Matematyka nie jest trudna

1. Matematykanie jest trudna SPIS TREŚCI

2. SYMETRIE

3. Symetria jest rozumiana jako przekształcenie figury na tą samą figurę . Na płaszczyźnie wyróżniamy symetrię osiową (symetrie względem prostej- odbicie lustrzane) i symetrie środkową (względem punktu). Czym jest Symetria ?

4. figury osiowosymetryczne Prosta względem której figura jest symetryczna sama do siebie nazywa się osią figury symetrii. O figurze, która ma oś symetrii mówimy, że jest figurą osiowosymetryczną. Jeżeli figurę osiowosymetryczną przekształcimy przez symetrię względem jej osi to figura ta nałoży się sama na siebie.

5. Przykłady figur osiowosymetrycznych

13. Punkt względem którego figura jest symetryczna sama do siebie nazywa się środkiem symetrii figury. O figurze która ma środek symetrii mówimy, że jest figurą środkowo symetryczną. Jeżeli figurę środkowo symetryczną przekształcimy przez symetrię środka symetrii (obrócimy ją o kąt 180 ˚) to figura ta nałoży się sama na siebie Czym jest środek symetrii figury ?

14. Przykłady figur środkowo symetrycznych

15. Przykłady figur środkowo symetrycznych

16. Przykłady symetrii względem punktu

17. Przykłady symetrii przez punkt

18. Przykłady symetrii przez punkt

19. Sprawdź swoją wiedzę o symetriach :

20. Która z figur jest środkowo symetryczna?

21. Ile osi symetrii ma trójkąt równoboczny? a) 0 b) 2 d) 3 c) 4

22. Czy przekształcenie figury względem prostej można nazwać odbiciem lustrzanym? NIE TAK

23. Która z tych figur ma dokładnie 4 osie symetrii?

24. Która z figur została przekształcona prawidłowo względem prostej?

25. Funkcje

26. Pojęcie funkcji jest jednym z podstawowych pojęć matematyki współczesnej. Z pojęciem tym spotykamy się coraz częściej. W prasie codziennej, w czasopismach i telewizji często prezentowane są wykresy różnych zależności. Przykładami Są choćby notowania kursów walut czy tez akcji na giełdzie papierów wartościowych. Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

27. Pojęcie funkcji: Jeżeli dane są dwa zbiory X i Y i każdemu elementowi x przynależnemu do zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden element y przynależny do zbioru Y, to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y. f: x→y Zbiór X nazywamy zbiorem argumentów lub dziedziną funkcji. Zbiór wszystkich y przynależnych do zbioru Y takich, że istnieje x przynależne do zbioru X, dla którego y=f(x) nazywamy zbiorem wartości tej funkcji.

28. Zadanie 1: W skład zespołu pewnego domu kultury liczy 6 osób, z czego Asia gra na pianinie, Andrzej i Zosia grają na gitarze, Karol i Ewelina grają na bębnach, a Maciej gra na skrzypcach. Wykonaj rysunek (graf) przyporządkowujący każdej osobie instrument na którym gra.

29. Zadanie 2: W stałym składzie drużyny koszykowej z Inowrocławia jest 5 mężczyzn. Jest to Krzysztof który ma 189 cm wzrostu, Witold 173 cm, Jerzy 178 cm, Jerzy 170 cm oraz Aleksander który ma 180 cm wzrostu. Wykonaj rysunek (graf ) przyporządkowujący każdemu zawodnikowi jego wzrost.

30. Wykresem funkcji o dziedzinie X jest zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych (x,y) spełniających waruneky=f(x), gdzie x należy do zbioru X W życiu codziennym możemy zastosować funkcje w wielu przypadkach: np. każda osoba: - lubi różne gatunki filmów

31. - różne kolory włosów

32. - różne zainteresowania

33. Sposoby określania funkcji: Funkcję możemy określić za pomocą: • - opisu słownego • - grafu • - tabelki • - wzoru • - wykresu

34. Zadanie 1: Dane są dwa zbiory: X = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Y = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Zbiór X jest zbiorem argumentów, a Y jest zbiorem wartości pewnej funkcji. Każdemu elementowi ze zbioru X jest przyporządkowany tylko jeden element ze zbioru Y, tak że wartością funkcji dla argumentu 0 jest liczba 2, dla argumentu 1 liczba 3 itd. Opisz różnymi sposobami tę funkcję. Opis słowny: Każdej liczbie naturalnej mniejszej od 10 jest przyporządkowana liczba ze zbioru y większa o 2.

