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Random Generation of B m × J Contingency Tables ver. 5.0

Random Generation of B m × J Contingency Tables ver. 5.0. 東京大学 松井知己 東海大学 松井泰子 東京理科大学 小野陽子. Random Generation of ｛１ ,2 ｝ m × ｛ 1,2,..., n ｝ Contingency Tables. 東京大学 松井知己 東海大学 松井泰子 東京理科大学 小野陽子. Path Coupling 法を用いた 多元分割表生成のためのマルコフ連鎖設計. 東京大学 松井知己 東海大学 松井泰子 東京理科大学 小野陽子. 本研究の目的.

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Random Generation of B m × J Contingency Tables ver. 5.0

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Presentation Transcript

  1. Random Generation of Bm×J Contingency Tablesver. 5.0 東京大学 松井知己 東海大学 松井泰子 東京理科大学 小野陽子

  2. Random Generation of ｛１,2｝m×｛1,2,...,n｝Contingency Tables 東京大学 松井知己 東海大学 松井泰子 東京理科大学 小野陽子

  3. Path Coupling 法を用いた多元分割表生成のためのマルコフ連鎖設計 東京大学 松井知己 東海大学 松井泰子 東京理科大学 小野陽子

  4. 本研究の目的 • 題目：Path Coupling 法を用いた多元分割表生成のためのマルコフ連鎖設計 • 扱う分割表の形状： 2×2×･･･×2×K • 2×2×K：[太田,青木，広津(昨日)] • マルコフ基底：自明なものが存在 • 3×3×K：[青木,竹村(昨日)] • 極限分布： (1)一様分布 (2)超幾何分布 • 目的：1つサンプリングする迄に必要な • 推移回数の算定 ＝mixing time の算定

  5. MCMC法 • 多元分割表の行と列の独立性の検定 • 検定理論 • 正確検定 • 医療統計 • p値の計算 • 帰無仮説の棄却を決める閾値 • MCMC法（Markov Chain Monte Carlo Method) • Markov chain で sampling を行い • Monte Carlo 法を行う • mixing time の速いMarkov chain の必要性

  6. 列 (column) contingency table • {1,2}2×{1,2,3,4,5,6}の例

  7. contingency table (example) ２６ ２０ • ２ ５ １ ４ ５ ９ • ６ ３ ６ ３ ２ ０ • ５ ２ ７ １ ０ ３ • ６ ４ ４ ３ ８ ８ • N：table sum (N=97=26+20+18+33) • n: # of columns (n=6) ８ ８ ７ ７ ７ ９ １８ ３３ １１ ６ １１ ４ ８ １１ ７ ７ ８ ５ ５ １２ １２ ７ １０ ６ １０ ８

  8. contingency tables ２６ ２０ • * * * * * * • * * * * * * • * * * * * * • * * * * * * • N：table sum (N=97=26+20+18+33) • n: # of columns (n=6) ８ ８ ７ ７ ７ ９ １８ ３３ １１ ６ １１ ４ ８ １１ ７ ７ ８ ５ ５ １２ １２ ７ １０ ６ １０ ８

  9. 分布関数 • 周辺和を固定したとき、 • T =（ nijk）という分割表が出現する確率が、 • （1）一様分布すると仮定 ←Diaconis-Efron検定 • Pr[T]＝1/ |Ω| • Ω：与えられた表と周辺和が等しい分割表の集合. • （２）超幾何分布すると仮定 ←対数線形モデル • Δ • Pr[T]＝Pr[nijk]＝ • Πi ΠjΠk nijk ! • Δ：総和が1となる係数

  10. main result • 目的 • ｛1,2｝m×｛1,2,...,n｝分割表を ランダム生成する （定常分布が一様分布と超幾何分布の） • Markov chain の提案 • 結果 • 提案する Markov chain の mixing time は, • ・分割表の列数, • ・ln(分割表のセル中の数値の平均), • ・ln (精度の逆数) • の多項式でおさえられる. • 方法 • path coupling 法 [Bubley and Dyer 1997]

