第 2 章 时域离散信号和系统的频域分析

1. 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 本章主要内容 • 序列的傅里叶变换的定义和性质 • 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 • 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间的关系 • 序列的Z变换 • 利用Z变换分析信号和系统的频域特性

2. 2.1 引言 时域分析方法和频率分析方法 信号和系统的两种分析方法： (1)模拟信号和系统 信号用连续变量时间t的函数表示； 系统则用微分方程描述； 信号和系统的频域分析方法：拉普拉斯变换和傅里叶变换； (2)时域离散信号和系统 信号用序列表示； 系统用差分方程描述； 频域分析的方法是：Z变换或傅里叶变换；

3. 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 2.2.1序列傅里叶变换的定义 称为序列x(n)的傅里叶变换，用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。 FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下式：

4. 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 求FT的反变换， 用e jωm乘上式两边， 并在-π~π内对ω进行积分， 得到 因此 傅里叶变换对

5. 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 [例]:设x(n)=RN(n) ， 求x(n)的FT 设N=4， 幅度与相位随ω变化曲线如下图所示

6. 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 2.2.2 序列傅里叶变换的性质 1. FT的周期性 在FT定义式中， n取整数， 因此下式成立 结论： (1) 序列的傅里叶变换是频率ω的连续周期函数，周期是2π。 (2) X(ejω)可展成傅里叶级数， x(n)是其系数。 X(ejω)表示了信号在频域中的分布规律。 (3) 在ω＝0,±2π,±4π…表示信号的直流分量，在ω＝(2M＋1)π时是最高的频率分量。一般只分析信号在一个周期的FT M为整数

7. ) 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 2. 线性 3. 时移与频移 设X(e jω)=FT[x(n)]， 那么 设： 则： 式中a, b为常数 改变相位

8. 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 4. FT的对称性 (1) 共轭对称序列 共轭对称序列xe(n)满足： 将xe(n)用其实部与虚部表示： 上式两边n用-n代替，取共轭： 得到： xe(n)=x*e(-n) xe(n)=xer(n)+jxei(n) x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n) xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n) 实部是偶函数 虚部是奇函数

9. 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 (2) 共轭反对称序列 共轭反对称序列满足： 将x0(n)用其实部与虚部表示： 上式两边n用-n代替，取共轭： 对比上面两公式， 左边相等， 因此得到 xo(n)=－x*o(-n) xo(n)=xor(n)+jxoi(n) x*o(-n)=xor(-n)－jxoi(-n) 实部是奇函数 xor(n)=－xor(-n) xoi(n)= xoi(-n) 虚部是偶函数

10. 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 [例1] 试分析x(n)=e jωn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到： x*(-n)= e jωn 因此 x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列。 将序列展成实部与虚部的形式， 得到 x(n)=cosωn+j sinωn 上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数， 虚部是奇函数。

11. 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 (3) 任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和 xe(n), xo(n)和原序列x(n)有何关系？ 将上式中的n用-n代替， 取共轭： 根据上面两式， 得到 x(n)=xe(n)+xo(n) x*(-n)=xe(n)-xo(n)

12. 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 (4) 频域函数X(ejω)的对称性 任意频域函数X(ejω)可表示成共轭对称部分和共轭反对称部分之和： X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) Xe(ejω) = X*e(e－jω) Xo(ejω) =－X*o(e－jω) Xe(ejω), Xo(ejω)和原频域函数X(ejω)的关系

13. xi(n) 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 (5) 研究FT的对称性 (a)将序列x(n)表示成实部xr(n)与虚部xi(n)的形式 x(n)=xr(n)+jxi(n) 将上式进行FT， 得到: X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω) 结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭对称性， 虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。

14. 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 (b) 序列表示成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)之和 其中： 将上面两式分别进行FT， 得到 FT[xe(n)]=1/2[X(ejω)+X*(ejω)]=Re[X(ejω)]=XR(ejω) FT[xo(n)]=1/2[X(ejω)-X*(ejω)]=jIm[X(ejω)]=jXI(ejω) 结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ejω)， 而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部[jXI(ejω)]。 x(n)=xe(n)+xo(n)

15. 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下： x(n) = xr(n) + jxi(n) X(ejw)= Xe(ejw) + Xo(ejw) x(n) = xe(n) + xo(n) X(ejw) = XR(ejw) + jXI(ejw) FT FT

16. 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 (6) 研究实因果序列h(n)的对称性 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ejω)，共轭反对称部分为零。 所以其FT具有共轭对称性。 即： H(ejω)=He(ejω) H(ejω)=H*(e-jω) 因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数 即 ：HR(ejω)=HR(e-jω) HI(ejω)=-HI(e-jω)

17. 0， n=0 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 实因果序列h(n)与其共轭对称部分he(n)和共轭反对称部分ho(n)的关系 h(n) = he(n) + ho(n) he(n)=1/2[h(n) + h(-n)] ho(n)=1/2[h(n) - h(-n)] 因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为：

