角的问题

斗奋角的问题角的问题距离问题行到水云处线线、线面、面面角的问题平行问题题问直垂坐看云起时体积问题题问体何几博拼

【08深一模】18.(本小题满分14分) 如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB//DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，(Ⅰ)求证：DM⊥EB； (Ⅱ)求二面角M-BD-A的余弦值. D C M A B E 解法一:(Ⅰ)证明:取BE的中点N,连接MN，AN，则MN//CB//DA，故M，N，A，D四点共面. … 2分 ∵DA⊥平面EAB， ∴DA⊥EB. … 3分 N 又EA=AB ，∴AN⊥EB … 4分由MN∩AN=N，∴EB⊥平面ANMD … 6分 ∴DM⊥EB. … 7分也可以直接用“三垂线定理”

？则有 D C M A B N 即二面角M-BD-A的余弦值为… 14分 E 解: (Ⅱ)取AC的中点P，连MP，则MP//EA，∴MP⊥平面ABCD，过P作PQ⊥BD，连QM，则 QM⊥BD， ∴∠MQP是二面角M-BD-A的平面角9分设CB=a，AC与BD的交点为 O，∠AOD=θ∠CAB=α， Q O P ∴sinθ=sin(α+450) … 12分又MP= 0.5EA=a，在Rt△MPQ中，

解法二: 分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设CB=a，则A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0， 2a， 0)，C(0， 2a，a)，D(0，0，2a)，所以M(a，a， ) z (Ⅰ)证:DM=(a，a，－1.5a)， EB=(－2a，2a，0)，… 5分 D C DM · EB =a (－2a) +a ·2a +0=0 M DM⊥EB，即DM⊥EB …… 7分 A y B (Ⅱ)解:设平面MBD的法向量为n=(x，y，z) E DB=(0，2a，－2a)由n⊥DB， n⊥DM得 x …… 4分

取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1，2，2)， 又平面BDA的法向量为n1=(1，0，0)， z D C cos <n，n1> M A y B 即二面角M-BD-A的余弦值为… 14分 E x … 10分 … 11分此题用“坐标法”解简单易行！

A α l B β 由此我们联想[2006广州一模]一道立体几何题 17.(本小题满分14分) 如图，边长为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内，A∈α，B∈β，且AB与平面α、β所成的角都是300 ，AC⊥l垂足为C，BD⊥l，垂足为D.(Ⅰ)直线AB与CD所成的角； (Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．如何合理的选择正确的方法解“立几”题？通过解题的过程您将有会什么样的收获与启发？ D C 本节将以此题为例探索解决立体中有关角的问题的规律.

一、异面直线所成的角 根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角. 求异面直线所成的角常用的方法有： ①向量法:线线角可转化为两直线的方向向量所成的角. 异面直线所成角的范围是: (0，900 ] ②平移法:即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法使之成为相交直线所成的角. 选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之. ③补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系.

注:当余弦值为负值时其对应角为钝角，这不符合定义，故其补角为所求的角.注:当余弦值为负值时其对应角为钝角，这不符合定义，故其补角为所求的角. 二、直线和平面所成的角直线与平面平行或在平面内直线和平面所成的角0º 直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90º；斜线和平面所成的角是：斜线及斜线在平面上的射影所成的角.关键是找准斜线段在平面内的射影； ①直接法:通常是从斜线上找特殊点，作平面的垂线段构作含所求线面角的三角形求之. ②公式法：求斜线与平面所成的角，还可以利用三面角的余弦公式： β γ cosα=cosβcosγ α

P 在Rt△PAC中，cosβ= 在Rt△PAB中，cosα= 在Rt△ABC中，cosγ= β α C A γ B n A cosα=cosβcosγ ③向量法 B 线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角. 线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的补角的余角.

α l β α A α β O β l l B O A P B 三、平面和平面所成的角:(二面角的平面角) 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角范围为[00，1800]. 2、二面角的平面角的作法： ①定义法：点P在棱上根据定义作出来. P ②作垂面：点P在二面角内作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到. ③应用三垂线：点A在一个半平面上应用三垂线定理或其逆定理作出来.

