BDE

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