第 4 章弹性体振动

第4章弹性体振动 4.1 弦的振动 4.2 杆的纵向振动 4.3 圆轴的扭转振动 4.4 梁的横向振动

弦振动 • 在工程实际中常遇到钢索、电线、电缆和皮带等柔性体构件，其共同特点是只能承受拉力，而抵抗弯曲及压缩能力很弱，这类构件的振动问题称为弦的振动问题。 • 其固有频率与弦的密度、弦的长度、截面、张力等有关，因此，知道弦的基本参数，可以通过固有频率可以计算张力，如钢索斜拉桥斜拉索的张力的确定。典型的例子还有吉他、二胡、古筝等乐器。

弦振动方程的推导 均质弦横向振动的微分方程，又称为波动方程

弦振动方程的求解 上式中x和t 两个变量已经分离。因此，两边都必须等于同一常数。设此常数为-wn2(只有将常数设为负值时，才有可能得到满足端点条件的非零解，该常数即为系统的固有频率)

弦振动方程的主振型

与多自由度系统振型的比较 作为连续系统的弦振动的特性与多自由度系统的特性是一致的，不同的是多自由度系统主振型是以各质点之间的振幅比来表示，而弦振动中质点数趋于无穷多个，质点振幅采用的连续函数－即振型函数Y(x)表示。

弦振动方程的主振动

杆的轴向振动 • 在工程问题中，常见到以承受轴向力为主的直杆零件，如连杆机构中的连杆，凸轮机构中的挺杆等，它们同样存在着沿杆轴线方向的轴向振动问题。 • 其固有频率与杆的密度、弹性模量、长度、轴向载荷等有关。

杆的轴向振动模型

三种典型边界条件——(1) ①

7.974 4.901 2.001

杆的轴向振动主振型

杆的轴向振动主振动

三种典型边界条件——(2) ②

杆的纵向振动主振型

杆的纵向振动主振动

三种典型边界条件——(3) ③

圆轴的扭转振动 • 在各类机械中，传动轴是经常遇见的零部件，它主要用来传递转矩而不承受弯矩，其振动可简化为细长杆的扭转振动问题。钻杆、车床的转轴、变速箱的齿轮轴等都存在扭转振动。 • 其固有频率与轴的密度、转动惯量、截面、长度、承受的扭矩等有关。

圆轴的扭转振动

梁的横向振动 • 工程中常见的以承受弯曲为主的机械零件，可简化为梁类力学模型，当一根梁作垂直于其轴线方向的振动时，称为梁的横向振动，由于其主要变形形式是弯曲变形，所以又称为弯曲振动。 • 八音盒上发声的声片就是梁振动的典型例子。其固有频率与梁的密度、弹性模量、轴向惯性矩、截面、长度等有关。

梁的横向振动

梁的横向振动的求解

梁对应的不同边界条件

一端固定一端简支梁

一端固定一端自由梁

梁振动主振型的正交性

梁振动主振型的正交性 右边实际上是梁的端点边界条件，无论梁的端点是自由、固定或简支，将端点边界条件代入上式，右边始终为零

用模态分析法求梁稳态响应 (1) 通过求梁的自由振动微分方程，可求出在给定端点条件下梁各阶固有频率wnk和相应的各阶主振型Yk (x) (2) 对原方程进行坐标变换，将梁的受迫振动微分方程变换成用模态方程来表达。梁的坐标变换表达式对变量x和t分别求偏导，然后代入梁横向振动微分方程将Yj(x)乘以上式两边，并对梁的全长积分得

用模态分析法求梁稳态响应 (3)求解模态方程，求模态坐标响应，用杜哈美积分求解。 (4)求系统的响应

for i=1:3; pp0=0; i B=D*A; pp=1.0/B(3); A=B/B(3); while abs((pp-pp0)/pp)>1.e-12 pp0=pp; B=D*A; pp=1.0/B(3); A=B*pp; end if(pp)>0 f=sqrt(pp)/2/pi %/单位HZ else f=0 end fprintf(fid1,'%20.5f',A); fprintf(fid2,'%20.5f',f); D=D-A*A'*M/(A'*M*A*pp); end

第 4 章 弹性体振动