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OPTIMIZACIÓN

OPTIMIZACIÓN. TEMA 13.6a * 2º BCT. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN. En el campo científico, económico, social o político, nos encontramos con funciones que hay que OPTIMIZAR, es decir hallar los puntos máximos y/o mínimos. FUNCIÓN ( ECUACIÓN ) PRINCIPAL

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  1. OPTIMIZACIÓN TEMA 13.6a * 2º BCT Apuntes 2º Bachillerato C.T.

  2. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN • En el campo científico, económico, social o político, nos encontramos con funciones que hay que OPTIMIZAR, es decir hallar los puntos máximos y/o mínimos. • FUNCIÓN ( ECUACIÓN ) PRINCIPAL • Es aquella que el enunciado nos señala que su valor debe ser el mayor posible (Máximo) o el menor posible (Mínimo). • Si presenta una sola incógnita, y = f(x), se deriva la expresión respecto de la misma y la derivada se iguala a cero. Resolviendo la ecuación resultante tendremos el valor de ‘x’ para el cual el valor de la función, el valor de ‘y’ , es máximo o mínimo. • FUNCIÓN ( ECUACIÓN ) AUXILIAR • Tenemos que obtener del enunciado tantas ecuaciones auxiliares como incógnitas menos una. • Despejando y sustituyendo, al final tendremos que tener una sola ecuación , la principal, con una sóla incognita. • Derivamos respecto de dicha incógnita e igualamos a cero la expresión derivada. • Resolviendo la ecuación habremos encontrado el valor o valores de las incógnitas para los cuales la función presenta un valor máximo o mínimo relativo. Apuntes 2º Bachillerato C.T.

  3. Ejemplo_1: • Hallar dos números tales que su suma sea 24 y su producto sea el mayor posible. • Resolución: • Sean x e y los dos números pedidos. • Ecuación Principal: Producto: P = x.y ( dos incógnitas) • Ecuación Auxiliar : Suma: 24 = x + y • Despejamos “y” de la E. Auxiliar: y = 24 - x • Sustituimos su valor en la E. Principal : P = x. (24-x) • O sea P = 24.x – x2 , derivamos e igualamos a cero • P´ = 24 – 2.x = 0 ; y resolvemos: 24 = 2x  x = 12  • Como y = 24 – x = 24 – 12 = 12  x= y = 12 es la solución. Apuntes 2º Bachillerato C.T.

  4. Ejemplo_2: • Una alambrada de 100 m rodea a una finca rectangular bordeada por un río. Hallar sus dimensiones sabiendo que la superficie que abarca es la mayor posible. • Resolución: • Sean l y a el largo y el ancho de la finca. • Ecuación Principal: Superficie: S = l.a ( dos incógnitas) • Ecuación Auxiliar : Alambrada: 100 = l+2a • Despejamos “l” de la E. Auxiliar: l = 100 – 2.a • Sustituimos su valor en la E. Principal : S = (100-2.a).a • O sea S = 100.a – 2.a2 • derivamos e igualamos a cero • S´ = 100 – 4.a = 0 ; 100 = 4.a • a= 100/4 = 25  l = 100 – 2.a • l =100 – 50 = 50 m • Solución: a=25 m, l = 50 m • Superficie= 25.50 = 1250 m2 a a l Apuntes 2º Bachillerato C.T.

  5. Ejemplo_3: • Hallar las dimensiones que debe tener un rectángulo inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio para que el área del mismo sea el mayor posible. • Resolución: • Rectángulos inscritos en una determinada circunferencia hay infinitos, pero sólo uno de ellos tendrá un área mayor que los demás. • Ecuación Principal: • Area  A = a.b • ( hay dos incógnitas, a y b ) • Ecuación Auxiliar : • 102 = a2 + b2 • por Pitágoras. Ø=10 b a El diámetro, que es el doble del radio, es siempre la diagonal de cualquier rectángulo inscrito en la circunferencia. Apuntes 2º Bachillerato C.T.

  6. Continuación del Ejemplo_3: • Despejamos “a” de la E. Auxiliar: a = √ ( 100 – b2 ) • Sustituimos su valor en la E. Principal : A = b. √ ( 100 – b2 ) • Introducimos b dentro de la raíz para facilitar la derivada: • A= √ ( 100.b2 – b4 ) = ( 100.b2 – b4 )1/2 • derivamos e igualamos a cero • A’ = (1/2). ( 100.b2 – b4 )1/2 - 1 .(200.b - 4.b3 ) = 0 ; o sea: • (200.b - 4.b3) / 2. ( 100.b2 – b4 )1/2 = 0 • 200.b – 4.b3 = 0  Factorizado  4.b.(50 – b2) = 0 • O sea 4.b.(7,07 + b).(7,07 – b) = 0 • b= 0 NO vale, b=- 7,07 NO vale , b = 7,07 Vale como solución • a = √ ( 100 – b2 ) = √ ( 100 – 50 ) = 7,07 = aCUADRADO Apuntes 2º Bachillerato C.T.