18. 分段增益函数 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)= he(n)u+(n) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)δ(n) 说明：实因果序列可以完全仅由其偶序列he(n)恢复，因为其奇序列ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由ho(n)恢复h(n)时，需要补充一点h(o)δ(n)信息

19. 0 ， n=0 0 ， n=0 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 [例2] x(n)=anu(n),0<a<1,求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。 解： x(n)=xe(n)+xo(n)

20. 0.5 n = -1 ∴he(n)= 1 n = 0 0.5 n = 1 0, n<0 1 n = 0 h(n) = he(0), n=0 = 1 n = 1 2he(n), n>0 0 其它n 根据傅立叶变换定义，H(ejw)=FT[h(n)]= h(n) e-jwn =1+e-jw ∵ HR (ejw)=FT[he(n)]=1+0.5 ejw + 0.5 ejw = he(n) e-jwn 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 [例2]：若序列h(n)是实因果序列，其傅立叶变换的实部为HR(ejw)=1+cosw，求h(n)及其H(ejw). 解 根据实因果序列特性，h(n)=he(n)U+(n)

21. m m 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 定理说明：两序列卷积的FT服从相乘关系，对于线性时不变系统，输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT 5. 时域卷积定理 设：y(n)=x(n)*h(n) 则：Y(e jω)=X(e jω)·H(e jω) 证明： 令：k=n- m,则

22. X( e ) x 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 6. 频域卷积定理 设：y(n)=x(n)·h(n) 则： 证明：

23. ） 2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 7. 帕斯维尔Parseval定理 定理说明：信号时域的总能量等于频域中的总能量。 证明：

24. 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 周期序列不满足绝对可和条件，其FT是不存在的，由于具有周期性，可展开成离散傅里叶级数，当引入奇异函数，其FT可用公式表示。 2.3.1周期序列的离散傅里叶级数 1. 周期序列的离散傅立叶变换(DFS变换) 设 是以N为周期的周期序列，可展成傅里叶级数的形式： 式中ak是傅里叶级数的系数，为求系数ak，将上式两边乘以 ，并对n在一个周期N中求和

25. [ ] n -∞<k<∞ n 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 k和n均取整数， 当k或者n变化时， 是周期为N的周期函数，所以系数 也是周期序列，ak=a k+lN，令： 式中: 因此: 周期序列的离散傅里叶级数

26. N，k = n 0，k ≠ n 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2、周期序列离散傅立叶反变换(IDFS变换) 如上式两端乘以 ， 并对k在一个周期中求和， 得到 由于：

27. 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 总结：一个周期为N的周期序列DFS变换对为 一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。 意义：表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为ωk=(2π/N)k， k=0, 1, 2 … N-1，幅度为 ，基波分量的频率是2π/N， 幅度是

28. j 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 [例1] 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓， 得到如图所示的周期序列 ， 周期为8， 求 的DFS。 解： 按照DFS变换公式 • 幅度特性表明周期序的DFS: • 与N有关； • 在频域中是个离散的周期序列

29. r取整数 则： 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中， 的傅里叶变换是在Ω=Ωo处的单位冲激函数，强度是2π， 即 在时域离散系统中，对于x(n)=e jωon，2π/ωo为有理数，其FT也是在ω=ω0处的单位冲激函数，强度为2π，由于n取整数，下式成立 在ω0＋2πr处的单位冲激函数

30. 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 对于一般周期序列 ，其离散傅里叶级数为： 对其进行傅里叶变换： 如果让k在±∞之间变化， 上式可简化成： 奇异函数 其中：

31. 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 [例2]:求例1中周期序列的FT。 解：将例1中得到的 代入周期序列的FT公式中得到 对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线)，所以，周期序列的频谱分布用其DFS和FT表示都可以

32. 2 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 [例3] 令 ，2π/ω0为有理数，求其FT。 解：欧拉公式展开 表明:cosω0n的FT，是在ω=±ω0处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行延拓。

33. ^ 采样信号 ^ 2.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系 序列x(n)的傅里叶变换对 模拟信号xa(t)傅里叶变换对 时域关系 x(n)=xa(nT) 提出问题： (1) 序列的傅里叶变换X(ejω)与模拟信号的傅里叶变换Xa(jΩ)之间有什么关系。 (2) 数字频率ω与模拟频率Ω(f)之间有什么关系。

34. dΩ 2.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系 t=nT w=T

35. 2.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系 结论： • 离散信号可看作模拟信号的采样序列： • 数字域频率与模拟域频率呈线性关系： • 离散信号的FT(频谱)是对应的模拟信号FT(频谱)以s=2/T为周期的周期延拓。

36. 2.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系 归一化频率：f′=f/fs Ω′=Ω/Ωs， ω′=ω/2π 模拟域频域 数字域频域 模拟频率与数字频率之间的定标关系

