第2章线性系统的数学模型

http://msn.ynet.com/pic.jsp?oid=55843536&pageno=10 第2章线性系统的数学模型实际存在的自动控制系统可以是电气的、机械的、热力的、化工的，甚至是生物学的、经济学的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同。本章介绍了系统的各类数学模型如微分方程，传递函数，方框图，信号流图的求取以及它们之间的相互关系。最后介绍用MATLAB求取系统的数学模型。内容提要第2章线性系统的数学模型

线性系统的数学模型，拉普拉斯变换，传递函数的定义，非线性特性的线性化处理，方框图的简化，梅逊公式的含义和应用。知识要点第2章线性系统的数学模型

描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间表达式等。建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。第2章线性系统的数学模型

§ 2.1 线性系统的微分方程 （1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可考虑列写一个方程；（2）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化学定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化；（3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；（4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方程。第2章线性系统的数学模型

例2-1 试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输入为ui(t)，输出为u0(t) 。解根据基尔霍夫定理，可列出以下式子：第2章线性系统的数学模型

整理得： 令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 则得该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。第2章线性系统的数学模型

例2-2 图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间的微分方程。第2章线性系统的数学模型

解弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力F2(t)，根据牛顿第二定律有：其中F1(t)和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出式中 k —— 弹簧系数 f —— 阻尼系数第2章线性系统的数学模型

整理且标准化 令称为时间常数；称为阻尼比；称为放大系数。得第2章线性系统的数学模型

例2-3 电枢控制的它激直流电动机如图所示，电枢输入电压u0(t)，电动机输出转角为θ。Ra、La、ia(t)分别为电枢电路的电阻、电感和电流，if为恒定激磁电流，eb为反电势，f为电动机轴上的粘性摩擦系数，G为电枢质量，D为电枢直径，ML为负载力矩。第2章线性系统的数学模型

解电枢回路电压平衡方程为 ce为电动机的反电势系数力矩平衡方程为式中为电动机电枢的转动惯量为电动机的力矩系数第2章线性系统的数学模型

整理得 —电机转速 —电磁时间常数 —机电时间常数 —时间常数 —无量纲放大系数 —电机传递系数第2章线性系统的数学模型

例2-4热水电加热系统，如图所示，为减小周围空气的热损耗，槽壁是绝热的，控温元件是电动控温开关。例2-4热水电加热系统，如图所示，为减小周围空气的热损耗，槽壁是绝热的，控温元件是电动控温开关。第2章线性系统的数学模型

根据能量守恒定律 其中 Qh—— 加热器供给的热量； QC—— 贮槽内水吸收的热量； Q0—— 热水流出槽所带走的热量: Qi—— 冷水进入槽带入的热量: Ql—— 隔热壁逸散的热量: C—贮槽水的热容量；V—流出槽水的流量；H— 水的比热；R—热阻；Ti—进入槽水的温度；T—槽内水的温度；Te—槽周围空气温度。第2章线性系统的数学模型

整理得 一般情况下，描述线性定常系统输入与输出关系的微分方程为 : 或第2章线性系统的数学模型

二、微分方程的线性化 实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。第2章线性系统的数学模型

当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当作线性系统处理。另外，如果系统的变量只发生微小的偏移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。第2章线性系统的数学模型

非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。第2章线性系统的数学模型

假如元件的输出与输入之间关系x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2= f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数第2章线性系统的数学模型

当(x1－x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成 其中为工作点(x10，x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。第2章线性系统的数学模型

例已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。例已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。解.在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数取一次近似，且令既有第2章线性系统的数学模型

§2.2 拉氏变化及应用 一、拉普拉斯变换的定义像原像第2章线性系统的数学模型

对于一个实际系统其输入信号往往是比较复杂的,而系统的输出响应又与输入信号类型有关。因此,在研究自动控制系统的响应时,往往选择一些典型输入信号,并且以最不利的信号作为系统的输入信号,分析系统在此输入信号下所得到的输出响应是否满足要求。估计系统在比较复杂信号作用下的性能指标。常采用的典型输入信号有： 1 阶跃函数它的数学表达式为：第2章线性系统的数学模型