注意:二面角的平面角必须满足: A θ P D B α C S1 =SPBC= BC×PD， S2 = SABC= BC×AD， 3.两边垂直于棱. 1.顶点在棱上； 2.两边在两面内；一“作”二“证”三“计算” ABC的边BC在平面α内，A在平面α内的射影是P，设ABC的面积为S，它和平面α交成二面角θ(0º< θ<90 º)，射影PBC的面积为S1，求证:S1=Scosθ. ④面积射影法: S射=S原cosθ

面面角等于两平面的法向量所成的角或等于两平面的法向量所成角的补角.面面角等于两平面的法向量所成的角或等于两平面的法向量所成角的补角.  m  E d d B n m 借用公式 F C l O ⑤向量法: 技巧:先由直觉判断二面角为锐角还是为钝角然后取等角或补角与之相等. ⑥公式法：如图，CBF= 为二面角的平面角  在CBF中，由余弦定理可求得，再由Rt△ECF可得 EF2= d2+m2+n2－2mncos (0º，180º) 用此公式就可以求出二面角的平面角 (异面直线上两点的距离公式)

求二面角方法: A B D C S O H ⑤ .cosθ= S1 ①.定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角. ②.应用三垂线（逆）定理法：在二面角α-l-β的面α上取一点A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C，则∠ACB即为α-l-β的平面角. ③.作垂面法:作棱的垂面，则它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角 . ④.向量法:利用两平面的法向量的夹角与二面角的平面角的关系求得. ⑥.公式法:l2=m2+n2+d2－2mncosθ.

归纳小结 联想、类比立几中的“二面角” 1.平几中“角” 定义法、三垂线法、垂面法、射影法找出（或作）度量平面角 2.学会求简单的二面角问题，求二面角问题的关键在于确定二面角的平面角； 3.求二面角大小的步骤为: 找出或作出二面角的平面角;证明其符合定义; 计算，其格式为:应先定其位，后算其值，其特点:“夹议夹叙”. 体会到联想、类比及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用.

如图，边长为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内，A∈α，B∈β，且AB与平面α、β所成的角都是300 ，AC⊥l垂足为C，BD⊥l，垂足为D.(Ⅰ)直线AB与CD所成的角； A α l AC⊥l于C，BD⊥l于 D，则AC=1， BD=1，AD= ， CD= B β 所以A(0， 0， 1)， B(1，－，0)，C(0，0，0)， D(0，－， 0)， z y D C x (Ⅰ)由于α ⊥ β，且AC⊥l，则AC⊥ β，建立如图所示空间直角坐标系. 解法一: 向量法故直线AB与CD所成的角为450.

A α l B β ∴ ∠ABC=300 ,∴AC=1,同理BD=1,∴CE=1, AE= 在Rt△AEB中，sin∠ABE= D C (Ⅰ)在平面β内过点B作BE∥DC且BE=DC，连结CE ，EA，则四边形BECD是矩形，所以∠ABE就是直线AB与CD所成的角. 解法二：平移法 E ∵AB=2，α⊥β，AC⊥l，AC α，∴ AC⊥ β. ∵CE ⊥ BE，∴AE ⊥ BE， ∴ ∠ABE=450, 故直线AB与CD所成的角为450. 解法三:补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，其目的在于易于发现两条异面直线的关系.

例1、长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角. D C 1 1 A B 1 1 由余弦定理得 D C A1C1与BD1所成的角为 A 解法一（平移法）：如图，连B1D1与A1C1 交于O1，取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B， O1 M 于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），连A1M，在A1O1M中 B 解法二（补形法）：如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 BC1的方体B1F，连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，

D C 1 F1 1 A E1 B 1 1 z F D1 C1 E A1 B1 C D y A B x 由余弦定理得 A1C1与BD1所成的角为在A1C1E中， C D A B 解法三（向量法）：

解法一：垂线法 （Ⅱ）∵ AC⊥β, AC平面ABC, ∴平面BAC⊥平面BDC, 且交线是BC. A α 故二面角C-AB-D所成平面角的余弦值为 l B β 过D点作DF ⊥BC，垂足为F，则DF⊥平面BAC. G D C F 过F点作FG ⊥AB，垂足为G,连结DG，则DG⊥AB. 所以∠DFG二面角C-AB-D的平面角． [广州一模] 17.(本小题满分14分）如图, 边长为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内,A∈α, B∈β，且AB与平面α、β所成的角都是300 , AC⊥l垂足为C，BD⊥l，垂足为D. （Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．