  11. 2元分割表 (contingency table) • 2元分割表 • 行と列の独立性を検定したい. • total: 周辺和

  12. 行と列の独立性 • 行と列の独立性を検定したい. H0: pij =pi･p･j pij

  13. eye hair Blue Brown Green Blond 3 4 3 10 Brown 2 4 2 8 Red 4 3 5 12 9 11 10 30 eye hair Blue Brown Green Blond 9･10 /30 11･10 /30 10･10 /30 10 Brown 9･8 /30 １1･８ /30 10･8 /30 8 Red 9･12 /30 11･12 /30 10･12 /30 12 9 11 10 30 行と列の独立性の検定 • 行と列の独立性を検定したい. ni+ nij n+j mij

  14. 正確検定 • X2=Σi Σj（nij – mij)2/mij ：χ2値 • サンプル数が多ければ, X2は 自由度が • (行数-1)(列数-1)のχ2分布に従う. • サンプル数が少ないとき（正確検定)： • Ω：与えられた表と周辺和が等しい2元分割表の集合. • T∈Ω, X2(T)：Tのχ2値 • Σ{Pr[T]：X2<X2(T), T∈Ω} < α • 　　　→　有意水準αで棄却 • モンテカルロ法 • Ω中の表をランダムに生成して, • Σ{Pr[T]：X2<X2(T), T∈Ω} の値を計算する.

  15. main theorem • 提案するMarkov chain の反復回数について,以下の定理を得た. • 定理 • τ(ε)≦(1/2)n(n-1) ln (ndεｰ1） • ε：分布に対する精度 • (正確な定義は後述) • τ(ε): mixing time • (Markov chain の反復回数) • (正確な定義は後述) • N：分割表中の数値の総和 • n, m: 分割表のサイズは{1,2}m×{1,2,...,n} • d=N/(n2m )：セル内の数値の平均

  16. ２元分割表の最近の研究（主にアルゴリズム分野) • 2元分割表(m×n)： • 一様分布： • Diaconis, Saloff-Coste (1995) • poly(N, ln(1/ε))･････(n, mを定数と見なしたとき) • Chung, Graham, Yau (1996) • poly(m, n, N, ln(1/ε))･･･(周辺和が十分大きいとき) • Dyer, Greenhill (2000) • poly(n, lnN, ln(1/ε))･･････････(2×n分割表) • Open problem: ∃? poly(m, n,ln N, ln(1/ε)) • 多項超幾何分布： • Markov chainを用いずにO(N)で perfect sampling 可能 N: セル内の数値の総和

  17. 3元分割表の最近の研究（主にアルゴリズム分野)3元分割表の最近の研究（主にアルゴリズム分野) • 3元分割表(n×m×l)： • Irving, Jerrum (1994) • 周辺和を満たす表の存在判定問題は NP-完全 • Markov 基底の生成： • Diaconis and Strumfels (1998) • グレブナー基底を用いた基底の生成法 • Aoki, Takemura (2002) • 3×3×J の基底の提案 • 多項超幾何分布： • Jerrum, Sinclair, Vigoda (2001) • poly(m,l, ln N, ln(1/ε)) • ････2部グラフの完全マッチングのサンプリング • （２×I×J ,周辺和は0or1の中の更に特殊ケース)

  18. 4. 一様分布を定常分布に持つMarkov chain の提案 an extension of Dyer and Greenhill’s chain[２０００]

  19. ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ ０ ‐１ ０ +１ ０ ０ ０ +１ ０ -１ ０ ０ ０ +１ ０ -１ ０ ０ ０ -１ ０ +１ ０ ０ ０ +１ ０ -１ ０ ０ ０ -１ ０ +１ ０ ０ ０ -１ ０ +１ ０ ０ ０ +１ ０ -１ ０ ０ ２ ４ １ ５ ５ ９ ６ ４ ６ ２ ２ ０ ２ ６ １ ３ ５ ９ ６ ２ ６ ４ ２ ０ ５ ３ ７ ０ ０ ３ ６ ３ ４ ４ ８ ８ ５ １ ７ ２ ０ ３ ６ ５ ４ ２ ８ ８ Markov chain M0 (extension of Diaconis and Saloff-Coste’s chain) • M0: 列{j’, j’’} （j’≠j’’)をランダムに選ぶ 1/2 1/2 推移できないときは, 列選択から再試行

