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§6.4 曲线的凹凸与拐点

§6.4 曲线的凹凸与拐点. y. L 1. B. L 2. L 3. A. o. x. 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。. 如右图所示 L 1 ， L 2 ， L 3 虽然都是从 A 点单调上升到 B 点，但它们的弯曲方向却不一样。. L 1 是“ 凹 ( 上凸 )” 弧， L 2 是“ 凸 ( 下凸 )” 弧 ， L 3 既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是不一致的。. y=f(x). y=f(x). y. y. p. y 0.

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§6.4 曲线的凹凸与拐点

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Presentation Transcript

  1. §6.4 曲线的凹凸与拐点

  2. y L1 B L2 L3 A o x 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。 如右图所示L1，L2 ，L3虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。 L1是“凹(上凸)”弧，L2是“凸(下凸)”弧 ，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是不一致的。

  3. y=f(x) y=f(x) y y p y0 y0 p x x x0 x0 o o K切=f '(x)>0 y单调递增 K切=f '(x)<0 y单调递减 几何特征Ｉ 凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的下方. 凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的上方. 连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.

  4. 一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方(凹函数) 图形上任意弧段位 于所张弦的下方(凸函数)

  5. 的值分别是

  6. 定义2

  7. x x x x x x 1 3 3 2 2 1 θ θ θ θ θ θ 1 2 3 2 1 3 曲线的凹凸与拐点 .定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间. y y • • • • • • x x a a b o o b 几何特征Ⅱ 凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大. 凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.

  8. 定理1 二、曲线凹凸的判定 定理1可根据定义进行证明，下面证明定理1.

  9. 定理2

  10. 由假设 证明 分别应用L—定理，得 两式相减，得

  11. 这就证明了 同理可证（1） 注 定理的结论可推广到任意区间上 例1 解 注意到,

  12. 三、曲线的拐点及其求法 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证

  13. 方法1:

  14. 例2 解 拐点 拐点 凸的 凹的 凸的

  15. 方法2: 例3 解

  16. 注意:

  17. 二阶导数变号， 例5 解

  18. 求曲线 的拐点 例6 解

  19. 是拐点 例7 ——Jensen不等式 证 由Taylor公式，得

  20. 各式乘以 再相加，得 =1 =1

  21. 思考题

  22. 思考题解答 例

  23. 小结: 1.如何来研究函数的凹凸性. 2.凹与凸的定义 , 拐点的定义. 3.凹与凸的判定.

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