振動分析及實驗技術應用簡介

1. 振動分析及實驗技術應用簡介 國立屏東科技大學 機械工程系暨研究所 TEL: (08)770-3202轉7017 FAX: (08)774-0142 E-mail: wangbt@mail.npust.edu.tw www: http:\\140.127.6.133\teacher\index.htm

2. 摘要

3. 一、工程設計與分析概述 二、 振動問題解析 2-1 振動問題解析流程 2-2 振動分析類型 2-2-1 模態分析 2-2-2 簡諧響應分析 2-2-3 暫態響應分析 2-2-4 頻譜分析 2-3 振動系統 2-4 振動數學模型化步驟 三、應用CAE軟體之工程分析 3-1 有限元素分析重要名詞 3-2 有限元素分析應用步驟 3-3 應用CAE軟體之步驟 四、振動實驗量測分析 4-1 信號分析及系統分析 4-2 振動理論模態分析與實驗模態分析 4-3 實驗模態分析之應用 4-3-1 模型驗證 4-3-2 響應預測 4-3-3 模型變更 4-3-4 外力測定 4-3-5 次結構分析或組合分析 4-3-6 健康監測或破壞檢測 五、車輛行駛品質特性分析 六、實例應用分析 大綱

4. 一、工程設計與分析概述 • 工程設計與分析，涵蓋了造型設計（或工業設計）、運動力學分析（機構學或動力學）、靜力分析及動力分析等，以圖1-1力學問題之分野來界定說明其間之關係。 • 造型設計(Styling design)或工業設計，產品或元件之設計不考慮有外力之作用，也沒有運動情形，通常僅就功能上及外觀上做產品之尺寸、造型、感觀設計，典型之例子，如傢俱造型、流線型、顏色選用等。

5. 一、工程設計與分析概述(續) • 當忽略外力作用之效應，純粹探討機械元件之運動狀態，一般稱為機動學或機構學(Kinematics)，主要在瞭解機械元件、系統之運動情形，通常假設物體為剛體(rigid body)，以瞭解物體之位移(displacement)、速度(velocity)及加速度計(acceleration)隨時間變化之物體運動狀態，對組合之系統常須考慮是否有干涉(interference)或是考慮餘隙(clearance)。典型之機構運動分析問題，如四連桿組(four-bar linkage)，引擎活塞運動等。 • 靜力學(statics)係假設物體結構受到穩定的外力負荷(steady-state force)，而物體沒有運動之行為，探討物體因外力負荷而變形(deformation)之狀態，以及瞭解物體結構受負荷之應變(strain)及應力(stress)狀態，以設計使得物體結構在承受靜態負荷(static loads)時，不會產生破壞(failure)導致結構體之失效或失能(malfunction)，一般考慮結構體為彈性體(flexible)，可探討彈性(elastic)或塑性(plastic)變形效應。

6. 一、工程設計與分析概述(續) • 動力學(dynamics)簡言之是探討物體受外力作用後，物體之運動狀態情形，可分別考慮物體為剛體或彈性體，分析了解結構體之位移或變形速度，加速度之運動狀態，也可進一步了解結構所呈現之變動應力狀態。廣義之動力學問題也涵蓋了結構振動學，結構噪音等相關問題。 • 就工程設計流程，依以上之力學問題分類，進行步驟及層次可概分如下： • 1. 造形設計 • 2. 運動分析設計 • 3. 靜力分析設計 • 4. 動態分析設計

7. 一、工程設計與分析概述(續) • 以一引擎活塞連桿系統之設計為例，綜合各階段之設計步驟如下： • 1. 造形設計：可針對空間，所要求功能進行，形狀、尺寸之概略設計。 • 2. 運動分析設計：就完成之活塞連桿造形，依引擎運轉條件，進行位移、速度及加速度分析，以了其運動狀態。 • 3. 靜力分析設計：考慮在額定引擎負荷條件下，活塞或連桿所承受靜力負荷，進行靜力破壞分折探討，以作必要之形狀尺寸變更設計。 • 4. 動力分析設計：對活塞連桿系統之結構振動行為做分析探討，以避免可能之共振，或疲勞破壞等問題。 • 當然，工程設計分析，需考慮之因素相當多也相當複雜各影響因素，對各階段之設計，往往都有交互影響，尤需工程人對各設計層次之了解。本書目標則著重在動態分析設計層次。

