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四边形（二）

四边形（二）. 扬州市梅岭中学. 余云中. 掌握等腰梯形的性质与识别方法，会运用它们进行有关计算与证明 . 进一步理解平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的关系，运用平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关特征及识别方法进行有关证明及计算。. 一、知识回顾. 二、复习方法. 三、例题精析. 一、知识回顾. 1 、等腰梯形的性质 等腰梯形的对角线相等 等腰梯形的同一底上的两个底角相等 2 、三角形、梯形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

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四边形（二）

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  1. 四边形（二） 扬州市梅岭中学 余云中

  2. 掌握等腰梯形的性质与识别方法，会运用它们进行有关计算与证明.掌握等腰梯形的性质与识别方法，会运用它们进行有关计算与证明. • 进一步理解平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的关系，运用平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关特征及识别方法进行有关证明及计算。

  3. 一、知识回顾 二、复习方法 三、例题精析

  4. 一、知识回顾 • 1、等腰梯形的性质 等腰梯形的对角线相等 等腰梯形的同一底上的两个底角相等 • 2、三角形、梯形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 梯形的中位线平行于上下两底，并且等于上下两底和的一半 注意梯形的中位线是指连结梯形两腰中点的线段而不是连结梯形两底中点的线段。

  5. 二、复习方法 • 1、在解有关梯形问题的计算、证明或作图时，如何利用平行的上下两底呢？我们不能只想到利用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，有时可适当地添加辅助线，充分利用隐含条件解决问题。 • 2、通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想． • 关键：将相关条件相对集中到一个三角形或平行四边形中进行有关计算或证明。

  6. 三、例题精析 • 例1、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C • 求证：AB=DC。

  7. 证法1：过A点作AE∥DC，交BC于E， 这种添辅助线的目的是通过平移把∠B=∠C集中在一个等腰三角形中，再利用其他条件推理，得出结论。

  8. 证法2：分别过A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F。证△ABE≌△DCF(AAS)。这种添辅助线目的是利用两条平行线之间的距离相等，证明两三角形全等。证法2：分别过A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F。证△ABE≌△DCF(AAS)。这种添辅助线目的是利用两条平行线之间的距离相等，证明两三角形全等。

  9. 证法3：延长BA、CD，使它们相交于O点。 ∵∠B=∠C ∴OB=OC ∵AD∥BC ∴∠OAD=∠B，∠ODA=∠C ∴∠OAD=∠ODA ∴OA=OD ∴AB=DC 这种添辅助线的目的是充分利用 梯形上下底平行的条件，推出同 位角相等，再利用等量关系进一 步一推出结论。 除了以上介绍的3种方法外，有关梯形问题中的证明、计算，还可利用对角线、腰的中点添辅助线。

  10. 例2、已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC中点，且AB＋DC=AD。求证：AE⊥ED。例2、已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC中点，且AB＋DC=AD。求证：AE⊥ED。

  11. 例3、已知：梯形ABCD，AB∥DC，AC、BD交于E点。 • 求证：S△AED = S△BEC. 分析：在梯形中，要熟练掌握3对等积形，即S△ADC = S△BDC，S△ABD = S△ABC，这两对分别是同底等高的三角形。还有一对是通过等式的性质推出的等积形，即 S△AED = S△BEC。

  12. 例4、如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C+∠D=90°，E、F为AB、CD的中点．例4、如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C+∠D=90°，E、F为AB、CD的中点． 求证:CD-AB=2EF． • 提示：作EM∥AD交CD于M，EN∥BC交CD于N．利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半． 解决（等腰）梯形问题经常要根据条件添加辅助线，把梯形转化为平行四边形或三角形问题解决，使一些分散的条件适当集中，再进行解答，学习过程中要注意积累．

  13. 例5、将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短.而是如下图的连法最短（即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来），已知图中∠DAE=∠ADE =30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时AB∥EF吗？

  14. 答案：能. • 证明： • ∵四边形ABCD是正方形（已知） • ∴∠DAB=90°（正方形的性质） • ∵∠DAE=30°（已知） • ∴∠EAB=60°（等式性质） • ∵∠AEF=120°（已知） • ∴∠AEF+∠EAB=120°+60°=180°（等式的性质） • ∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）

  15. 例6、（05山东潍坊市实验区）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点A1处，已知 ,AB=1，则点A1的坐标是（ ） A

  16. 例7、（05济南实验区）如图，已知□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F。例7、（05济南实验区）如图，已知□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F。 • ⑴求证：CD＝FA； • ⑵若使∠F＝∠BCF，□ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？ 请你补上这个条件，并进行证明(不要再增添辅助线)。 （1）△CDE≌△FAE （ASA或AAS） （2）BC=2CD

  17. 例8、如图所示，正方形ABCD，E在BC上，AF平分∠EAD交CD于F，求证：AE=BE+DF例8、如图所示，正方形ABCD，E在BC上，AF平分∠EAD交CD于F，求证：AE=BE+DF 提示：延长EB到G，使BG=DF，连结AG．因为∠G+∠GAB=90°；而△AGB≌△AFD 所以∠FAD=∠EAF=∠GAB 所以∠GAE=∠BAF，而∠BAF+∠FAD=90°， 所以∠GAE+∠GAB=90°，所以∠G=∠GAE， 所以GE=AE=BE+DF

  18. 例9、（05枣庄实验）如下左图，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出右图所示的平行四边形。例9、（05枣庄实验）如下左图，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出右图所示的平行四边形。 • (1)求四边形ABCD四个内角的度数； • (2)试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由； • (3)现有左图中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图．

  19. (3)能拼出菱形． • 如图：(拼法不唯一) • 解：(1)如图，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°， • 所以3∠1=360°， • 即∠1=120°． • 所以梯形的上底角均为120°，下底角均为60° • (2)由于EF既是梯形的腰，又是梯形的上底，所以梯形的腰等于上底． 连接MN， 则∠FMN=∠FNM=30°． • 从而∠HMN=30°，∠HNM=90°．所以NH=1/2MH． • 因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长．

  20. 例10、（05山东临沂市实验区）如图（l），已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．例10、（05山东临沂市实验区）如图（l），已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F． (1)求证：OE=OF； (2)如图（2），若点E在AC的延长线上， AM⊥ BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

  21. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形． • ∴ ∠ BOE= ∠ AOF＝900．OB＝OA • 又∵AM⊥BE， • ∴ ∠ MEA+ ∠ MAE＝900= ∠ AFO+ ∠ MAE • ∴ ∠ MEA＝ ∠ AFO ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF • ∴OE=OF (2)OE＝OF成立 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴ ∠BOE= ∠AOF＝900．OB＝OA 又∵AM⊥BE， ∴ ∠F+ ∠MBF＝900= ∠E+ ∠OBE 又∵ ∠MBF＝ ∠OBE ∴ ∠F＝ ∠E ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF（AAS） ∴OE=OF

  22. 梯形中添加辅助线的常见方法有：过顶点作腰或对角线的平行线；作梯形的高；延长梯形的两腰。其目的是把梯形问题转化为三角形或平行四边形的问题，把分散的条件集中起来，然后用三角形或平行四边形等方面的知识解决问题。梯形中添加辅助线的常见方法有：过顶点作腰或对角线的平行线；作梯形的高；延长梯形的两腰。其目的是把梯形问题转化为三角形或平行四边形的问题，把分散的条件集中起来，然后用三角形或平行四边形等方面的知识解决问题。

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