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第三节 函数的极限

第三节 函数的极限. 教学目的： 函数极限 教学重点： 极限运算 教学难点： 特殊极限. 函数极限. 函数无穷小量. 函数极限. ０. X. 数列极限的定义. 数列跳跃趋近. 函数极限的定义. 函数连续趋近. 函数极限. 这时候该如何定义极限. 呢？. X. ０. 函数极限与数列极限也有不同处. 函数极限的定义. 函数极限. -X. X. ０. 函数极限的定义. 邻域. a+ . a - . a. 为了定义函数在某点的极限，必须了解邻域. 心. 半径.

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第三节 函数的极限

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Presentation Transcript

  1. 第三节 函数的极限 • 教学目的：函数极限 • 教学重点：极限运算 • 教学难点：特殊极限

  2. 函数极限

  3. 函数无穷小量

  4. 函数极限 ０ X 数列极限的定义 数列跳跃趋近 函数极限的定义 函数连续趋近

  5. 函数极限 这时候该如何定义极限 呢？ X ０ 函数极限与数列极限也有不同处 函数极限的定义

  6. 函数极限 -X X ０ 函数极限的定义

  7. 邻域 a+ a- a 为了定义函数在某点的极限，必须了解邻域 心 半径 称区间(a-,a+)为点a的邻域，记做Ｕ（a,） 称Ｕ（a,）去掉点a后的集合为点a的去心邻域 记做Ｕ０（a,） 如果用衡量点a的邻域的大小，则没有最大的 邻域，也没有最小的邻域

  8. 邻域 a+ a- a 邻域使数轴分为内外两部分 向外可以无限逼近正无穷大和负无穷大 向内可以无限逼近点a,从左边和右边 邻域就是用来刻画向内逼近某点的

  9. 函数极限 函数极限的定义 函数极限的定义 -X -X X X ０ x0

  10. 函数单侧极限 函数极限的定义 函数极限的定义 X X ０ x0

  11. 函数单侧极限 X X 0 x0 函数极限的定义 函数极限的定义

  12. 函数极限性质 函数极限的唯一性和数列的完全类似 函数极限运算性质和数列的完全类似 函数极限的保序性和数列的完全类似,从而 函数极限的两边夹准则和数列的完全类似

  13. 函数极限保序性 定理(保序性) 推论

  14. 函数极限保号性 定理(保号性) 推论

  15. 函数极限与数列极限 定义 定理

  16. 函数极限与数列极限 证

  17. 极限四则运算

  18. 极限泛四则运算 泛四则比四则用起来要便利得多,它容忍未知极限

  19. 例题 例 指数函数部分一看就有极限，且不为０，根据极限泛运算法则，不管后面部分是否存在极限，可以分成两部分求极限．

  20. 商的极限(*/0型) 商的极限(*/0)

  21. 例题 例1 解

  22. 例题 例2 解

  23. 例题 例3 解 (消去零因子法)

  24. 例题 例4 解 (无穷小因子分出法)

  25. 例题 例6 解

  26. 例题 例7 解 左右极限存在且相等,

  27. 例题 例8 解

  28. 函数无穷小量 以0为极限的函数称为无穷小量 两个无穷小量的加减乘运算结果仍是无穷小量： 有界量和无穷小量的乘积仍是无穷小量

  29. 无穷小阶

  30. 等价无穷小量 常用等价无穷小:

  31. 无穷大量

  32. 例题 例9 解

  33. 例题 例10 解

  34. 例题 例11 解

  35. 例题 例12 解 注意 不能滥用等价无穷小代换.

  36. 例题 例13 错 解 解

  37. 例题 例14 解

  38. 函数无穷小运算封闭性 两个无穷小量的加减乘运算结果仍是无穷小量 这种运算不变性称为运算封闭性，即 无穷小量关于加减乘运算是封闭的 又如两个任意正数之和与积是任意正数 我们说任意正数关于加乘运算是封闭的

  39. 函数无穷小运算封闭性 证： 由定义，

  40. 函数无穷小运算封闭性 证： 由定义，

  41. 函数无穷小保号性 证:

  42. 函数无穷小两边夹准则 的极限存在, 且 那末数列 取 则 证: 由无穷小量定义 故 即

  43. 函数无穷小的有界性 证: 设 xx0时,函数无穷小量必在x0的某个邻域里有界 由函数无穷小量定义 命题显然成立

  44. 函数特殊无穷小量

  45. 函数极限唯一性 若函数有极限，则极限是唯一的 证： 上式左边为非零常数，右边为无穷小量 等式不可能成立，故数列极限必须是唯一的

  46. 函数极限两边夹准则 如果 满足下列条件: 那末数列 的极限存在, 且 证: .

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