幾何證明

1. 自我評量 幾何證明 輔助線

2. 在上一冊第 3 章中，我們用過了 SAS、AAS、SSS、ASA、RHS 等判別三角形全等的性質，你還記得嗎？讓我們一起來複習吧！ 在下列各組圖形中，都有一些用記號標出的線段或角，如果它們有相同的記號，則表示它們的長度或角度相同。請對照左邊每一組全等的圖形，在右邊找出適合的全等性質，並用線將它們連起來。

3.   RHS SAS ASA AAS SSS    

4. 在幾何證明的寫作過程中，除了依據題目所給的條件外，常會利用一些已學過的幾何性質、運算規律及等量公理。在幾何證明的寫作過程中，除了依據題目所給的條件外，常會利用一些已學過的幾何性質、運算規律及等量公理。 在進行幾何推理的寫作時，會將「已知條件」、「要說明的結論」與「推導或說明的過程」寫成 、 、 的形式。書寫的方式將以下面的例子說明： 求證 證明 已知

5. 如右圖，平行四邊形ABCD中， ， 對角線 、 交於O 點， 試說明 ， 。（兩對角線互相平分）

6. 說明 在△AOB 與△COD 中， ∵ ， ∴∠1＝∠3，（內錯角相等） ∠5＝∠6，（內錯角相等） 又 ＝ ，（平行四邊形對邊等長） 所以△AOB △COD，（根據ASA全等性質） 故 ， 。（對應邊相等）

7. 現在將「已知條件」、「要說明的結論」與「推導或要說明的過程」寫成 、 、 的形式如下： 求證 證明 已知 已知 已知 條件 如圖，平行四邊形ABCD中， ， ，對角線 、 交於O點。

8. 要說明的結論 求證 ， 證明 在△AOB 與△COD 中 ∵ ，（平行四邊形對邊平行） ∴∠1＝∠3，∠5＝∠6。（內錯角相等） 又 ，（平行四邊形對邊等長） ∴△AOB △COD。（ASA 全等性質） 故 ，。（對應邊相等） 推導或說明的過程

9. 幾何證明的寫作，要從分析出發，才能確定證明的方向與步驟，以上為例：幾何證明的寫作，要從分析出發，才能確定證明的方向與步驟，以上為例：

10. ， （結論） 思 路 分 析 推 理 過 程 △AOB △COD（ASA） 平行線截角性質，平行四邊形性質 （已知） 平行四邊形ABCD中， ，

11. 思路分析是從「結論」推到「已知條件」，而推理過程則依分析的結果由「已知條件」逐步推理至「結論」。思路分析是從「結論」推到「已知條件」，而推理過程則依分析的結果由「已知條件」逐步推理至「結論」。

12. 搭配習作 P40 基礎題 1 請將下面的題目改寫成 、 、 的形式。 已知 求證 證明 如右圖，正方形ABCD 中， E、F 分別在 、 上， 且 ＝ 。 請利用三角形全等的性質 來說明△ABE △ADF。

13. 說明： △ABE 與△ADF 全等的條件是： ＝ ，（已知） ∠ABE ＝ ______，（ABCD 是正方形） ＝ _______，（ABCD 是正方形） 根據______全等性質，△ABE △ADF。 ∠ADF SAS

14. 如右圖，正方形ABCD 中，E、F 分別在 、 上，且 ＝ 。 △ABE △ ADF。 在△ABE 與△ADF 中 ∵ ＝ ，（已知） ∠ABE＝∠ADF＝90°，(ABCD是正方形) ＝ ，（ABCD 是正方形） 所以△ABE △ADF（SAS） 已知 求證 證明

15. 1等腰三角形兩腰上的高相等 如右圖，△ABC 中， ， ， 。 已知 求證 思路分析一 要證明，先找到分別以、為一邊的兩個三角形，再證明這兩個三角形全等。

16. 證明一 在△AEB 與△ADC 中 ∠A＝∠A，∠AEB＝∠ADC＝90°， △AEB △ADC（AAS） （對應邊相等） 與代數的解題一樣，幾何證明的方法會隨著不同的思路分析，產生不同的方法，所以例題1也可以用下面的方法證明：

17. 思路分析二 要證明，也可以從面積觀察：在△ABC中，若分別以、為底，則其高相等。 證明二 △ABC的面積＝

18. 如右圖，△ABC 中， ， ， 。 已知 求證 思路分析 要證明，先找到分別以、為一邊的兩個三角形，再證明這兩個三角形全等

19. 在△ABE 與△ACD 中 ∵ ∴△ABE △ACD（ SAS） 故 （對應邊相等） ∠A＝∠A 證明

20. 幾何證明題的呈現方式，通常有以下幾個習慣的方法：幾何證明題的呈現方式，通常有以下幾個習慣的方法： (1)將 這個詞省略。 (2)把 寫成「試證」。 (3)可將推理的過程分成幾個步驟，並以(1)、 (2)、(3)、……表示。 已知 求證

21. 2 利用全等證明兩次 如右圖，△ABC與△ABD中， ，，若E為 上任一點，試證

22. 證明 (1)△ABC 與△ABD 中 ∵，， ∴△ABC △ABD（SSS） 故∠ABC＝∠ABD（對應角相等） (2)△EBC 與△EBD 中 ∵，∠ABC＝∠ABD， ∴△EBC △EBD（SAS） 故 （對應邊相等）

