Eksponentielle sammenhænge

1. Eksponentielle sammenhænge Beviser, begrundelser

2. Procentisk ændring At lægge p% til et tal y1 giver det samme som at gange y1 med fremskrivningsfaktoren Bevis: Regnemåde 1: Der lægges p% til y1: Regnemåde 2: y1 ganges med F: (I eksponentiel vækst bruges ”a” for ”F” , når x stiger med 1)

3. 2. Løs forklaring med ord af ”eksponentiel vækst” En størrelse vokser eksponentielt gennem en årrække, hvis den har samme procentiske vækst hvert år. F. eks. Et lån der forrentes med 8 % pr. år Efter 0 år: 1000 Efter 1 år: 10001,08 Efter 2 år: 10001,081,08 Efter 3 år: 10001,081,081,08 = 10001,083 … Efter 10 år: 10001,08…1,08 = 10001,0810 = 2158,92 Med bogstaver: b ∙ ax = y

4. Hvad er en eksponentiel sammenhæng? Matematisk definition: En eksponentiel sammenhæng beskrives ved en ligning Hvor a og b er positive konstanter

5. Konstanter a og b - uddybning Sætning om b: b er grafens skæring med y-aksen. Dvs. når x=0 , er y = b. (Eks.: b er befolkningsstørrelse i året 0). Bevis: I regneforskriften indsætter vi x=0 , og husker at a0 = 1: y = b ∙ ax y = b ∙ a0 y= b ∙ 1, altså y = b

6. Sætning om a Når x stiger med 1, bliver y ganget meda. (”fremskrivningsfaktoren”) (Eks.: hver gang der går 1 år, ganges folketallet med 1.05) Begrundelse ud fra definitionen y = b ∙ ax(med taleksempel for x-værdier): Vi ser på et eksempel hvor x-værdierne er hele tal, her vokser x med 1 fra x1=3 til x2 = 4 De tilsvarende y-værdier udregnes ved hjælp af forskriften y = b ∙ ax x=3: x=4: Allerede her ovenfor kan vi se, at aty ganges meda , når x stiger med 1. Hvis man vil pensle det ud: Altså , dvs. yganges meda , når x stiger med 1

7. 6. Vækst over forskellige perioder Sætning: For perioden h er fremskrivningsfaktoren F= ah Begrundelse: Når x stiger med 1, bliver y ganget med a Når x stiger med 2, bliver y ganget med a∙a= a2 Når x stiger med 3, bliver y ganget med a∙a∙a = a3 . . . Når x stiger med h, bliver y ganget med ah Fremskrivningsfaktoren kan også findes som I alt har vi altså F Iopgaver efterfølges dette ofte af py=(F-1)∙100

8. 7. Beregne a ud fra (x1, y1) og (x2, y2) (x1, y1) og (x2, y2) er to punkter på grafen for y = b∙ax Fremskrivningsfaktor for periode h = x2 - x1 : a isoleres. Ifølge regel om løsning af potensligninger: eller Da h = x2- x1kan dette omskrives: eller a

9. 7b. Beregne a ud fra (x1, y1) og (x2, y2) – (alternativ uden punkt 6 om F ovenfor) (x1, y1) og (x2, y2) er to punkter på grafen for y = b∙ax Vi ser først på et eksempel , hvor x vokser med 3 fra x1 til x2. Så er , dvs. , eller , når x vokser med h, altså x2 - x 1 = h. Ved division med y1 fås og ifølge regel om løsning af potensligninger eller Da h = x2 - x 1 kan dette omskrives: eller a

10. Fordoblingstid (og halveringstid) Definition af ”Fordoblingstid” (når x måler tid): Den tid, T, det tager for y at fordobles Udledning af formel : Fremskrivningsfaktor for periode h: At y fordobles, betyder F=2 Idet h da kaldes T har vi altså, at Reglerne om løsning af potensligninger giver: