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1.1.3 导数的几何意义

1.1.3 导数的几何意义. 回顾. Y=f(x). y. f(x 2 ). B. f(x 2 )-f(x 1 )=△y. f(x 1 ). A. x 2 -x 1 =△x. x. x 1. x 2. O. ① 平均变化率. 函数 y=f(x) 的定义域为 D,x 1. x 2 ∈D,f(x) 从 x 1 到 x 2 平均变化率为 :. ② 割线的斜率. 回顾. 我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度. 函数 y=f(x) 在 x=x 0 处的瞬时变化率是 :. 我们称它为函数 y=f(x).

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1.1.3 导数的几何意义

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  1. 1.1.3导数的几何意义

  2. 回顾 Y=f(x) y f(x2) B f(x2)-f(x1)=△y f(x1) A x2-x1=△x x x1 x2 O ①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为: ②割线的斜率

  3. 回顾 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 我们称它为函数y=f(x) 在x=x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x→x0即 以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

  4. 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是: 回顾 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.

  5. 导数的几何意义: y y=f(x) 割线 x o Q T 切线 P 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.

  6. y y=f(x) 割线 Q T 切线 即: P x o 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

  7. 要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.

  8. 例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. 练习：试求过点P(3,5)且与y=x2相切的直线方程

  9. 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即: 在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

  10. （1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 小结: 1、求切线方程的步骤：

  11. （2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数 。 （3）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。 2、弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系。 （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

  12. 1、若曲线y=x3+3ax与直线y=3x+1相切，求a的值。 2、已知直线L1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线，L2为该曲线的另一条切线，且L1⊥L2，求直线L2的方程。

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