解法二：射影法 A α l B β 故二面角C-AB-D所成平面角的余弦值为由于D在平面ABC内的射影F在BC边上，ABF为 ABD在平面ABC上的射影，设所求的二面角为, D C F [广州一模] 17.(本小题满分14分）如图, 边长为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内,A∈α, B∈β，且AB与平面α、β所成的角都是300 , AC⊥l垂足为C，BD⊥l，垂足为D. （Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．

解法三：向量法 α z A (Ⅱ)设平面ABC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)， l y B x β 设平面ABD的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，故二面角C-AB-D所成平面角的余弦值为 D C [广州一模] 17.(本小题满分14分）如图, 边长为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内,A∈α, B∈β,且AB与平面α、β所成的角都是300 , AC⊥l垂足为C，BD⊥l，垂足为D. （Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．

[广州一模]17.(本小题满分14分)如图, 边长为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内，A∈α，B∈β,且AB与平面α、β所成的角都是300 , AC⊥l垂足为C，BD⊥l，垂足为D. (Ⅰ)直线AB与CD所成的角； (Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值． A α l B β 解法四：公式法如图，作CE、DF都垂直于所求二面角的棱AB，E、F是垂足，设所求二面角C-AB-D的平面角大小为，则 E C D F

在RtBOC中， A1 B1 C1 在 OBC1中 BC1= (已知） BC1与底面所成的角是 A 例3、如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面为一等腰直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60º角，BC1AC，BC1= cm,求BC1与底面所成的角. B C 分析：欲求BC1与底面ABC所成的角，关键在于准确地找到BC1在底面上的射影. 解： ACAB，ACBC1， AC平面ABC1，于是平面ABC1平面ABC，注意到ACAB和ACBC1，即AC平面ABC1，所以，平面ABC1平面ABC，故点C1在底面上的射影O在平面ABC1和平面ABC的交线BA上， C1BO为所求的角. x O 作C1O平面ABC，则点O在平面ABC1和平面ABC的交线BA上，

【回顾】已知直二面角 -l-,A,B,线段AB=2a，AB与成45º的角，与成30º角，过A、B两点分别作棱l 的垂线AC、BD，求面ABD与面ABC所成角的大小.  A 又知BAD=45º, ABC=30 º，得于是在DFH中，由余弦定理，得 D C 即面ABD与面ABC所成的二面角为 B  解法一(垂线法):如图,由已知可得平面ABC平面,作DHBC于H，则DH平面ABC，作DFAB于F，连HF，则据三垂线定理的逆定理知DFH为所求二面角的平面角. F H

已知直二面角 -l-，A，B，线段AB=2a，AB与成45º的角，与成30º角，过A、B两点分别作棱l的垂线AC、BD，求面ABD与面ABC所成角的大小. 由解法一，易求得，代入上式，得故  A D C B  解法二(射影法)：由于D在平面ABC内的射影H在BC边上△ABH为△ABD在平面ABC上的射影设所求的二面角为,则有cos = SABH /SABD， H

已知直二面角 -l-，A，B，线段AB=2a，AB与成45º的角，与成30º角，过A、B两点分别作棱l的垂线AC、BD，求面ABD与面ABC所成角的大小. 如图，作CE、DF都垂直于所求二面角的棱AB，E 、F是垂足,设所求二面角C-AB-D的平面角大小为易求 DF=a，EF=0.5a应用公式可得  A D C B  胜利属于自强不息的人！解法三（公式法）： E F

求空间角常用的方法小结 求异面直线所成的角常用的方法有： (3)补形法 (1)向量法: (2)平移法求直线和平面所成的角常用的方法有: (2)三面角的余弦公式 (1)定义法 (3)向量法求二面角常用方法有: (2)垂线法 (1)定义法 (3)垂面法 (6)公式法 (4)射影法 (5)向量法拒绝勤奋创新的人，永远不能体会成功的快乐！拒绝酸涩的人，永远不能体味甜美的甘醇！ ╭⌒╮┅~ ¤　 ╭⌒╮ ╭⌒╮ ╭⌒╭⌒╮╭⌒╮～╭⌒╮︶︶, ,︶︶︶︶,''︶~~ ,''~︶︶,'' ╬　╱◥███◣╬╬╬╬╬╬╬ ╬ ︱田︱田田︱

刻苦勤奋 同学们再见！妙

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