它表示一个在t=0时出现的，幅值为A的阶跃变化函数，如图所示。在实际系统中，如负荷突然增大或减小，流量阀突然开大或关小均可以近似看成阶跃函数的形式。第2章线性系统的数学模型

A=1的函数称为单位阶跃函数，记作1(t)。因此，幅值为A的阶跃函数也可表示为出现在时刻的阶跃函数，表示为第2章线性系统的数学模型

它的数学表达式为 斜坡函数从t =0时刻开始，随时间以恒定速度增加。如图所示。A=1时斜坡函数称作单位斜坡函数。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分，反之，阶跃函数等于斜坡函数对时间的导数。 2 斜坡函数（等速度函数）第2章线性系统的数学模型

它的数学表达式为 曲线如图所示。当A=1时，称为单位抛物线函数。抛物线函数是斜坡函数对时间的积分。 3 抛物线函数（等加速度函数）第2章线性系统的数学模型

数学表达式为 它的曲线如图所示其面积为A。即面积A表示脉冲函数的强度。的脉冲函数称为单位脉冲函数，记作，即 4 脉冲函数第2章线性系统的数学模型

于是强度为A的脉冲函数可表示为。 表示在时刻出现的单位脉冲函数，即单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数第2章线性系统的数学模型

它的数学表达式为 式中A为振幅，ω为角频率，正弦函数为周期函数。当正弦信号作用于线性系统时，系统的稳态分量是和输入信号同频率的正弦信号，仅仅是幅值和初相位不同。根据系统对不同频率正弦输入信号的稳态响应，可以得到系统性能的全部信息。 5 正弦函数第2章线性系统的数学模型

6、指数函数 第2章线性系统的数学模型

二、常见函数的拉氏变换 （1）阶跃函数（2）单位斜坡函数第2章线性系统的数学模型

（3）等加速函数 （4）指数函数第2章线性系统的数学模型

（5）正弦函数 类似的，余弦函数的拉氏变化：第2章线性系统的数学模型

（6）单位脉冲函数 第2章线性系统的数学模型

4 拉氏变换的几个重要定理 （1）线性性质（2）微分定理证明： 0初条件下有：第2章线性系统的数学模型

例3 求 例2 求解. 解. 第2章线性系统的数学模型

（3）积分定理 零初始条件: 进一步有：零初始条件下有：例4 求 L[t]=? 解. 例5 求解. 第2章线性系统的数学模型

令（4）实位移定理证明：例6 解. 第2章线性系统的数学模型

令（5）复位移定理证明：例7 例8 例9 第2章线性系统的数学模型

（6）初值定理 证明：由微分定理例10 第2章线性系统的数学模型

（7）终值定理 （终值确实存在时）证明：由微分定理例11 例12 第2章线性系统的数学模型

小结 (1) 1 拉氏变换的定义 2 常见函数L变换（1）单位脉冲（2）单位阶跃（3）单位斜坡（4）单位加速度（5）指数函数（6）正弦函数（7）余弦函数第2章线性系统的数学模型

3 L变换重要定理 （1）线性性质（2）微分定理（3）积分定理（4）实位移定理（5）复位移定理（6）初值定理（7）终值定理第2章线性系统的数学模型

课程作业 1 已知 f(t)，求 F(s) ,求f(0),f(∞)。第2章线性系统的数学模型

试凑法 留数法例1 已知，求四、拉氏反变换（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）解. 第2章线性系统的数学模型

I. 当无重根时 用留数法分解部分分式一般有设其中：第2章线性系统的数学模型

例2 已知 ，求例3 已知，求解. 解. 第2章线性系统的数学模型

例4 已知 ，求解一. 解二：第2章线性系统的数学模型

II. 当 有重根时 (设为m重根，其余为单根) 第2章线性系统的数学模型

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