수학의 역사 - 고대의 수학 -

1. 수학의 역사-고대의 수학-

2. 고대의 수학 1. 수학은 어떻게 시작되었는가? • 고대 국가에서의 수학 • 고대 이집트의 수학 • 승려들의 수학 • 셈의 시작 • 등차급수와 등비급수 • 바빌론의 60진법

3. 고대 국가에서의 수학 철학자 프로클로스 (Proclos, A.D. 410~485?) • “현실적인 필요 때문에 기하학을 비롯한 여러 학문이 발전되었으며, 그러기에 불완전한 것에서부터 완전한 것으로 향하는 노력이 이루어지고, 그것을 위한 형식적인 법칙이 성립한다. 또 감각에서 합리적인 판단으로, 더욱 나아가서 순수한 지성(知性)으로…라는 자연스러운 발전의 과정을 볼 수 있는 것이다.” • 학문이 생겨난 이유 : 현실적인 필요 때문에

4. 고대국가에서의 수학 인류가 농경 기술을 획득 ↓ 한 곳에 정착 사회를 이룸 ↓조직화 고대 국가를 형성 • 고대 국가에서의 주요 경제활동 : 농업, 목축 • 농토를 관리, 생산물을 분배, 조정 →측량술, 계산술이 생겨남

5. 고대 이집트의 수학헤르도토스 (herodotos, B.C. 484~425 경) • “…세소스트리스왕은 모든 이집트 사람에게 사각형의 땅을 제비를 뽑아서 분배하고, 그 토지에서의 수확으로 세금을 거두어들였다. 나일강에 대홍수가 일어나 땅이 황폐되면 백성은 왕에게 이 사실을 호소 하였고, 왕은 곧 관리를 시켜 다시 토지를 측량하고 세금을 재조정하였다.” • 나일강의 대홍수 덕분에 상류의 기름진 흙이 쓸려 내려와 같은 장소에서 계속 경작을 하게 됨. 이 대홍수는 축복인 동시에 여러 문제를 일으킴.

6. 고대 이집트의 수학 • 나일강의 범람이 가져온 문제점 • 홍수가 시작될 시기를 정확하게 알아낼 필요 • 홍수가 지나간 다음에 농토 정리의 문제 • 나일강을 다스리기 위한 여러 가지 토목사업, 즉 운하를 파고, 수문을 만들고, 둑을 쌓는 등의 일 • 천문학, 측량술, 계산술 등의 발전

7. 승려들의 수학아메스 파피루스 (Ahmes papyrus) • 기원전 2000년경 이집트의 승려 아메스 (Ahmes)가 엮은 것으로 가로 5m 50cm, 세로 30 cm크기의 파피루스에 85개의 문제가 상형문자로 기록되어 있다. :이것은 당시 승려나 귀족 같은 특권 계층만이 독점하고 있던 지식으로 열람, 수정, 기록 하는 일은 특별한 신분계층인 승려만이 할 수 있었다.

8. 승려들의 수학아메스 파피루스의 내용 • 상형문자에 의한 기수법 (10진법)

9. 승려들의 수학아메스 파피루스의 내용 • 분수의 단위 분수의 합으로서의 표시법 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ━ = ━ + ━ ━ = ━ + ━ ━ = ━ + ━ ... 5 3 15 , 7 4 28, 9 6 18 ▶ 왜 이 같은 표시법을 사용했을까?

10. 승려들의 수학아메스 파피루스의 내용 빵 4덩어리를 5명이 나눈다. 어떻게 나누어야 가장 공평할까? (답1) 4개의 빵에서 4명이 각자 4/5 만큼을 떼어가고 나머 지 한 명에게는 남은 1/5의 빵 조각 4개를 준다. (답2) 4개의 빵에서 각각 1/2만큼과 1/5만큼 그리고 1/10 만큼씩 가져간다.

11. 승려들의 수학아메스 파피루스의 내용 • 분수의 단위 분수의 합으로서의 표시법 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ━ = ━ + ━ ━ = ━ + ━ ━ = ━ + ━ ... 5 3 15 , 7 4 28, 9 6 18 ▶ 왜 이 같은 표시법을 사용했을까? :재산, 토지 등을 공평하게 나누어 갖기 위해 이와 같은 표시법을 사용했음을 추측해 볼 수 있다.

12. 승려들의 수학아메스 파피루스의 내용 • 승제의 계산법 1) 12 X 12 = 144 2) 4 ÷ 15 = 1/5 + 1/15 1 … 12 1 … 15 2 … 24 1/10 … 3/2 4 … 48 1/5 … 3 8 … 96 1/15 … 1 ━━━━━━━ ━━━━━━━━━ 12 … 144 1/5+1/15 … 4

13. 승려들의 수학아메스 파피루스의 내용 • 직각 3각형의 변의 비 3 : 4 : 5 (경험적) →아메스 파피루스가 B.C. 2000년경에 쓰여졌으니 피타고라스보다 훨씬 앞서 직각을 만드는 법을 알고 있었다고 추측해 볼 수 있음.