  20. -θ ０ +θ０ ０ ０ +θ ０ -θ０ ０ ０ ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ +θ０ -θ０ ０ ０ -θ ０ +θ０ ０ ０ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ ３ ５ ０ ４ ５ ９ ５ ３ ７ ３ ２ ０ ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ ０ ５ ３ ４ ５ ９ ８ ３ ４ ３ ２ ０ １ ５ ２ ４ ５ ９ ７ ３ ５ ３ ２ ０ ６ ２ ６ １ ０ ３ ５ ４ ５ ３ ８ ８ ４ ２ ８ １ ０ ３ ７ ４ ３ ３ ８ ８ ７ ２ ５ １ ０ ３ ４ ４ ６ ３ ８ ８ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ new Markov chain M1 (extension of Dyer and Greenhill’s chain) • M1: 列{j’, j’’} （j’≠j’’)をランダムに選ぶ θ= 2 -1 1 0

  21. -θ ０ +θ０ ０ ０ +θ ０ -θ０ ０ ０ ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ +θ０ -θ０ ０ ０ -θ ０ +θ０ ０ ０ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ ３ ５ ０ ４ ５ ９ ５ ３ ７ ３ ２ ０ ０ ５ ３ ４ ５ ９ ８ ３ ４ ３ ２ ０ １ ５ ２ ４ ５ ９ ７ ３ ５ ３ ２ ０ ６ ２ ６ １ ０ ３ ５ ４ ５ ３ ８ ８ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ ７ ２ ５ １ ０ ３ ４ ４ ６ ３ ８ ８ ４ ２ ８ １ ０ ３ ７ ４ ３ ３ ８ ８ new Markov chain M1 • M1: 列{j’, j’’} （j’≠j’’)をランダムに選ぶ 1/4 1/4 1/4 1/4

  22. x1 x2 … x6 x7 x8 … x13 … x18 x19 … x24 geometric interpretation • 分割表の集合 • ＝24次元空間中の多面体中の整数格子点 x24 … x4 x3 x2 x1 O

  23. 1/2 1/2 geometric interpretation of M0 • new Markov chain M0 j’ j’’ ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ x24 … x4 x3 x2 x1 O

  24. θ 1/4 1/4 1/4 1/4 geometric interpretation of M1 • new Markov chain M1 j’ j’’ ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ x24 … x4 x3 x2 x1 O

  25. properties of new Markov chain • 提案する Markov chain M1の特徴 • Markov chain M1は, エルゴード的. • finite • a-periodic • irreducible （｛1,2｝m×｛1,2,...,n｝という性質) • 定理 • M1 の 定常分布は, 与えられた分割表全体の集合上の一様分布である. • （証明略）

  26. 3. coupling method[Aldous 1983] Markov chain の mixing time を算定する手法

  27. coupling sample path • 2つのサンプルパスから， 新しいサンプルパスを作る． 状態空間 x y 0 時刻

  28. Markov chainの無記憶性 →yから出発したsample path と同じに見える！ coupling sample path • 2つのサンプルパスから， 新しいサンプルパスを作る． 状態が最初に一致した時点で 他方のsample path に乗り換える 状態空間 x y 0 時刻

  29. coupling sample path • 仮想的にすべての状態からサンプルパスを発生させる． 状態空間 x 0 時刻 パスが一つになった → 初期状態に依存していない． → 定常分布

