第 24 课 矩形、菱形与正方形

1. 第24课　矩形、菱形与正方形

2. 1．有一个角是的平行四边形是矩形．矩形的四个角都是，对角线．1．有一个角是的平行四边形是矩形．矩形的四个角都是，对角线． 矩形的判定方法： (1)有三个角是的四边形； (2)是平行四边形且有一个角是； (3)的平行四边形； (4)的四边形． 基础知识 自主学习 要点梳理 直角 直角 相等且互相平分 直角 直角 对角线相等 对角线相等且互相平分

3. 2．有一组的平行四边形叫做菱形．菱形的四条边都，对角线，且每一条对角线．2．有一组的平行四边形叫做菱形．菱形的四条边都，对角线，且每一条对角线． 菱形的判定方法： (1)四条边都； (2)有一组的平行四边形； (3)对角线的平行四边形； (4)对角线的四边形． 邻边相等 相等 互相垂直平分 平分一组对角 相等 邻边相等 互相垂直 互相垂直平分

4. 3．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形的四个角都是，四条边都，两条对角线，并且．每一条对角线．3．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形的四个角都是，四条边都，两条对角线，并且．每一条对角线． 正方形的判定方法： (1)邻边相等的； (2)有一角是直角的． 直角 相等 相等 互相垂直平分 平分一组对角 矩形 菱形

5. [难点正本　疑点清源] 平行四边形与矩形、菱形、正方形的联系与区别 以平行四边形为基础，从边、角、对角线等不同角度进行演变，我 们可得出矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形，它们之间既有联 系又有区别． 矩形判定方法的使用：在平行四边形的基础上，增加“一个角是直 角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三 个角是直角(第四个角必是直角)则可判定为矩形． 菱形判定方法的使用：在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相 等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，需有 四边相等则可判定为菱形． 正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个： 先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)； 或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即 菱形)．

6. 1．(2011·乌兰察布)如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形 ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 M和 N，则 M＋N不可能是() A．360° B．540° C．720° D．630° 答案　D 解析　当直线将矩形分割成两个三角形时，有M＝N＝180°，M＋N＝360°；当直线将矩形分割成一个三角形和一个四边形时，不妨设M＝180°，N＝360°，则M＋N＝540°；当直线将矩形分割成两个四边形，有M＝N＝360°，则M＋N＝720°.所以M＋N不可能是630°. 基础自测

7. 2．(2011·大理)用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是()2．(2011·大理)用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是() A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案　B 解析　两个等边三角形可拼成菱形．

8. 3．(2011·天津)如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为()3．(2011·天津)如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为() A．15° B．30° C．45° D．60° 答案　C

9. 4．(2011·茂名)如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知 AB＝BC＝ CD＝DA＝5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是() A．3公里 B．4公里 C．5公里 D．6公里 答案　B 解析　连接AC，因为AB＝BC＝CD＝DA，所以四边形ADCD是菱形，CA平分∠DAB，点C到l1的距离等于点C到l2的距离，故选B.

10. 答案　A

12. 【例 1】　如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE＝AB，过C作CF⊥DE，垂足为F. (1)猜想：AD与CF的大小关系； (2)请证明上面的结论． 题型分类 深度剖析 题型一　矩形

13. 解　(1)AD＝CF. (2)在矩形ABCD中， AB∥CD，且AB⊥CD，∠A＝90°， ∴∠CDF＝∠AED. 又∵DE＝AB， ∴DE＝CD. ∵CF⊥DE， ∴∠A＝∠DFC＝90°， ∴△ADE≌△FCD， ∴AD＝CF. 探究提高　矩形四个角都是直角，抓住这一特征，证两 个直角三角形全等；矩形的对角线将其分成若干个特殊 三角形．

14. 知能迁移1(2011·滨州)如图，△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．知能迁移1(2011·滨州)如图，△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

15. 解　当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．解　当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形． 证明：∵CE平分∠BCA， ∴∠1＝∠2. 又∵MN∥BC, ∴∠1＝∠3， ∴∠3＝∠2，∴EO＝CO. 同理，FO＝CO. ∴EO＝FO. 又∵OA＝OC, ∴四边形AECF是平行四边形． ∵∠1＝∠2，∠4＝∠5， ∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4. 又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°， ∴∠2＋∠4＝90°. ∴□AECF是矩形．

16. 【例 2】　如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F.请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想． 题型二　菱形

17. 解　DE＝DF. 证明：连接BD， 在菱形ABCD中， BD平分∠ABC， ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF. 探究提高　此题可以证明△ADE≌△CDF，得DE＝DF；或者连接BD，由“角平分线上的点到角两边的距离相等”证明DE＝DF.

