第七章 刚体力学

1. 第七章 刚体力学 这一章将以牛顿力学中的另一个理想模型——刚体 为对象，研究它的运动以及运动规律。重点是刚体的转 动，我们以讨论刚体定轴转动为主，也介绍一点定点转 动。难点是转动惯量。

2. §7.1 刚体运动的描述 §7.2 刚体的动量和质心运动定理 §7.3 刚体定轴转动的角动量·转动惯量 §7.4 刚体定轴转动的动能定理 §7.5 刚体平面运动的动力学 §7. 6 刚体的平衡 §7.7 自旋与旋进（进动）

3. §7.1 刚体运动的描述 由图知 式中 为恒矢量，所以 即 1. 刚体的平动 刚体：在任何情况下形状和大小都不发生变化的力学研究对象。 研究刚体的基本方法：将刚体分为小到可看作是质点的“质元”， 然后研究这个距离保持不变的质点系。 刚体的平动：刚体上任何一条直线在各个时刻都保持平行的运动。 刚体平动的特点：刚体平动时，各质元的速度和加速度都相同， 所以只要了解刚体上某一质元的运动，就足以掌握整个刚体的 运动。

4. 来描述， 定轴转动可用函数 式中 为刚体定轴转动的角坐标。 记角位移为 ，可定义角速度 面对z轴观察，若 ，刚体逆时针转动； ，刚体顺时针转动。 在国际单位制中，角速度单位为rad/s，量纲为 2. 刚体绕固定轴的转动 定轴转动：刚体运动时，若 所有质元都在与某一直线垂 直的诸平面上作圆周运动， 且圆心在该直线上，称刚体 作定轴转动。

5. 由角速度可定义角加速度 若已知角速度的初始条件和角加速度，不难推出 若又知角坐标初始条件，可求出 描述刚体定轴转动的“角量”和“线量” 可见角量充分地描述了刚体定轴转动 的状态。

6. 3. 角速度矢量 对于定轴转动，刚体只有“正”“反”两种转动方向，可用 角速度的正负来表示，一般情况下，转轴可任意取向，角速 度要用矢量来表示 规定角速度的方向 沿转轴，且与刚体的旋 转运动组成右手螺旋系 角速度合成按平行四边 形法则 用矢量表示的角速度和线速度的关系 还需要定义角加速度矢量

7. 或 与 反映任意 选定的基点的运动， 刻画刚体绕通过基点轴 的转动。 4. 刚体的平面运动 若刚体内垂直于固定平面的直线上的各点，运动状况都 相同，也即，刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与 一固定平面平行，称作刚体平面运动。 描述平面运动需要三个标量函数

8. 圆柱体边缘上一点P的线速度为 投影得 可将刚体平面运动视为 平动与转动的合成 特例：无滑滚动的圆柱体 通常将此式看作 是圆柱体无滑滚 动的条件，圆柱 体边缘上一点画 出的轨迹称作摆 线。

9. 式中 为刚体质量密度，若 为常量，则 §7.2 刚体的动量和质心运动定理 1. 刚体的质心

10. 又因 设 得 [例题1] 求半径为a的均质半圆球的质心。 [解] 半径为r厚为dz的薄圆体元体积

11. 刚体的动量可用其质心动量表示 将质心运动定理应用于刚体，有 解出 [例题2] 在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为R/2 的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心。 [解] 由于对称只需求质心的x坐标， 由于大圆可看作小圆和剩余部分构成， 而大圆质心为坐标原点，有 2. 刚体的动量与质心运动定理

12. §7.3 刚体定轴转动的角动量 ·转动惯量 对于图7.13(a)，有 总角动量沿z轴正方向， 大小为 又因 所以 1. 刚体定轴转动对轴上一点的角动量 一般情况下，刚体定轴转动对轴上一 点的角动量并不一定沿角速度的方向， 而是与之成一定夹角。 对于图7.13(b)，总角 动量并不沿z轴

13. 式中括号内的与刚体诸质元的质量以及 质元至转动轴的距离有关，也即，与刚 体的质量分布以及转轴的位置有关。对 于绕某一转轴的刚体括号内的量是一个 定值，记它为 则刚体对轴的角动量可写为 2. 刚体对一定转轴的转动惯量 设z轴为转动轴，则刚体对轴的角动量 式中 称为刚体对定轴z的转动惯量。 对于质量连续分布的刚体，转动惯量 由积分表示

14. [例题1] 求均质圆盘的转动惯量。 [解] 将圆盘分成无限薄圆环， 其质量为 薄圆环对轴的转动惯量为 积分得 由于圆盘质量 最后得到均质圆盘的转动惯量

16. 因 而 1）平行轴定理 式中IC为刚体对过质心轴的 转动惯量，d为两轴距离。 证明： 上式中间两项消失， 第一项为IC，第四项 为md2。

17. [解]已知 应用垂直轴定理 得到 2）垂直轴定理 对于厚度为无穷薄的板，设z轴与板面垂直，则 [例题2]均质等截面细杆对杆端点的转动惯量 [解]应用平行轴定理 [例题3]均质等厚薄圆板对过圆心且在板面内轴的转动惯量

18. 根据质点系对z轴的角动量定理和 ，有刚体定轴 转动对轴的角动量定理 取 则重心坐标与质心坐标相同 3. 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理 由于刚体对一定轴的转动惯量为常量，上式可写为 可将此式与牛顿第二定律比较。 4. 刚体的重心 刚体处于不同方位时重力作 用线都要通过的那一点叫做 重心。（见图7.19(a)） 由图7.19(b)可求得

19. 又因 可解出 5. 典型的例子 [例题1]水库的放水弧形闸门。 [解]根据质心运动定理 投影式为 根据转动定理 因启动时质心速度为零，有 对平板形闸门，有