  30. coupling (definition) • coupling の定義： • 与えられた Markov chain M の coupling • (Ω：Mの状態空間の集合) • 1. Markov chain • 2. 状態空間：Ω×Ω=Ω2 • 3. coupling の推移確率は次を満たす. • ∀ (x , y )∈Ω2, • PM(x, x’)=∑｛P((x, y),(x’, y’)) | y’∈Ω｝ • PM(y, y’)=∑｛P((x, y),(x’, y’)) | x’∈Ω｝ • P((x, y),(x’, y’))：coupling での (x, y)から(x’, y’)への推移確率 • PM(x, x’)：Mにおける x から x’への推移確率

  31. coupling (marginal distribution) • ∀ (x , y )∈Ω2, • PM(x, x’)=∑｛P((x, y),(x’, y’)) | y’∈Ω｝ • PM(y, y’)=∑｛P((x, y),(x’, y’)) | x’∈Ω｝ y∈Ω x∈Ω Ω2

  32. coupling (as a simulation) • 初期状態(x, y)からのcoupling の推移 • =Markov chainM を 異なる初期状態 xとy から推移したときのシミュレーション y∈Ω x∈Ω (x,y)∈Ω2

  33. coupling (初期状態への依存) • 任意の初期状態 (x, y) から， 対角要素 (x’,x’) へcoupling で推移するまでの時間を算定する． • 初期状態に依存しない． y∈Ω x∈Ω x’ (x,y)∈Ω2

  34. coupling (non-trivial coupling) • non-trivial coupling: • case x＝y:Ω*上にMを貼り付ける • P((x, x),(x’, x’)) = PM(x, x’) • P((x, x),(x’, y’)) = 0 (x’≠y’) • case x≠y : • P((x, y),(x’, y’)) = PM(x, x’) PM(y, y’) • とは限らない. • coupling method:上記のような性質を満たす( Mの) coupling の, 吸収的な同値類Ω*=｛(x, x) | x∈Ω｝に吸収されるまでの反復回数を算定して, Markov chain Mの定常分布への収束に必要な反復回数（mixing time） を算定する (詳細略). Ω*

  35. coupling lemma (Aldous) • coupling lemma [Aldous 1983] • M: Ω上のMarkov chain • d(x, y)： x からyへの距離（非負整数） • D：Ωの直径（最遠状態対間の距離) • ∃coupling : 0<∃β< 1, ∀（x, y)∈ Ω2, • （x, y) →（X’, Y’), E[d(X’, Y’)] ≦βd(x, y) • このとき以下が成り立つ • τ（ε) ≦ （1-β）-1 ln(Dε-1) 証明：略（後で path coupling 略証するので, その特殊ケース）

  36. 2. path couplingmethod[Bubley and Dyer 1997] Markov chain の mixing time を算定する手法 coupling method[Aldous 1983]の改訂版 ●アルゴリズムの分野では, Markov chain の mixing time を算定する基本的な方法として定着しつつある

  37. ＝ y y β Y’ x x X’ =Y’ X’ y length on a directed graph x • Ω上に距離を定義する. • 有向グラフG=（Ω, A )： • Ω：頂点集合, A：有向枝集合 • ∀（x, y)∈Ω2， d(x, y)： x からyへの距離 • （G上の有向最短路の距離（距離は枝数)) • ∀ （x,y) ∈Ω2, d(x,y)=0 ⇔ x = y • 0<∃β< 1, ∀（x, y)∈A, • （x, y） →（X’, Y’）, E[d(X’, Y’)] ≦βd(x, y) • （注：（X’, Y’)∈Aである必要は無い.)

  38. ＝ β convergence ratio • 推移によって，距離が0に収束する. • 0<∃β< 1, ∀（x, y)∈A, • （x, y) →（X’, Y’), E[d(X’, Y’)] ≦βd(x, y) y x z D d(x, y) Y’ X’ Z’ βd(x, y) Dβt ＝ε t＝(ln β-1)-1 ln (Dε-1 ) ≦(1-β)-1ln (Dε-1 ) β2d(x, y) ε （β ≒１）

