Recurrencias

Recurrencias Resolución de recurrencias, por cambio de variable

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable • T(n)  término de una recurrencia original Ti  término de un nueva recurrencia obtenida de la original mediante cambio de variable

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable • Ejemplo 1: • Cambio de variable: n = 2i i = lg2 n

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable • n = 2i i = lg2 n para transformarla en recurrencias ya conocidas, actuamos de la forma: • Llamanos ti = t(2i)  La variable es i. • ti = t(2i) = 3t(2i-1) + 2i ti – 3ti-1 = 2i • Rec. no homogénea de e.c. (x-3)(x-2) • ti=c1·3i + c22i como i = lg2 n y clg n=nlg c • ti = c1nlg 3 + c2nlg 2t(n)  O(nlg 3) • Para determinar orden exacto, calcular c1, c2.

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable • Cálculo de las constantes: • Sustituyendo ti = c1nlg 3 + c2nlg 2 en la ec. de rec. • Calculamos t(n) en dos puntos, obteniendo dos ec. • t(n)=c1·nlog3+c2·n • Obteniendo T(n) en dos puntos • Para n=1  t(1)=1 condición inicial • Para n=2  t(2)=3·t(1)+2=3·1+2=5

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable • Sustituyendo en la solución general c1+c2=1  n=1 • t(2)=c1·2log3+c2·2=3·c1+2·c2=5  n=2 • Resolviendo el sistema de ecuaciones • c1=3; c2= -2; t(n) = 3·nlog3 –2·n, con n potencia de 2 • t(n) (nlg 3) siendo n potencia de 2

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Ejemplo 2: No se puede aplicar el caso general, que veremos más adelante. • T(n) = 2·T(n/2)+n·lg n, con n potencia de 2 • Cambio de variable n = 2i i = lg2 n

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable • ti = T(2i) = 2·T(2i-1) + 2i ·i = 2·ti-1 + 2i ·i • Rec. no homogénea donde b=2, p(i)=i con grd 1 • ti – 2ti-1 = 2i·i  (x-2)(x-2)2 = (x-2)3 • Solución general ti = c1·2i + c2·i2i + c3·i2·2i • Deshaciendo el cambio  [ n = 2i i = lg n ] • T(n) = c1n + c2nlg n + c3nlg2n • T(n) O(n·lg2n) siendo n potencia de 2 • Para conocer el orden exacto, calcular las constantes

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable Para obtener las constantes sustituimos en la recurrencia original : n·lgn = T(n)-2·T(n/2) n·lgn=(c1·n+c2·lgn·n+c3·n·lg2n)-2(c1·(n/2)+c2·lg(n/2)·(n/2)+c3·(n/2)·lg2(n/2)) n·lgn=c1·n+c2·lgn·n+c3·n·lg2·n- c1·n-c2·n·lg(n/2)-c3·n·lg2(n/2)

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variable n·lgn=c2·n·lgn+c3·n·lg2n-c2·n(lgn-lg2)-c3·n(lgn-lg2)2 n·lgn=c2·n·lgn+c3·n·lg2n-c2·n·lgn+c2·n- c3·n(lg2n+lg22-2·lgn·lg2) n·lgn=c2·n-c3·n+2·c3·n·lgn n·lgn=(c2–c3)·n+2·c3·n·lg n Igualando coeficientes : c2 – c3 = 0; 2·c3 = 1 Resolviendo c2=c3= ½ T(n) (n·lg 2n)

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variableCaso General • n0 1; l 1; b 2; k 0 enteros; c>0 real. • T:NR+ no decreciente • T(n) = l· T(n/b) + c·nk • n >n01 , n/n0 es potencia exacta de b, es decir, n  {bn0, b2n0, b3n0, ...}

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variableCaso General • Cambio de variable adecuado: n = bi·n0 • ti = T(bi·n0) = l· T(bi-1·n0) + c·(bi·n0)k = l·ti-1 + c·n0kbik • ti – l·ti-1 = c·n0k·(bk)i (x-l)(x-bk)d+1 [pol. caraterístico] • [r1=l , r2=bk] • Las soluciones son de la forma: ti = c1li + c2(bk)i • Aunque en general es falso porque no se consideran las raíces múltiples

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variableCaso General • Como n=bin0  i=logb(n/n0) • Si deshacemos el cambio de i • T(n) = c1·llogb(n/n0) + c2·(bk)logb (n /n0) • T(n) = c1·llogbn – logbn0 + c2·( bk)logbn - logbn0 T(n)=c1·(llogbn/llogbn0)+c2·((bk)logbn/(bk)logbn0) • Teniendo en cuenta lgbbk=k y llgbn=nlgbl

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variableCaso General • T(n) = c1·(nlogbl / n0logbl ) + c2·(nlogbbk / n0logbbk ) • T(n) = ( c1 /n0logbl ) · nlogbl + ( c2 /n0k )· nk • Llamando: c3= c1 /n0logbl , c4= c2 /n0k • T(n) = c3·nlogbl + c4·nk • Para conocer las constantes, sustituimos esta en la recurrencia original.