14. 승려들의 수학아메스 파피루스의 내용 • 면적의 계산 1) 2등변 삼각형의 면적 2) 원의 면적 (반지름r, d=2r) s-(d-1/9d)² = 256/81 r² ㅠ≒3.1604 • 각추대의 체적 V=h/3(a²+ ab + b²) b =½ah h a

15. 승려들의 수학아메스 파피루스의 내용 • 등차급수와 등비급수 • 등차급수 a, a+d, a+2d, … ,a+(n-2)d, a+(n-1)d 초항이 a, 공차가 d 인 등차수열을 n항까지 더한 합 s=½n{2a+(n-1)d} • 등비급수 a, ar, ar², … , ar , ar 초항이 a, 공비가r인 등비수열을 n항까지 더한 합 r=1이면 s=na, r≠1이면 s=a(1-r )/1-r n-2 n-1 n

16. 셈의 시작수에 대한 가장 오래된 기록 • B.C. 3500년 : 남아프리카 스와질랜드에서 발견된 비비의 종아리뼈에는 누군가가 그어놓은 선명한 금이 29개 남아있다. • B.C. 3000년 : 체코에서 발견된 늑대 넓적다리뼈에는 다섯개씩 묶인 금이 둘로 나누어져 그어져 있다.

17. 셈의 시작10진법의 쓰임 • 10진법 : 인류가 문명을 일으킨 곳마다 예외 없이 사용 되었던 셈법이다. • 10진법이 가장 많이 쓰인 이유 : 인간의 손가락이 10개 이기 때문 (손가락 셈) • 10진법 미만의 셈을 하였던 사람들은 손가락을 쓰지 않고 셈을 했다고 볼 수 있다. • “손가락 셈을 하였는지의 여부는 바로 문명과 미개의 분수령이 된다.” • 이렇게 말할 정도로 이 ‘기술’(손가락 셈’은 대단히 중요한 역사적 의미가 있다.

18. 셈의 시작고대 여러 국가의 수 • 이집트의 숫자 • 바빌론의 숫자 • 그리스의 숫자

19. 6 5 4 3 2 1 바빌론의 60진법60진법에 대한 가설 • 60진법이 쓰인 이유에 대한 가설 • 10진법을 쓰는 부족과 6진법을 쓰는 부족이 만나 이를 합쳐 60진법을 쓰게 되었다. • 60이 소수가 가장 많은 수이기 때문이다. • 천문학적인 이유 때문이다. 바빌로니아에서 발견된 여러 가지 기록을 살펴 보면, 하나의 원 에서 그 반지름의 길이로 원 둘레를 잘라가면 정확히 6등분 된다. 지평선 원을 1로 놓고 별이 3번 자리에 있을 때의 별의 위치는 전체의 1/12의 자리가 된다. 이것을 10진법으로 나타내면 0.0833…무리수가 된다. 그러나 60진법으로 나타내면 ; 5 로 나타낼 수 있다. (즉, 소수가 많은 60진법을 사용하여 무리수의 표현을 더욱 용이하게 함.)

20. 바빌론의 60진법사각형의 대각선의 길이 • 옛바빌로니아 지방에서 근래에 발견된 점토판

21. 바빌론의 60진법사각형의 대각선의 길이 • 먼저 위에 쓰여진 수를 10진법으로 나타내 보자. 1 ; 24, 51, 10 =1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ =1 + 0.4 + 0.01416667 + 0.0000463 =1.41421297 즉! √2의 근사값임을 알 수 있다.

22. 바빌론의 60진법사각형의 대각선의 길이 • 앞에서 나온 값을 대입하여 점토판에 그려진 한 변의 길이가 30인 정사각형의 대각선의 길이를 구해보자. (대각선의 길이 d) d= √2 × 30 ≒(1 ; 24, 51, 10) × 30 = (30 ; 720, 1530, 300) = 30 + 720/60 + 1530/60² + 300/60³ = 30 + 12 + 25.5/60 + 5/60² = 42 + 25/60 + 0.5/60(30/60²) + 5/60² = 42 + 25/60 + 35/60² = (42 ; 25, 35) 이로 미루어 보아 바빌로니아 인은 그들 나름대로√2라는 무리수를 다루었으며 피타고라스보다 훨씬 앞서 사각형 대각선의 길이를 구할 수 있었음을 알 수 있다.