  39. ＝ β path coupling theorem (Bubley and Dyer) • Theorem [Bubley and Dyer 1997] • M: Ω上のMarkov chain • G=(Ω, A )： 有向グラフ（完全とは限らない） • d(x, y)： G上での x からyへの距離(非負整数） • D：Gの直径（最遠頂点対間の距離) • ∃coupling : 0<∃β< 1, ∀（x, y)∈A, • （x, y) →（X’, Y’), E[d(X’, Y’)] ≦βd(x, y) • このとき以下が成り立つ • τ（ε) ≦ （1－β）－1 ln(Dε－1) • τ（ε)：mixing time (次ページで定義)

  40. mixing time • π：Ω→[0,1]：Markov chain Mの定常分布 • π’：Ω→[0,1] ：Ω上の(任意の)確率分布 • DTV(π,π’)=(1/2)∑｛|π(x)-π’（x) |：x∈Ω｝ • total variation • P(t)(y)：Markov chain Mが, 初期状態 x から • x • t 回目の推移で y に到達する確率. • τx（ε）= min｛t：∀s≧t, DTV（π, P(s)）≦ε｝ • x • τ（ε)= max ｛ τx（ε） ：x∈Ω｝：mixing time

  41. y y Y’ x x X’ =Y’ X’ distance • G=(Ω, A )： (x, y)∈A • coupling: 0<∃β< 1, ∀（x, y)∈A, • （x, y) →（X’, Y’), E[d(X’, Y’)] ≦βd(x, y) • （注：（X’, Y’)∈Aである必要は無い.) • 任意の状態対（x, y) から出発して, coupling が推移すると, 状態対の距離は0に収束する. すなわち, Ω*=｛(x, x) | x∈Ω｝ 中に収束する.

  42. Proof (1/2) • 補題： DTV(π,π’)≡(1/2)∑｛|π(x)－π’（x) | ：x∈Ω｝ • ＝max{π（A）－π’（A） ： A⊆Ω} • ただし • π（A）＝∑{π(x)：x∈A}, π’（A）＝∑{π’(x)：x∈A}. • X(t)：初期状態ｘからMarkov chain Mで推移した際の時点ｔ での状態 • Y(t)：初期状態をMの定常分布で選び, 推移した際の時点ｔ での状態（実は定常分布に従う事は明らか） • 時刻t =（1－β）-1 ln(Dε-1)において, • ∀ A⊆Ω, π(A) － Pr[X(t) ∈A] ≦εを示せばよい • （Pr[Y(t) ∈A]－ Pr[X(t) ∈A] ≦εでもよい）

  43. Proof （2/2） • ∀ A⊆Ω, π(A) － Pr[X(t) ∈A] ≦εを示す. • Pr[X(t) ∈A]≧Pr[Y(t) ∈A∧X(t)＝Y(t) ] • ≧Pr[Y(t) ∈A]－Pr[X(t)≠ Y(t) ] • ＝π（A）－Pr[X(t)≠ Y(t) ] • ≧ π（A）－∑ (x’,y’) d(x’,y’)Pr[（X(t),Y(t))=(x’,y’)] • ＝π（A） －E[d(X(t), Y(t) )] • ≧ π（A）－d(x,Y(0))βｔ≧ π（A）－Dβｔ • ≧ π（A）－De－ｔ(1－β)＝ π（A）－De－ln(D / ε) • ＝ π（A）－ε Y(t)の定義 距離の整数性 毎回 β倍 グラフの直径 ln β≦β－1 ln βt≦t (β－1) βt≦e －t (1－β) 時刻t =（1－β）－1 ln(Dε-1)

  44. 1. mixing time 実際に 有向グラフと coupling を作る.

