第八章 图与网络分析

1. 第八章 图与网络分析 • 最短路问题 • 最短路的应用

2. 第一讲： 最短路问题 最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。许多优 化问题都可以使用这个模型，如设备更新、管道的铺设、 线路的安排、厂区的布局等。 最短路问题的一般提法是：设 为连通图，图中 各边 有权 ( 表示 ， 之间没有边）, 为图中任意两点，求一条道路 ，使它是从 到 的所有路中总权最小的路。即： 最小。

3. 最短路算法中1959年由 （狄克斯特洛）提出的 算法被公认为是目前最好的方法，我们称之为 算 法。下面通过例子来说明此法的基本思想。 条件：所有的权数 思路：逐步探寻。

4. ① 下求 到 的最短路： 1）从 出发，向 走。首先，从 到 的距离为0，给 标号（0）。画第一个弧。（表明已 标号，或已走出 ） 2） 从 出发，只有两条路可走 ，其距离为

5. ① ② 可能最短路为 ① 给 划成粗线。 ②给 标号（4）。 ③ 划第二个弧。

6. ① ② 表明走出 后走向 的最短路目前看是 ，最优距离 是4 。 现已考察完毕第二个圈内的路，或者说，已完成 的标号。

7. ① ② ③ 3）接着往下考察，有三条路可走： 可选择的最短路为 ① 给 划成粗线。 ②给 标号（6）。 ③ 划第3个弧。

8. ① ② ③ ④ 4）接着往下考察，有四条路可走： 可选择的最短路为 ① 给 划成粗线。 ②给 标号（8）。 ③ 划第4个弧。

9. ① ② ③ ④ ⑤ 5）接着往下考察，有四条路可走： 可选择的最短路为 ① 给 划成粗线。 ②给 标号（9）。 ③ 划第5个弧。

10. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 6）接着往下考察，有四条路可走： 可选择的最短路为 ① 给 划成粗线。 ②给 标号（13）。 ③ 划第6个弧。

11. 7）接着往下考察，有四条路可走： 可选择的最短路为 ① 同时给 划成粗线。 ② 分别给 标号（14）。

12. 最后，从 逆寻粗线到 ，得最短路： 长度为14。

13. 第二讲：最短路问题的两个应用 最短路问题在图论应用中处于很重要的地位，下面举两个实 际应用的例子。 例12/P264 设备更新问题 某工厂使用一台设备，每年年初工厂要作出决定：继续使 用，购买新的？如果继续使用旧的，要负维修费；若要购买 一套新的，要负购买费。试确定一个5年计划，使总支出最小 若已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的残值与 维修费，如表8-2所示.

14. 表8-2 解：把这个问题化为最短路问题。 用点 表示第i年初购进一台新设备，虚设一个点 ，表示第 5年底。 边 表示第i年购进的设备一直使用到第j年初（即第j-1 年底）。

15. 边 上的数字表示第i年初购进设备，一直使用到第j年 初所需支付的购买费、维修的全部费用（可由表8-2计算得 到）。 这样设备更新问题就变为：求从 到 的最短路问题.

16. 表8-2

17. ① ② ⑴ ⑵ 给 划成彩线。 ⑶

18. ① ② ③ ④ 给 划成彩线。 ⑷ 给 划成彩线。

19. ① ② ③ ⑤ ④ ⑸ 给 、 划成彩线。

20. ① ② ③ ⑤ ④ ⑹ 给 划成彩线。 计算结果：最短路

21. ① ② ③ ⑤ ④ 最短路路长为49。 即：在第一年、第三年初各购买一台新设备为最优决策。 这时5年的总费用为49。

22. 例13 (选址问题P265 ) 已知某地区的交通网络如图8-37所示， 其中点代表居民小区，边代表公路，边权为小区间公路距离， 问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民就 诊时所走的路程最近？ 解 求中心的问题。 解决方法：先求出 到 其它各点的最短路长 如 再求