23. 如右圖，，， ，與交於 F 點， 試證∠1＝∠2。

24. (1)△ABD與△ACE中 ∵，∠ADB＝∠AEC＝90°， ∠BAD＝∠CAE ∴△ABD △ACE（RHS） 故 （對應邊相等） (2)△AEF 與△ADF中 ∵，∠AEF＝∠ADF＝90°， ∴△AEF △ADF（RHS） 故∠1＝∠2（對應角相等）

25. 如圖3-1，△ABC為等腰三角形， ，將△ABC對摺，使得B點與C點疊合。 圖3-1

26. 如圖3-2，把摺好的三角形打開，則 為△ABC的對稱軸 圖3-2

27. 由此可知： 等腰三角形底邊上的高，就是它的對稱軸，即 (1)等腰三角形底邊上的高平分底邊，且平 分頂角。 (2)等腰三角形的底角相等。

28. 幾何推理進行中，有時僅從「已知條件」的圖形，並不足以直接推導出結論，常常需要在原圖形上添加一些圖形，以便連繫「已知條件」到「要說明的結論」之間的關係，而所添加的圖形稱為輔助線。幾何推理進行中，有時僅從「已知條件」的圖形，並不足以直接推導出結論，常常需要在原圖形上添加一些圖形，以便連繫「已知條件」到「要說明的結論」之間的關係，而所添加的圖形稱為輔助線。 在上面的說明已證實等腰三角形的兩底角相等，以下我們再以幾何推論的方法，加以證明。

29. 3輔助線的應用 如右圖，四邊形ABCD中， ， ，試證∠A＝∠C。

30. 思路分析一 要證明∠A＝∠C，先找到分別以∠A、∠C 為一內角的兩個三角形，可試著連接，再證明△ABD與△CBD全等

31. 證明一 (1)如右圖，連接 。 (2)在△ABD 與△CBD 中 ， ， ， ∴ （SSS） ∠A＝∠C（對應角相等）

32. 思路分析二 若連接，可將 ∠A 分成∠1＋∠3， ∠C 分成∠2＋∠4， 若能證明∠1＝∠2，∠3＝∠4， 即可推出∠1＋∠3＝∠2＋∠4。

33. 證明二 (1)如右圖，連接 。 (2)∵ ， ∴∠1＝∠2。 同理，∠3＝∠4。（ ） (3)∠A＝∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝∠C 故∠A＝∠C。

34. 思路分析一 如右圖， ， 。 試證∠ABD＝∠ACD。 利用三角形的全等性質：考慮△ABD與△ACD。

35. (1)連接 。 (2)在△ABD 與△ ACD 中 ∵ ， ， ∴△ABD ACD（SSS） 故∠ABD＝∠ACD（對應角相等） 證明一

36. 思路分析二 利用等腰三角形兩底角相等:考慮△ABC與△DBC。

37. (1)連接 。 (2)在△ABC 中， ， ∴∠ABD＋∠1＝∠ACD＋∠2。 (3)在△BCD 中， ∴∠1＝∠2。 (4)由(2)、(3)得： ∠ABD＝∠ACD 證明二

38. 由例題3及隨堂練習可知： 不同的思路會產生不同的輔助線，可以有不同的證法。

39. 4 角平分線分割對邊比 如右圖，△ABC中，為∠BAC 的角平分線，交 於 D 點，試 證 ＝。 (1)過 D 點作 ，。 (2)∵為∠BAC的角平分線， ∴。 證明

40. 證明 (3)△ABD：△ACD ＝( ．．)：( ．．) ＝（ ∵ ） 又△ABD：△ACD＝， （同高） ∴＝。 證明過程的項次符號(1)、(2)、(3)⋯⋯，也可以不必寫出來。

41. 如右圖，△ABC中， ＝8，＝6，＝7， 、、分別為∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分線， 試求： (1) ：。 (2) 。 (3) ：。

42. (1) ：＝： ＝8：6＝4：3 (2)＝ ＝ × 7＝4 (3) ：＝： ＝8：4＝2：1

43. 5 內冪性質 如右圖，圓上兩弦 、交 於 P 點，試證 ×＝×

44. 證明 連接 、 △ACP 與△DBP 中 ∠ACP＝∠DBP （同 AD 所對圓周角） ∠1＝∠2（對頂角） ∴△ACP∼△DBP（AA） ：＝： 故 ×＝× ⁀

45. 如右圖，圓上兩弦 、 ，其延長線相交於圓 外 P 點，試證 ×＝ ×。（外冪性質）

46. 連接 、 在△ADP 與△CBP 中 ∵∠P＝∠P ∠A＝∠C＝ BD ∴△ADP∼△CBP（AA） ：＝： 故 ×＝×

47. 6 切割線性質 如右圖， 割圓於 B 點， 為圓的切線， 試證 ×＝2。

48. 證明 連接 、 △ACP與△CBP中 ∠P＝∠P（公共角） ∠1＝∠2 （弦切角等於同弦所對圓周角） ∴△ACP∼△CBP（AA） ：＝： 故 ×＝2

49. ∵×＝2 （＋4）×4＝62 ∴＝5 如右圖，割圓於 B 點， 為圓的切線，若 ＝6，＝ 4，求 長。

50. 7 中線不等式 如右圖，△ABC中，M為 中點， 試證 ＋＞2。