  45. ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ ０ ‐１ ０ +１ ０ ０ ０ +１ ０ -１ ０ ０ ０ +１ ０ -１ ０ ０ ０ -１ ０ +１ ０ ０ ２ ４ １ ５ ５ ９ ６ ４ ６ ２ ２ ０ ５ ３ ７ ０ ０ ３ ６ ３ ４ ４ ８ ８ directed graph • G=(Ω, A )： (x, y)∈A⇔2列での±1で推移可能 x x y y

  46. ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ ３ ５ ０ ４ ５ ９ ５ ３ ７ ３ ２ ０ ０ ５ ３ ４ ５ ９ ８ ３ ４ ３ ２ ０ ¼ ¼ ４ ２ ８ １ ０ ３ ７ ４ ３ ３ ８ ８ ７ ２ ５ １ ０ ３ ４ ４ ６ ３ ８ ８ ¼ ¼ ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ １ ５ ２ ４ ５ ９ ７ ３ ５ ３ ２ ０ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ ６ ２ ６ １ ０ ３ ５ ４ ５ ３ ８ ８ coupling example (case 0) x1 x3 • M1のcoupling ： • case 0: d(x,y)=0 • すなわち x=y のとき. • (x,x) (x1,x1) (x2,x2) • (x3,x3) (x4,x4) x 1/4 x2 x4 x x1 x2 x3 x4 ¼ x x1 x2 x3 x4

  47. x １ ６ １ ４ ５ ９ ７ ２ ６ ３ ２ ０ ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ ６ １ ７ １ ０ ３ ５ ５ ４ ３ ８ ８ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ y coupling (case 0) • G=(Ω, A )： (x, y)∈A⇔M1で推移可能 • case 0 : d(x, y)=0 (x＝y) • case 1 :d(x, y)=1 (x≠y)xとyは2列異なっている • 2列をｘとｙが同じ列から選ぶ • case 2 :d(x, y)=1 (x≠y) • 2列をｘとｙが異なる2列を選ぶ • case 3 :d(x, y)=1 (x≠y) • 2列を、 • 1列はｘとｙが異なる列から、 • 1列はｘとｙが同じ列から選ぶ

  48. x １ ６ １ ４ ５ ９ ７ ２ ６ ３ ２ ０ ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ j’ j’’ ６ １ ７ １ ０ ３ ５ ５ ４ ３ ８ ８ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ y coupling (case 1) • G=(Ω, A )： (x, y)∈A⇔M1で推移可能 • case 0 : d(x, y)=0 (x＝y) • case 1 : d(x, y)=1 (x≠y)xとyは2列異なっている • 2列をｘとｙが同じ列から選ぶ • case 2 : d(x, y)=1 (x≠y) • 2列をｘとｙが異なる2列を選ぶ • case 3 : d(x, y)=1 (x≠y) • 2列を、 • 1列はｘとｙが異なる列から、 • 1列はｘとｙが同じ列から選ぶ

  49. １ ６ １ ４ ５ ９ ７ ２ ６ ３ ２ ０ １ ６ １ ５ ４ ９ ７ ２ ６ ２ ３ ０ １ ６ １ ４ ５ ９ ７ ２ ６ ３ ２ ０ ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ ２ ５ １ ５ ４ ９ ６ ３ ６ ２ ３ ０ ２ ５ １ ４ ５ ９ ６ ３ ６ ３ ２ ０ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ ６ １ ７ １ ０ ３ ５ ５ ４ ３ ８ ８ ６ １ ７ ０ １ ３ ５ ５ ４ ４ ７ ８ ６ １ ７ １ ０ ３ ５ ５ ４ ３ ８ ８ ５ ２ ７ １ ０ ３ ６ ４ ４ ３ ８ ８ ５ ２ ７ ０ １ ３ ６ ４ ４ ４ ７ ８ coupling example (case 1) d(x,y)=1 • { j’,j’’}∩{1,2}=φ ½ ½ x1 x2 x y1 y2 j’ j’’ ½ ½ y ½ ½ (x2, y2) (x1, y1) (x, y) d(x, y) = d(x1, y1) = d(x2, y2) = 1 (距離は変わらない)

  50. y x y1 x1 y2 x2 coupling example (case 1) d(x,y)=1 • { j’,j’’}∩{1,2}=φ ½ ½ (x2, y2) (x1, y1) (x, y) y1 y2 x2 x y x1 ½ ½

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