  7. Ejemplo_4: • Una hoja de papel de plata debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior, inferior, izquierdo y derecho deben ser de 2 cm, 2 cm, 3 cm y 1 cm respectivamente. Determinar las dimensiones de la hoja para tener el menor gasto de papel. • Resolución: • Sean x = ancho texto impreso • e y= largo del texto impreso • Ecuación Principal: • S = (3+x+1).(2+y+1) • Ecuación Auxiliar: • x.y = 18 • Despejamos y: y = 18 / x • La sustituimos en la ecuación principal: • S = (x+4).(y+3) = (x+4).( 3 + 18/x) • S = 3.x + 12 + 18 + 72 / x • S´ = 3 + 0 + 0 – 18 / x2 = 0 • 3 = 18 / x2  x2 = 18 / 3 = 6 • x = √ 6  y = 18 / √ 6 = 3. √ 6 3+x+1 x.y=18 2+y+2 Apuntes 2º Bachillerato C.T.

  8. Ejemplo_5: • Un camión transporta 10.000 kg entre naranjas, peras y limones. El número de kg de naranjas siempre es el doble que el de limones. Debido al transporte pierde 0,5 €, 0,75 € y 1 € respectivamente por cada kg naranjas, peras y limones. Hallar los kg de naranjas, peras y limones que debe transportar en cada viaje para que las pérdidas sean lo menor posible. • Resolución: • Sean x, y, z los kg de naranjas, peras y limones transportados. • Ecuación Principal: Pérdidas: P = 0’5.x+0’75.y+1.z ( tres incógnitas) • Ecuaciones Auxiliares: 10.000 = x + y + z • x = 2.z • Ecuación Principal: P = 0’5.2.z + 0’75.y + z = 0,75.y + 2.z • Ecuación Auxiliar: 10.000 = 2.z + y + z = y + 3.z Apuntes 2º Bachillerato C.T.

  9. Despejamos y: y = 10.000 – 3.z • La sustituimos en la ecuación principal: P = 0,75.(10.000 – 3.z) + 2.z • P = 7.500 – 0,25.z • P´ = - 0,25 = 0 ; Lo cual es imposible de cumplirse •  NO hay valor Mín ni Máx • Si P = 0  z = 7.500 / 0,25 = 30.000 kg , que es imposible. • Si z = 6.666 kg  x = 3.333 kgr  • P = 7.500 – 1.667 = 5.833 € es la solución. • Ejemplo_6: • Con un alambre de 1 m de longitud hemos formado un rectángulo de doble largo que ancho y un círculo. ¿Qué dimensiones deben tener dichas figuras para que la suma de sus áreas sea lo mayor posible?. Apuntes 2º Bachillerato C.T.

  10. Resolución: • Sean a y b las dimensiones del rectángulo. • Sea r el radio del círculo. • Ecuación Principal: Suma de Áreas: S = a.b + π.r2 ( tres incógnitas) • Ecuaciones Auxiliares: Suma de Perímetros 1 = (2.a+2.b) + (2. π.r) • b = 2.a • Sustituimos b en las otras dos ecuaciones: • Ecuación Principal: S = a.2.a + π.r2 = 2.a2 + π.r2 • Ecuación Auxiliar: 1 = 2.a+2.2.a + 2. π.r = 6.a + 2. π.r • Despejamos a o r: a = (1 – 2. π.r) / 6 = 0’167 – 1’047.r • La sustituimos en la ecuación principal: S = 2.(0’167 – 1’047.r ) 2 + π.r2 • S = 0’056 – 0’7.r + 2’192.r2 + 3,14.r2 ; que derivando queda: • S’ = - 0,7 + 4’384.r + 6’28.r = 0 ,, 10’664.r = 0,7  r = 0,065 m • Como a = 0’167 – 1’047.r = (0,167 – 0,068) = 0,099 • Y por tanto b= 2.a = 2.0’099 = 0,198 • P = 0,198 + 0,396 + 0,406 = 1 Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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