23. 即为所求。 比如求 ⑴ ⑵ 给 划成彩线。

24. ⑶ 给 标号20。 给 划成彩线。

25. ⑷ 给 标号30。 给 划成彩线。

26. ⑸ 分别给 标号33。 分别给 划成彩线。

27. ⑹ 给 标号63。 给 划成彩线。 其它计算结果见下表：

28. 表 8.1 由于 最小，所以医院应建在 ，此时离医院最 远的小区 距离为48。

29. 三. Floyd （佛洛伊德）算法 这里介绍得Floyd（1962年）可直接求出网络中任意两 点间的最短路。 令网络中的权矩阵为 其中 当 其他 算法基本步骤为： ⑴ 输入权矩阵

30. 例14/P266 ⑵ 计算 其中 例如：

31. 中不带角标的元素表示从 到 的距离（直接有边）， 带角标的元素表示借 为中间点时的最短路长。

32. 在放开 的基础上，再放开 中不带角标的元素表示从 到 的距离（直接有边）， 带角标的元素表示借 为中间点时的最短路长。

33. 注意到： 在放开 点的基础上，再放开 考察最短路。

34. 注意到：

35. 说明所有点经过 并没有缩短路程。

36. 只有一个新增元素

37. 表示任意两点间的最短路长及其路径。

38. 第二讲 最大流问题 最大流问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通运输 网络中有人流、车流、货物流、供水系统中有水流，金融 系统中有现金流，通信系统中有信息流，等等。 一． 有关概念： 例：下图是输油管道网， 为起点， 为终点， ， ， ， 为中转站，边上的数字表示该管道的最大输油能 力（也称容量），记为 ，问应如何安排各管道输油量， 才能使从到的总输油量最大？

39. ① 分别称 为发点、收点。其余的点称为中间点。 ②每一个边上都给定一个容量的网络称为容量网络，记 • 的每一个边上都给定一个实际流量 的网络称为给 • 定了网络一个流。

40. ④容量限制 条件： 对每一边上都有 若 ，称边 是饱和边。 ⑤平衡条件： a) 中间点： 流入量=流出量。 b) 发收点： 发出流量=汇入流量。

41. 这种流称为可行流。上图就是一个可行流。使流量达到这种流称为可行流。上图就是一个可行流。使流量达到 最大的流称为最大流 。 ⑥可增广链：是指从 到 有一条链，此链上有 ≤ 的现象出现。（非饱和链） 二． 求解最大流： 1） 寻找可增广链： • 先给标号 （∆，+∞），其中∆意思是流入的结点，现没 • 有，纯属一个符号。+∞表示的流出量。因它上面没有结点 • 来控制它，故设为+∞.

42. b) 接着检查与相邻接的点 ， ， 。 已饱和，流量不 可再增。再检查 ，可调整量为 4-2=2，可提供量+∞，取 调整量

43. 给 标号 ，其中 表示 的所调整量2来自 ，且 为正向流（向前流） 。 同理，给 标号 • 下对已标号点（可望调整点）接着向下检查。 已饱 • 和。再检查与 相邻接且未标号的点

44. 调整量为 给 标号为 d) 检查与 相邻接且未标号的点 ， 。而 对 来讲是流 入，现欲增加流出量，应压缩 的流入量，只要的流入量

45. 可令调整量为 给 标号为 表示可控量，反方向流量。

46. f) 下面检查与 相邻接且未标号的点 ，同理，调整量： 给 标号为 g) 最后，给 标号

47. 2）调整流量：从 到 所画出的彩线即为可增广链。沿 该可增广链，从 倒推，标“＋”号的在实际流量上加上 该调整量，标“－”符号的在实际流量上减去该调整量。完 成调整过程。

49. 重新开始标号，寻找可增广链。当标到 时，与 ， 相 邻接的点 ， ， 都不满足标号条件，标号无法继续，且 没有完成标号。此时最大流量即为所求。

50. 第三讲：最大流问题的应用 1. 最大匹配问题 ⑴ 二部图（也叫二分图） 图G= (V, E), 若V=X∪Y且X∩Y=ф，使得E中每一条边 的两个端点必有一个属于X，另一个属于Y，则称G为二 部图。记G=（X，Y，E），或G=（X，E，Y）。