8. 二、 振動問題解析 • 一結構體除了受到靜態負荷(static loads)，也就是不隨時間變化之外力作用外，常常也會受到變動性的負荷之狀況，因此結構之動態分析也就異常需要。 • 結構之動態分析通常是振動問題之解析，幾乎任何的結構系統都有振動之產生 • 諸如汽車、飛機、橋樑、建築物、工具機、管路系統等 • 只要是會動的機器或元件都需要考慮結構振動之響應 • 元件小至如電腦內部之IC元件，大至建築物，上至天空之飛機、太空中之衛星 • 地面之汽車、火車，海上之輪船、潛艇，工廠之機器，甚至一般家電用品 • 一般家電用品，在產品設計過程均需考慮結構振動特性或振動響應之影響

9. 二、 振動問題解析（續） • 本節即在對振動問題解析系統作一概括之說明， • 2-1 振動問題解析流程 • 2-2 振動分析類型 • 2-2-1 模態分析 • 2-2-2 簡諧響應分析 • 2-2-3 暫態響應分析 • 2-2-4 頻譜分析 • 2-3 振動系統 • 離散系統 • 連續系統 • 2-4 振動數學模型化步驟

10. 2-1 振動問題解析流程 1.工程問題描述。 2.定義問題及擬定分析目標。 3.建構數學模型。 4.分析。 5.結果評估與討論。 6.報告。

11. 2-1 振動問題解析流程（續） ●1.工程問題描述： • 假設有一質塊(m)以一彈簧(k)連接於地如圖9-1(a)，在質塊受外力f(t)作用，欲瞭解質塊隨時間變化之位移反應情形。 (a)無阻尼 (b)黏滯阻尼 (c)結構阻尼 單自由度數學模式

12. 2-1 振動問題解析流程（續） ●2.定義問題及擬定分析目標： • 明確之問題定義必須瞭解結構之形狀、尺寸、材料及其阻尼形式，結構之邊界條件、初始條件、受負荷之外力形式等。 • 典型之振動問題分析目標有四種 • 1.模態分析：旨在求得系統之模態參數：包括自然頻率( )、模態阻尼( )、模態振型( )，也就是透過分析了解系統之特性，如圖9-2(a) • 2.簡諧響應分析：也在了解系統之特性，但是乃在求得系統之輸出與輸入間之頻率響應函數，通常應用在簡諧外力作用之系統響應分析，如圖9-2(b)。其中頻率響應數為

13. 2-1 振動問題解析流程（續） • 2.定義問題及擬定分析目標： • 3.暫態響應分析：在已知系統特性以及輸入條件下，求解系統之輸出在時間域之響應，如圖9-2(c)。 • 4.頻譜響應分析：在進行如圖9-2(d)之能量頻譜密度函數分析，通常適用在隨機外力激振狀況。也就是在已知系統特性以及輸入條件下，但在求系統之輸出在頻率域之響應。

14. 2-1 振動問題解析流程（續）

15. 2-1 振動問題解析流程（續） • 3.建構數學模型：需考慮幾項因素： • 所擬採用之系統數學模型之特性： • 離散系統(discrete system)：包括單自由度系統及多自由度系統。 • 連續系統(continuous system)：如弦、線、柱、軸、樑、板、殼等。 • 所採用之阻尼模型： • 無阻尼（如圖9-1(a)）。 • 黏滯阻尼（如圖9-1(b)）。 • 結構阻尼（如圖9-1(c)）。

16. 2-1 振動問題解析流程（續） • 4.分析：在此分析指理論分析，最常見之分析方法有理論分析及有限元素分析，分別說明如下： • 理論分析：首先必須依定義之數學模型推導運動方程式，再進行求解之步驟。 • 推導運動方程式：如牛頓第二定律、拉格蘭日式(Lagrange’s Equation)等。 • 求解：通常包括：常微分方程式解析、特徵值問題、拉氏轉換、數值積分等解析或半解析方法。 • 有限元素分析：主要步驟如下。 • 依所定義之數學模型，建立有限元素模型(finite element model)。 • 應用軟體、求解有限元素模型之解析結果。

17. 2-1 振動問題解析流程（續） • 5.結果評估與討論：在此步驟應評估下列事項。 • (1)問題定義是否明確？ • (2)分析目標是否合宜，且是否能解決所描述工程問題？ • (3)數學模型化過程是否合理？ • (4)分析過程是否正確？ • (5)所分析結果是否正確、合理？ • 6.報告：書面及口頭報告