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variableCaso General T(n) = c3·nlogbl + c4·nk c·nk = T(n) – l·T(n/b) • c·nk = c3·nlogbl + c4·nk – l(c3(n/b)logbl + c4(n/b)k) • c·nk = c·nk = c3·nlogbl + c4·nk – l·c3 ( nlogbl / blogbl ) – l·c4 (nk / bk ) • c·nk = c3·nlogbl + c4·nk – l·c3 ( nlogbl / llogbb) – l·c4 (nk / bk ) • c·nk = c3·nlogbl + c4·nk – l·c3 ( nlogbl / l) – l·c4 (nk / bk )

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variableCaso General • c·nk = c4·nk – l·c4 (nk / bk ) • c·nk = c4·nk (1- ( l/bk )) • Por tanto: • Para expresar T(n) en notación asintótica, necesitamos saber el cuál es el término dominante en T(n)=c3·nlogbl+c4·nk, tenemos 3 casos:

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variableCaso General • Si l<bk en • c4>0 y k>logbl  c4nk dominante • T(n) (nk | n/n0 potencia exacta de b) • Notación asintótica condicional: condicionada a que n/n0 sea potencia exacta de b. • Como T(n) es no creciente  T(n) (nk). • Matemáticamente, si tenemos una función condicionada a potencias, logaritmos o polinomios y es creciente, se puede eliminar la condición.

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variableCaso General • Si l>bk en • c4<0 y k< logbl  c3 >0  c3nlogbl dominante • T(n) (nlogbl | n/n0 sea potencia de b) • Como T(n) es no decreciente T(n) (nlogbl )

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variableCaso General • Si l=bk en • Problema en c4de división por 0 • El polinomio característico tiene una raíz de grado de multiplicidad 2 • La solución general: ti = c5(bk)i + c6i(bk)i • Como i=logb(n/n0) • T(n) = c7nk + c8nklogb(n/n0) c8=c distinto de cero • Término dominante: cnklogbn  T(n) (nklogbn)

Resolución de recurrencias mediante el cambio de variableCaso General • Resumiendo T(n) = l·T(n/b) +c·nk, se comporta • Observación: En la notación asintótica no es necesario especificar la base del algoritmo por la propiedad: logan = logab · logbn  O(logan) = O(logbn)

Recurrencias Resolución de recurrencias, mediante transformación de intervalo.

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. • El cambio de variable transforma el dominio de la recurrencia. • Podemos transformar el intervalo para obtener una recurrencia que se pueda resolver. • Se pueden utilizar ambas transformaciones. • Cuando la recurrencia no es lineal o los coeficientes no son constantes, se debe manipular para que lo sea.

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. Ejemplo • T(n) definida cuando n es potencia de 2 • “ nT2 “ , n es coeficiente no constante y T2 es una recurrencia no lineal.

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. Cambio de variable: ti=T(2i), n=2i i=lg n ti = T(2i) = 2iT2(2i-1) = 2iti-12 donde, no lineal y 2i no cte Transformar el intervalo o rango: Creamos otra recurrencia ui=lg ti ti=2ui ui=lg ti = log (2iti-12 ) = log (2i) + log (ti-12 ) ui= i + 2lg ti-1; ui= i +2ui-1 Por tanto: ui – 2ui-1 = i Cuyo pol. caract. es (x-2)(x-1)2

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. • ui = c12i + c21i + c3i1i • obtengo las ctes (...) sustituyendo la sol. general en la recurrencia para ui • i=ui – 2·ui-1 • i=c1·2i + c2·1i + c3·i·1i – 2(c1·2i-1+c2·1i-1+c3(i-1)·1i-1) • i= c2+ c3·i – 2 c2 –2·c3(i-1) • i= - c2+ c3·(i – 2(i-1)) = -c2 + c3( -i +2) • i= 2·c3 – c2 – c3·i

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. • Igualando coeficientes en i= 2·c3 – c2 – c3·i • 1= - c3 y 0 = 2c3 – c2 • Resolviendo c3 = -1 y c2 = 2c3 = - 2 • De c1 no tenemos información • Por tanto: ui = c12i –i –2 • Deshacemos los dos cambios para determinar la complejidad de la recurrencia

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. • Deshacer el 2º cambio: • Deshacer el 1er cambio: (i=log2n)

Resolución de recurrencias mediante transformación de intervalo. • Como tenemos una condición inicial podemos conocer la constante c1 • T(1) =1/3; T(1)= 2c1·1 / (4·1) =1/3 • Despejando c1=lg2 (4/3); c1 = lg 4 – lg3 = 2 - lg3 • Despreciando el 4 (cte)

Recurrencias

Recurrencias

Presentation Transcript