18. 知能迁移2(2011·济宁)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．知能迁移2(2011·济宁)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形． 解　证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OB＝OD， ∴∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB， ∴△OED≌△OFB， ∴DE＝BF. 又∵ED∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形． ∵EF⊥BD， ∴平行四边形BEDF是菱形．

19. 【例 3】(2012·青海)如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F. (1)求证：△AOE≌△BOF； (2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕 O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为 什么？ 题型三　正方形

20. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！

21. 探究提高　正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和判定是中考的热点．探究提高　正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和判定是中考的热点．

22. 知能迁移3(2011·舟山)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH.知能迁移3(2011·舟山)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH. (1)如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状(不要求证明)； (2)如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝α(0°＜α＜90°). ①试用含α的代数式表示∠HAE； ②求证：HE＝HG； ③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由.

23. 解　(1)四边形EFGH是正方形． (2)①∠HAE＝90°＋α. 证明：在▱ABCD中，AB∥CD， ∴∠BAD＝180°－∠ADC＝180°－α. ∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形， ∴∠HAD＝∠EAB＝45°， ∴∠HAE＝360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD ＝360°－45°－45°－(180°－α)＝90°＋α.

25. ③四边形EFGH是正方形．理由如下： 由②同理可得：GH＝GF，FG＝FE. ∵HE＝HG(已证)， ∴GH＝GF＝EH＝FE，∴四边形EFGH是菱形． ∵△HAE≌△HDG(已证)， ∴∠DHG＝∠AHE. 又∵∠AHD＝∠AHG＋∠DHG＝90°， ∴∠EHG＝∠AHG＋∠AHE＝90°， ∴菱形EFGH是正方形．

26. 题型四　特殊平行四边形综合题

29. 探究提高　在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形”，还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各判定定理之间的联系与区别，解答此类问题要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问题的方法，这里方程的思想很重要．探究提高　在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形”，还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各判定定理之间的联系与区别，解答此类问题要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问题的方法，这里方程的思想很重要．

30. 知能迁移4(2011·宿迁)如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t(0≤t≤2)，线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F.知能迁移4(2011·宿迁)如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t(0≤t≤2)，线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F. (1)当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM； (2)顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S， 求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

31. 解　(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠D＝90°， AD＝AB. ∵QE⊥AB，MF⊥BC， ∴∠AEQ＝∠MFB＝90°. ∴四边形ABFM、AEQD都是矩形． ∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE. 又∵PQ⊥MN， ∴∠EQP＝∠FMN. 又∵∠QEP＝∠MFN＝90°， ∴△PEQ≌△NFM.

33. 试题　在△ABC的两边AB、AC上向形外作正方形ABEF、ACGH，试题　在△ABC的两边AB、AC上向形外作正方形ABEF、ACGH， 过点A作BC的垂线分别交BC于点D，交FH于M，求证：FM＝MH. 学生答案展示 如图，∵四边形ABEF与四边形ACGH都是正方形， ∴AF＝AB，AH＝AC. 又∵∠FAH＝∠BAC， ∴△AFH≌△ABC.∴∠5＝∠2. ∵∠3＋∠1＝90°，∠3＋∠2＝90°， ∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠5. ∵∠1＝∠4，∴∠4＝∠5. ∴AM＝FM.同理，AM＝AH， 故FM＝MH. 易错警示 15．不认真画图导致错误

34. 剖析　上述解法错在将∠BAC画成了直角(题中没有这个条件！)从而导致∠FAH、∠BAC和∠1、∠4分别成为对顶角，不认真画图，匆匆忙忙进行推理，就很容易犯错误．剖析　上述解法错在将∠BAC画成了直角(题中没有这个条件！)从而导致∠FAH、∠BAC和∠1、∠4分别成为对顶角，不认真画图，匆匆忙忙进行推理，就很容易犯错误．

35. 正解　分别过F、H画FK⊥MD，HL⊥MD，垂足为K、L.正解　分别过F、H画FK⊥MD，HL⊥MD，垂足为K、L. ∵四边形ACGH是正方形， ∴AC＝AH，∠CAH＝90°，∴∠1＋∠2＝90°. ∵AD⊥BC，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3. 又∵∠HLA＝∠ADC＝90°， ∴△AHL≌△CAD.∴HL＝AD. 同理：△AFK≌△BAD. ∴FK＝AD.∴FK＝HL. 又∵∠FMK＝∠HML， ∠FKM＝∠HLM＝90°， ∴△FMK≌△HML. ∴FM＝MH.

36. 批阅笔记　证明一个几何命题时，一般要先根据题意画出图形，但画图时应严格根据题设条件，不能将一般的图形画成一个特殊图形，否则在证明时就容易受所画图形干扰而导致错误.

37. 方法与技巧 1. 平行四边形是中心对称图形，这是它的本质特征． 矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，不仅具有平 行四边形的特征，而且它们都是轴对称图形，分别具有一 些独特的性质． 2. 利用一般与特殊的关系，明确各四边形的从属关系， 系统掌握特殊平行四边形的性质定理和判定定理． 思想方法 感悟提高

40. 失误与防范 1．在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形” 还是在“平行四边形”的基础之上来求证的．要熟悉各判定定 理的联系和区别，解决此类问题时要认真审题，通过对已知 条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法是解决这类 问题的关键． 2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常将它 与直角三角形的其他性质联合运用，解决直角三角形中的计 算或论证问题．

41. 完成考点跟踪训练24