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І -1 截面的静矩和形心位置

z. dA. z. o. y. y. І -1 截面的静矩和形心位置 . 一、 定义. 截面对 z , y 轴的静矩为 ：. 静矩可正，可负，也可能等于零 。. z. c. z. dA. o. y. y. y. 若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。. 截面对形心轴的静矩等于零。. 截面的形心 C 的坐标 公式为：. 截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截. 面对于同一轴的静矩。. 二 、 组合截面. 由几个简单图形组成的截面称为组合截面 .

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І -1 截面的静矩和形心位置

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  1. z dA z o y y • І-1 截面的静矩和形心位置 一、 定义 截面对 z , y 轴的静矩为： 静矩可正，可负，也可能等于零。

  2. z c z dA o y y y 若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。 截面对形心轴的静矩等于零。 截面的形心 C 的坐标 公式为：

  3. 截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截 面对于同一轴的静矩。 二 、 组合截面 由几个简单图形组成的截面称为组合截面

  4. 组合截面静矩的计算公式为 其中： Ai —— 第 i 个简单截面面积 —— 第 i个简单截面的形心坐标

  5. 计算组合截面形心坐标的公式如下：

  6. y 10 120 10 o x 80 例 1-1 试确定图示截面心 C 的位置。 解：将截面分为 1，2 两个矩形。 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合 1 2

  7. y 10 120 10 o x 80 矩形 1 1 矩形 2 2

  8. y 10 1 120 2 10 o x 80 所以

  9. z dA 截面对 o 点的极惯性矩为 z  y y 0 • І -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 定义：

  10. y dA y  x x 0 Ip = Ix + Iy 所以 截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为 因为

  11. 截面对 x , y 轴的惯性积为 惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值， y y 也可能等于零。 dA 若 x , y 两坐标轴中有一个为 截面的对称轴， 则截面对 x , y 轴的 dx dx x 惯性积一定等于零 。

  12. 截面对 x , y 轴的惯性半俓为

  13. y dy y h C x b 例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。 解： dA = b dy

  14. y x 例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。 解：因为截面对其圆心 O 的 极惯性矩为 d 所以

  15. yc y xc C(a,b) a b x o § І -3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积 一、 平行移轴公式 x , y ——任意一对坐标轴 C —— 截面形心 （a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的 坐标。 xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）

  16. yc y xc C(a,b) a b x o Ix , Iy , Ixy_____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。 Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。 则平行移轴公式为

  17. Ixi , Iyi ,—— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、 惯性积。 二、组合截面的惯性矩 惯性积 组合截面的惯性矩，惯性积

  18. zc 1 20 yc 2 取过矩形 2 的形心且平行 140 100 y 于底边的轴作为参考轴， 记作 y 轴 。 20 例 3 -1 求梯形截面对其形心轴 yc的惯性矩。 解：将截面分成两个矩形截面。 截面的形心必在对称轴 zc 上。

  19. zc 1 20 yc 2 140 100 y 20 所以截面的形心坐标为

  20. zc 1 20 yc 2 140 100 y 20

  21. y y1 x1  o x § І -4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩 一、 转轴公式 xoy 为过截面上的任 – 点建立的坐标系 x1oy1为 xoy 转过  角后形成的新坐标系  逆時针转取为 + 号， 顺時针转取为 – 号

  22. y y1 x1  o x 上式称为转轴公式 显然

  23. 二 、截面的主惯性轴和主惯性矩 主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。 主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。

  24. 形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。 形心主惯性矩—— 截面对形心主惯性轴的惯性矩。

  25. 主惯性轴的位置：设  为主惯性轴与原坐标轴 之间的夹角， 则有 由此  求出后，主惯性轴的位置就确定出来了。

  26. 主惯性矩的计算公式 截面的对称轴一定是形心主惯性轴。 过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有 一对是主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中 的极值。即：Imax = Ix0 , Imin = Iy0

  27. 求形心主惯性矩的步骤 确定形心 的位置 选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐 标轴 x ，y, 计算 Ix , Iy , Ixy

  28. 确定主惯性轴的位置 计算形心主惯性矩

  29. y 120 y 80 10 20 c 70 x 10 例 4-1 计算所示图形的形心主惯性矩。 解：该图形形心 c 的位置已确定, 如图所示。 过形心 c 选一对座标轴 X , y 轴， 计算其惯性矩（积）。

  30. y 120 y 80 10 20 c 70 x 10

  31. y 120 y 80 10 20 c 70 x 10

  32. 在第三象限 形心主惯性轴 x0 , y0 分别由 x 轴和 y 轴绕 C点 逆时针转 113.80 得出。 形心主惯形矩为

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