Применение тригонометрии

1. Презентацию подготовила ученица 10 «А» класса СОШ №1 им. Ф. Я. Фалалеева Шагова Анна.

2. Применение тригонометрии • Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

3. Возникновение музыкальной гармонии Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики. Ими было установлено, что одинаково натянутые струны, сделанные из одного материала, издают согласное музыкальное звучание, если их длины относятся, как небольшие целые числа. Например, если взять две струны, одна из которых вдвое короче другой, то извлекаемые из них звуки оказываются согласными.

4. Пифагорова гамма Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8… А как следует выбирать музыкальные тоны внутри одной октавы, чтобы они тоже звучали согласно? Ответ на этот вопрос дали пифагорейцы, построив музыкальную гамму – согласную последовательность тонов внутри октавы, т.е. указав закон, по которому следует выбирать длины струн для извлечения этих тонов. Пифагорова гамма ( наряду с другими типами музыкальных рядов) прослужила музыкантам более двух тысяч лет – до XVI века. Затем получила распространение так называемая диатоническая гамма, которая была построена на частотах, которые относятся как 2:3:5.

5. Построение музыкальной гаммы с помощью математических расчетов Возьмем струну с длиной L с частотой основного тона v1. Соответствующий этой ноте тон в следующей октаве имеет частоту 2v1 – его можно извлечь из вдвое более короткой струны. Частотный интервал от v1 до 2v1, соответствующий одной октаве, мы и будем делить. Поэтому можно ожидать, что звук с частотой 3/2 v1, извлекаемый из струны длиной 2/3L1, также окажется согласным основному тону v1. Так в пифагоровой гамме появляется звук, называемый квинтой, частота которого в полтора раза больше частоты основного тона.

6. Однако мы уже знаем, что удвоение, т. е. увеличением на октаву, этот звук можно перевести в рассматриваемый промежуток и получить частоту 4/3v1. Такой звук называют квартой. Между собой частоты квинты и кварты относятся как 3/2v1 = 9/8 = 1,125. Это отношение и было выбрано пифагорейцами вкачестве основного шага – ступени гаммы. Теперь можно воспроизвести весь пифагоров строй. Основной тон – прима – имеет частоту v1. Следующий – секунда – частоту v2 = 1,125v1. Ещё на один шаг отличается терция: v3 = 1,125 v2 = 1,125*1,125v1 = 1,2656v1.По этому плану и происходит построение музыкальной гаммы.