35. Graf: Wykres: Tabelka:

36. Wzór: y= x+2 Każdej liczbie ze zbioru x przyporządkowana jest liczba y taka, że: y = x + 2 Wzór ten możemy zapisać: x→ x + 2 lub f(x ) = x+ 2

37. Wykres funkcji zależy od dziedziny funkcji. Miejscem zerowym funkcji jest taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa zero. Własności funkcji:

38. Zadanie 1: Dana jest funkcja y = x – 1. Sporządź wykres na podstawie danych z tabelki. y = -2 -1 = -3 y = -1 -1 = -2 y = 0 -1 = -1 y = 1 -1 = 0 y = 2 -1 = 1

40. Funkcja może mieć jedno miejsce zerowe, wiele miejsc zerowych, lub nie mieć żadnego miejsc a zerowego.

41. Zadanie: Funkcja określona jest wzorem y = 3(x-1) dla x = { -2, -1, 0, 1, 2} Narysuj graf, sporządź tabelkę i wykres tej funkcji oraz podaj taki argument tej funkcji, dla którego wartość funkcji jest równa 0. y = 3*(-2 -1)= -9 y = 3*(-1 -1)= -6 y = 3*(0 -1)= -3 y = 3*(1-1)= 0 y= 3*(2-1)= 3

42. graf: tabelka: wykres: Funkcja przyjmuje wartość 0 dla argumentu x = 1. Mówimy że x=1 jest miejscem zerowym tej funkcji.

43. Odczytywanie i interpretowanie informacji z wykresów funkcji.

44. Zadanie: Funkcja y = ax + b dla x należącego do R, Jej wykres i własność. Funkcją liniową jest każda funkcja określana wzorem y= ax+b i x przynależne do zbioru R gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wykresem funkcji liniowej y = ax + b jest prosta przecinająca oś OY w punkcie ( 0, b) Wykres funkcji liniowej y = ax + b, gdzie a≠0 przecina oś OX W punkcie o współrzędnych - a oś OY w punkcie o współrzędnych (0, b). Zwróć uwagę, że jest miejscem zerowym funkcji.

45. Wykres każdej funkcji y = ax jest prostą, która przechodzi przez początek układu współrzędnych oraz przez punkt (1, a). Jeżeli: a >0, to wykres funkcji przechodzi przez I i III ćwiartkę, a < 0, to wykres funkcji przechodzi przez II i IV ćwiartkę, a = 0, to wykres pokrywa się z osią odciętych ( OX) • Funkcja liniowa y = ax + b jest: • rosnąca, gdy a > 0, • malejąca, gdy a < 0, • stała, gdy a = 0.

46. Zadanie : Dziedzinę funkcji y= x- 1 jest zbiór liczb rzeczywistych. Sporządź częściową tabelkę tej funkcji i zaznacz w układzie współrzędnych wybrane punkty należące do jej wykresu. Oblicz miejsce zerowe tej funkcji.

47. Miejsce zerowe: y = -2 -1 = -3 y= -1 -1= -2 y=0 -1= -1 y= 1 -1= 0 y= 2-1= 1 a= -2 b= -3 =

48. Wzory skróconego mnożenia

49. KWADRAT SUMY • (a+b)2= a2 +2ab+b2 • KWADRAT RÓŻNICY • (a-b)2= a2-2ab+b2 • RÓŻNICA KWADRATÓW • a2-b2= (a-b)(a+b)

50. SZEŚCIAN SUMY (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3 SZEŚCIAN RÓŻNICY (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3