18. 2-2 振動分析類型 • 分析目標主要有四種分析類型 • 1.模態分析。 • 2.簡諧響應分析。 • 3.暫態響應分析。 • 4.頻譜分析。

19. 2-2-1 模態分析 • 模態分析(modal analysis)之目的，主要在求解系統之自然頻率(natural frequency)及模態振型(mode shape)，概稱之為模態參數(modal parameters)。 • 任意結構系統當有固定之材料及形狀尺寸，以及既有之邊界條件，則模態參數為唯一的、不變的，可視為系統之特性。 • 如同一材料其密度、楊氏係數等材料性質，不論製作成何種形狀結構，材料性質均為相同 • 因此獲得結構系統之模態參數，對產品設計過程是相當重要的步驟。 • 同時在後續如簡諧響應、暫態響應及頻譜響應分析均需要系統模態參數資訊，才可做進一步之分析。

20. 2-2-1 模態分析 • 瞭解系統模態參數，對產品設計時之考慮 • 最常見的例子就是避免作用於系統之外力激振頻率與系統之自然頻率相同或是接近，而造成共振(resonance)效應，使得結構系統響應過大而產生破壞。 • 結構系統之振動效應時常是造成疲勞破壞(fatigue failure)的原因 • 瞭解系統之自然頻率及模態振型為進一步做疲勞分析不可或缺之資訊。 • 模態振型可顯現一結構系統受外力激振而產生之變形狀態，甚至得該振動模態(mode of vibration)之受應力狀況， • 可提供對產品設計時，結構補強或減少重量等變更設計時之重要資訊。

21. 2-2-1 模態分析 • 一結構系統之振動模態或稱自然模態(natural mode)，意指其自然頻率及模態振型。 • 自然頻率與模態振型為成對出現，一般系統有n個自由度就有n個振動模態，也就是有n對之自然頻率及模態振型。 • 通常較低頻率之振動模態為設計過程特別需注意，換言之系統之前數個模態參數通常為分析之重點。 • 就理論上而言，一般結構均為連續系統，具有無限多個自由度，也就是具有無限多個振動模態。 • 在有限元素分析中，結構系統已被分割成諸多元素之組成，即連續系統已自動變成了離散系統之多自由度系統。因此，在模態分析只可得到有限個振動模態。

22. 2-2-2 簡諧響應分析 • 所謂簡諧響應(harmonic response)分析是探討結構系統受一簡諧外力激振時之系統響應分析。就一線性振動系統受一簡諧外力作用有如下之特性： • 1.該系統之振動響應，包括了暫態響應(transient response)及穩態響應(steady state response)。 • 暫態響應會隨時間之增加而逐漸消失，而穩態響應則不隨時間變化而呈現週期性之簡諧響應。 • 2.一系統受簡諧激振(harmonic excitation)其穩態響應也必為簡諧響應。 • 3.簡諧函數包括了 ， 及 ， ， 單位為rad/sec，f 單位為Hz，稱為簡諧頻率(harmonic frequency)。

23. 2-2-2 簡諧響應分析 • 以一單自由度振動系統受簡諧激振如圖9-9所示為例，通常工程分析所欲瞭解的是，在已知系統參數m、c、k及外力激振之頻率及振幅F

24. 2-2-2 簡諧響應分析 • 求得位移響應振幅X及相位角，簡諧響應分析即在提供輸入與輸出間之關係，即系統之資訊，可以以下式表示： • 通常描述系統以頻率響應函數(Frequency Response Function)表示，一典型的單自由度系統之頻率響應如圖9-10 • 簡諧響應分析旨在求得如圖9-10之頻率響應函數曲線圖，以供產品設計階段之評估。 • 通常設計之考慮在如何避免共振、疲勞破壞，或是其他如位移或速度、加速度響應是否超出規範之額定範圍。

25. 2-2-2 簡諧響應分析

26. 2-2-2 簡諧響應分析 • 簡諧響應分析亦可針對在某一頻率之簡諧激振，求得結構系統之變形，亦即簡諧響應變形，此稱為系統在簡諧激振下之操作變形振型(operational deflection shape, ODS)。 • 由於諸多機器或元件通常於固定作業狀況下運轉，亦即於某固定轉速rpm下運轉， • 此轉速對應之頻率f=rpm/60 (Hz)，也就是振動源或輸入源為簡諧激振，則系統之輸出亦呈簡諧響應， • 由操作變形振型可了解機器結構於作業狀態下之振動情形，有助於結構之設計考慮， • 因此求得系統之操作變形振型也是常見主要的振動分析目標之一。 • 簡諧響應分析旨在求得如圖9-10之頻率響應函數曲線圖，以供產品設計階段之評估。

27. 2-2-3 暫態響應分析 • 模態分析在求得模態參數，而簡諧嚮應分析在求得系統之頻率嚮應函數。 • 暫態嚮應分析(transient response)旨在求得結構系統在受外力負荷或其他條件激振下之時間域嚮應，也就是要了解結構系統受輸入參數後，系統隨時間變化之情形。 • 此類型問題通常是在已知負荷為時間之函數 ，擬求得如系統之位移在時間域的嚮應 ，有助了解結構系統受變動負荷後，系統實際之運動狀態。