37. ^ ^ 2.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系 [例]设xa(t)=cos(2πf0t)，f0=50Hz，以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号 和时域离散信号x(n)， 求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的FT。 解：(1) Xa(jΩ)是Ω=±2πf0处的单位冲激函数，强度为π

38. ^ ^ ^ 2.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系 (2) 以fs=200 Hz 对xa(t)进行采样得到采样信号 ，根 据 与xa(t)的关系式： 根据采样信号和模拟信号的FT之间的关系，可得到：

39. 2.4 时域离散信号的FT与模拟信号FT之间的关系 (3) 由采样信号得到的序列x(n)，x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)，序列x(n)的FT，只要将Ω=ω/T=ωfs代入： 将fs=200 Hz，f0=50 Hz，代入上式， 求括弧中公式为零时的ω值，ω=2πk±π/2， 因此X(ejω)用下式表示：

40. 2.5 序列的Z变换 • 在模拟信号和系统中，用FT进行频域分析，用拉普拉斯变换对信号进行复频域分析。 • 在时域离散信号和系统中，用序列的FT进行频域分析，用Z变换进行复频域分析。 2.5.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为： 注意：式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。在定义中，对n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式

41. 2.5 序列的Z变换 Z变换存在的条件：等号右边级数收敛，要求级数绝对可和， 即： 使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。 收敛域一般为环状域 令：Z=rejw ，代入上式可得到：Rx-<r<Rx+ 收敛域分别是以为Rx-和Rx+为半径的 两个圆形成的环状域

42. 2.5 序列的Z变换 常用的Z变换是一个有理函数， 可用两个多项式之比表示 收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的FT和ZT的定义式，可得到FT和ZT之间的关系： 单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。 根据已知序列的Z变换求序列的FT的条件是：收敛域中包含单位圆。 P(z)的根是X(z)的零点 Q(z)的根是X(z)的极点 z=ejω：表示在z平面上r=1的圆，称为单位圆

43. 2.5 序列的Z变换 [例]已知序列x(n)=u(n)， 求其Z变换。 解： X(z)存在的条件是|z-1|<1， 收敛域为|z|>1 分析：极点是z=1， 序列单位圆上的Z变换不存在， 因此其傅里叶变换不存在，但如果引进奇异函数δ(ω)， 其傅里叶变换可以表示出来。 一个序列的FT不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的，对于这类信号的分析可以采用Z变换来分析。 |z|>1

44. 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 信号和系统的频域特性用序列的傅里叶变换和Z变换进行分析。 2.6.1 传输函数与系统函数 设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列δ(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)。 (1)对h(n)进行傅里叶变换得到H(e jω)。 称H(e jω)为系统的传输函数，表征系统的频率特性。

45. H(z) ＝h(n) 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 (2)对h(n)进行Z变换，得到H(z) 称H(z)为系统的系统函数，表征了系统的复频域特性。 (3)如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ejω)与H(z)之间关系如下式： 系统的单位脉冲响应h(n)在单位圆上的Z变换就是系统的传输函数

46. 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 1、因果系统 • 当n<0时，h(n)=0； • 系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点。 2、稳定系统： • 要求： • 系统函数H(z)的收敛域包含单位圆。 3、系统因果且稳定 收敛域包含∞点和单位圆，收敛域可表示为 r<|z|≤∞， 0<r<1 所有极点集中在单位圆的内部

47. N 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性 因式分解 A=b0/a0 ，影响传输函数的幅度大小， cr是H(z)的零点，dr是其极点，影响系统特性的频率特性 分子分母同乘以z N+M，得到:

48. B B ejω-cr：用一根由零点cr指向单位圆上ejω点B的向量 表示 ejω-dr：用一根极点指向ejω点B的向量 表示 称为极点矢量 称为零点矢量 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 设N=M 设系统稳定，将z=e jω，得到传输函数 在z平面上 极坐标

49. 极点 零点 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 结论：系统的传输特性或者信号的频率特性可由上式作定性分析(几何分析)，当频率ω从零变化到2π时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，根据上式可分别估算出系统的幅度特性和相位特性。 例如：下图表示了具有一个零点和二个极点的频率特性 峰值 谷点

50. 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 • 极点越靠近单位圆，极点矢量长度越短，峰值越尖锐，极点在单位圆上，幅度特性为∞，系统不稳定； • 零点越靠近单位圆，零点矢量长度越短，峰值接近零，零点在单位圆上，谷值为零； • 极点位置影响频响的峰值位置和尖锐程度，零点位置影响频响谷点位置和形状； 应用： • 若要使设计的滤波器滤掉某个频率(不让某一频率通过)，可在单位圆上相应的频率处设置一个零点； • 若要使设计的滤波器让某个频率无衰减通过(突出某一频率)，可在单位圆内相应的频率处设置一个极点； • 适当地控制零、极点的分布，可改变数字滤波器的频率特性