20. 因 所以 功率为 将质点系动能定理 §7.4 刚体定轴转动的动能定理 1. 力矩的功 作用于刚体上P点的力F沿半径为r的 圆周经过弧长的功为 我们称这为力矩的功，本质上仍是力的功。 即，力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。 2. 刚体定轴转动的动能定理 应用于刚体定轴转动，即可得刚体定轴转动的动能定理。

21. 质元动能 求和得刚体的总转动动能 由于刚体内力的功总为零，所以 根据条件有 解出 这就是刚体定轴转动的动能定理。 [例题1]求重锤下落h高度时的速率。 [解] 1）利用质点和刚体转动动能定理解 2）利用质点系动能定理解

22. 质元的重力势能 求和得到刚体势能 将 代入，得 在自然坐标系 代入 得 以 因 得到 3. 刚体的重力势能 [例题2] p214 [解] 1）求v 2）求支点受力

23. §7.5 刚体平面运动的动力学 1. 刚体平面运动的基本动力学方程 在惯性系中建立直角坐标系O-xyz，选刚体质心为原点， 建立质心坐标系C-x'y'z'，则有刚体质心运动方程 和刚体绕质心轴的转动方程 以上两个方程就是刚体平面运动的基本动力学方程。 2. 作用于刚体上的力 1)作用于刚体上的力的效果·滑移矢量 作用于刚体上的力能使刚体质心作加速运动，它对质心轴 的力矩使刚体产生角加速度。 刚体所受的力可沿作用线滑移而不改变其效果，所以作用 于刚体的力是滑移矢量。

24. 机座对飞行员的弹性力和宇航员太空行走时的推进力都机座对飞行员的弹性力和宇航员太空行走时的推进力都 应当通过质心。 2)力偶和力偶矩 力偶：大小相等方向相反 的一对力 力偶矩：大小 方向 右手螺旋法则 分析刚体受力效果的简单 方法

25. Y方向的投影 无滑滚动条件为 [例题1]斜面上圆柱体的无滑滚动。 [解]根据质心运动定理 由对质心轴的转动定理 解以上方程，得到 讨论：刚体只做平面平动时 可见刚体虽不作转动，但存在力矩 平衡问题，不得不考虑刚体的形状 和大小，不可单纯看作是质点运动。

26. [解]由图，根据质心运动定理 它在y方向的投影 又，滑动摩擦力为 由对质心的转动定理， 得 由以上方程可解出 汽车静止时，地面对前后轮的支撑力为 [例题2]质量为m的汽车在水平路面上紧急刹车，前后轮均 停止转动。前后轮相距L，与地面的摩擦系数为μ。汽车质心离 地面高度为h，与前轮轴水平距离为l。求前后车轮对地面的压力。 可见刹车时，前轮受到的压力比静止时大，汽车前倾。

27. 由柯尼希定理可得 动能定理为 考虑到无滑滚动条件 有 3. 刚体平面运动的动能 [例题3]在例题1中，设圆柱体自静止开始滚下，求质心下 落高度h时，圆柱体质心的速率。 [解]对于无滑滚动，摩擦力不做功，只有重力做功

28. 式中N为弹性支撑力 δ为N到O的垂直距 离称为滚动摩擦系数。 取 ，其中r为 半径， 为滚动阻力系数。（见p221表7.2） 滚动时，因 故 所以 因 4.滚动摩擦力偶矩 滑动摩擦和滚动摩擦的比较 滑动时

29. 被动轮轮缘的静摩擦力 因 很小，f 也很小 驱动轮受力如图 所示，设轮子匀速滚动，对质心轴有 得到牵引力 5.汽车轮的受力·汽车的极限速度 下面考虑汽车的极限速度，当牵引力的功率与阻力的和为0时， 汽车达到极限速度，由于汽车高速行驶时空气阻力很大，可不 计滚动和滑动摩擦力，于是功能关系为 代入发动机功率N发=60kW， 有效功率系数μ=0.9,空气 阻力系数CD=0.425,空气密 度ρ=1.2258Ns2/m4,S=1.89m2 (桑塔纳横截面)，得到 得到极限速度 还可以估算出滚动摩擦力偶功率 约为 7.0kW,确实比发动机功率 60kW小得多

30. 刚体平衡的充要条件 §7. 6 刚体的平衡 也称为在平面力系作用下刚体的平衡方程 还可以将平衡方程写成其他形式，例如 条件是O和O'的连线不能与x轴正交。 如果写成 则O、O'和O’’三点不应选在同一直线上。

31. §7.7 自旋与旋进（进动） 1. 常平架回转仪 如图所示的常平架回转仪的三根 转动轴相互垂直，并相交于回转仪的 重心。这样，回转仪就不受重力矩， 且能在空间任意取向。若不计轴承阻 力矩和空气阻力矩，回转仪的角动量 守恒，于是回转仪以恒定的角速度转 动。这种性质可用于导弹等飞行物的 方向控制。 可用两个回转仪 控制飞行方向： 1）绕铅直轴转动的回 转仪可测侧滚角和 俯仰角； 2）绕水平轴转动的回 转仪可测偏航角

32. 2. 回转仪的旋进 在如图的装置中移动重锤W， 在回转仪静止时，装置会上下倾 斜。但回转仪转动时，移动重锤 W装置不作上下倾斜而是作绕铅 直轴的转动，称为旋进或进动。 其原理如下：由角动量定理，有 当移动重锤W时，外力 矩引起的角动量的变化 与原角动量在同一平面 但方向不一样，合成的 结果使回转仪绕铅直轴 转动。

33. 3. 地球的旋进与章动