28. 2-2-4 頻譜嚮應分析 • 相對於暫態嚮應分析是時間域嚮應之解析，則頻譜嚮應(spectrum response) 分析是頻譜域嚮應之解析。 • 往往如地震、風力、海洋波動、噴射引擎推動力等外力激振源為隨機(random)信號型式，很難在時間域描述其外力型式，或寫出外力之數學函數， • 因此解析此種隨機外力激振之結構振動問題，常藉助時間域與頻率域之轉換，係基於傅立葉轉換(Fourier transform)之理論基礎 • 在假設系統之頻率嚮應數 為已知，以及外力之時間域分佈可轉換為頻率域之外力函數，則可求得結構系統之位移（或速度、加速度）之頻率域嚮應。

29. 2-2-4 頻譜嚮應分析 • 以一單自由度振動系統為例，如圖9-2(d)解析步驟說明如下： • 1.對 取傅立葉轉換得 。 • 2.由 求得位移嚮應頻率域函數。 • 3.對 取反傅立葉轉換(inverse Fourier transform)得 。 • 若 為隨機信號型式，可以將 表示成頻譜密度函數 ，由下式可求得位移之頻譜密度函數 ：

30. 2-2-4 頻譜嚮應分析 • 典型之頻譜嚮應分析的應用問題舉例如下： • 1.汽車行駛於不規則路面之車體振動嚮應分析。 • 2.建築物受地震波激振時之結構體嚮應分析。 • 3.噴射機、火箭或飛彈在飛行中由燃料燃燒之噴射推力所造成之結構 體嚮應分析。 • 4.任意受測試產品或元件，如PC板、筆記型電腦，甚至冷氣機等家電用品，置於振動測試台，以隨機信號激振之模擬分析。

31. 2-3 振動系統 • 在結構振動問題之解析流程，系統之數學模型化(mathematical modeling)是關鍵之步驟， • 首先必須了解振動系統之類型及其分析理念與解析技巧， • 本節將分別對 • 離散系統(discrete system) • 單自由度系統 • 多自由度系統， • 一般化連續系統(continuous system) • 就各種分析類型作說明。

32. 2-3 振動系統

33. 2-3 振動系統

34. 2-4 振動問題之數學模型化步驟 • 以建構離散系統之數學模型為例，其數學模型化(mathematical modeling)步驟如下： • (1) 定義系統之質塊元件：典型之質塊元件如圖1-4所示，包括：質中質塊(concentrated mass)，剛性細長型質塊(rigid slender bar)，剛性薄平板及剛性圓盤(rigid disc)所需要之基本物理性質包括質量大小，質量慣性矩(mass moment of inertia)亦如圖1-4。

35. 2-4 振動問題之數學模型化步驟(續) • (2)定義系統之連接元件：典型之連接元件，包括線性彈簧元件，及阻尼元件主要應用在質塊間之連結。 • 典型之線性彈簧元件如圖1-5(a)，其特性曲線如圖1-5(b)， k為彈簧常數，彈簧力 與彈簧變形位移量x成正比，即 。

36. 2-4 振動問題之數學模型化步驟(續) • 典型之線性黏滯阻尼元件，如圖1-6(a)，其特性曲線如圖1-6(b)，c為黏滯阻尼係數，阻尼力 與阻尼元件之變形速度 成正比，即 。 • 典型之線性結構阻尼元件，如圖1-7(a)，其特性曲線如圖1-7(b)，h為結構阻尼係數，阻尼力 與阻尼元件之變形速度 成正比，即 。

37. 2-4 振動問題之數學模型化步驟(續)

38. 2-4 振動問題之數學模型化步驟(續) • (3)定義系統之自由度：一質點之自由度通常有三個方向位移x,y,z及三個方向旋轉 自由度，如圖1-8所示。在此步驟需依實際問題對質塊元件，明確定義有興趣之自由度及總數目。

39. 2-4 振動問題之數學模型化步驟(續) • 典型之自由度定義範例如下說明： • 集中質塊：如圖1-9(a)、(b)均為集中質塊系統，圖1-9(a)僅需定義一個自由度，而圖1-9(b)則需兩個自由度，因x及y方向均有彈簧連接集中質塊。 • 剛性長形質塊：如圖1-9(c)需定義兩個自由度，以能明確敘述該長形質塊之運動狀態，而圖1-9(d)因在水平方向有彈簧，故需多定義水平方向之自由度。 • 剛性薄平板：如圖1-9(e)需定義三個自由度，以能明確敘述該平板之運動狀態，而圖1-9(f)因在水平方向有彈簧，故需多定義水平方向之自由度。

40. 2-4 振動問題之數學模型化步驟(續)

41. 2-4 振動問題之數學模型化步驟(續) • (4)定義系統之邊界條件：以圖1-2(b)之單自由度系統為例，底部為固定端，質塊可自由垂直振動。 • (5)定義系統之初始條件：以圖1-2(b)之單自由度系統為例，需分別定義初始位移及初始速度， 、 。 • (6)定義系統之輸入條件：典型之輸入條件為外力負荷及位移兩種，以圖1-2(b)之單自由度系統為例，其輸入條件為 。

42. 三、應用CAE軟體之工程分析 • 電腦輔助工程分析(Computer Aided Engineering, CAE)軟體，要正確的、有效的應用有限元素分析軟體從事工程分析之主要步驟說明如下： • 1.問題描述 • 2.定義實際問題與分析目標 • 3.架構數學模式 • 4.架構理念有限元素模型 • 5.應用軟體進行分析 • 6.結果解釋與評估 • 7.製作報告 • 讀者須注意的是，以上步驟不論採用何種商業套裝軟體，步驟1~4，是必須的、是相同的，當完成了理念有限元素模型，則可進入步驟5（CAE軟體應用），

43. 3-1 有限元素分析重要名詞 • 元素 • 依據不同形式的結構，如桁架、樑、板、柱、殼等，以及結構體之特性，可架構不同形式的元素，以適用於各種類型的結構。 • 不論何種形式之元素，每一個元素係由若干節點所組成 • 元素之定義須說明元素形狀、節點位置及數目，和每一節點之自由度。

44. 3-1 有限元素分析重要名詞 • 節點 • 依據不同形式的元素，節點可有下列形式： • （1）角節點(corner node) • （2）邊節點(side node) • （3）面節點(face node) • （4）體內節點(body node) • 每一個節點都必須定義其自由度。 • 自由度：在力學分析，以直角座標系為例，一個節點可有3個方向位移及3個方向角位移，如圖1-2所示。

45. 3-1 有限元素分析重要名詞：元素種類 • 1.線形元素： • 如桁架(truss)元素、樑(beam)元素，介面(interface)或接觸(contact)元素，依應用場合又可概分為，一維(one-dimensional)、二維或平面、及三維或立體之線形元素

46. 元素種類（續） • 2.平面型元素： • 依形狀可分為三角形(triangle)及四邊形(quadrilateral)元素，常見之平面型元素如圖1-4。 • 在此值得注意的是，儘管形狀相同之平面型元素，可以有不同數目及不同位置之節點定義。節點可座落於角頂點、邊點及平面之中間點如圖1-4。 • 有關節點之自由度又依應用場合，如平面結構、板結構、殼結構

47. 元素種類（續） • 3.立體元素： • 所有的結構可以說都是立體的，原則上任何結構都可以以立體元素作分析。 • 常見之立體元素，依形狀區分有角錐體(tetrahedron)及立方體(hexahedron)

48. 3-2 有限元素分析實例應用步驟 • 1.實際問題 • 應由實際問題，確立問題定義及分析目標，如圖1-6所示一個中心孔方形板，長度L、寬度L、厚度h，在兩端各受夾持，承受拉伸及壓縮之往復拉力p(t)定義如下： 其中，F為力之大小，f為頻率。

49. 3-2 有限元素分析實例應用步驟（續） • 2.數學模式化 • 欲架構數學模式，須完整的描述結構之幾何形狀，負荷狀態及邊界條件。假設兩端夾持力是均勻分佈，又為薄板，可假設該板呈平面壓力(plane stress)狀態，其數學模式可得如圖1-7，圖中均佈力P可得：

50. 3-2 有限元素分析實例應用步驟（續） • 3.架構有限元素模型 • 由所形成如圖1-7之數學模型可知，該板為薄板，呈平面應力(plane stress)狀態，故可採用平面元素，又具中心孔之方形板幾何形狀及受負荷狀況，呈上下左右對稱，所以可只取1/4個板架構有限元素模型(finite element model)如圖1-8 • 在左邊及下邊分別為對稱面、水平方向及垂直方向位移必須分別為零，因此得圖1-8之理念有限元素模型。 • 欲完整之架構有限元素模型，應該選擇適當元素形式，並決定結構分割元素大小，有關元素之選擇，及如何決定元素之大小，將在爾後說明，在此選擇「線性平面四邊形元素」，採自由分割(free mesh)模式可得到有限元素分析模型如圖1-9。