第六章 线性反馈系统的状态空间综合

1. 第六章 线性反馈系统的状态空间综合 • 已知受控系统结构参数及期望的系统运动形式或特征，确定施加于受控系统的控制规律与参数，称为综合。当系统以状态空间描述以后，系统的状态含有系统的全部运动信息，若将控制信号设计为状态与参考信号的函数形成闭环控制，便可得到相当好的控制效果。无论在抗扰动或抗参数变动方面，反馈系统的性能都远优于非反馈系统。

2. 在本章中，将主要讨论在不同形式的性能指标下线性定常系统的反馈控制规律的综合方法，包括建立可综合的条件及建立控制规律及其算法。在本章中，将主要讨论在不同形式的性能指标下线性定常系统的反馈控制规律的综合方法，包括建立可综合的条件及建立控制规律及其算法。 • 综合问题中的性能指标可区分为非优化型性能指标和优化型性能指标两种类型，它们都规定着综合所得系统运动过程的期望性能。两者的差别是：非优化指标是一类不等式型的指标，即只要性能值达到或好于期望指标就算实现了综合的目标；

3. 优化型指标则是一类极值型指标，综合目的是要使性能指标在所有可能值中取极值。本章讨论的综合问题主要涉及的是非优化型指标，它们可能以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，讨论极点配置问题。系统运动的状态也即其动态性能，主要是由系统的极点位置所决定。把闭环极点组配置到所希望的位置上，实际上等价于使综合得到的系统的动态性能达到期望的要求。优化型指标则是一类极值型指标，综合目的是要使性能指标在所有可能值中取极值。本章讨论的综合问题主要涉及的是非优化型指标，它们可能以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，讨论极点配置问题。系统运动的状态也即其动态性能，主要是由系统的极点位置所决定。把闭环极点组配置到所希望的位置上，实际上等价于使综合得到的系统的动态性能达到期望的要求。 • 以渐近稳定作为性能指标，主要讨论各种反馈结构对系统稳定性的影响。

4. 以使一个“多输入——多输出”系统实现“一个输入只控制相应的某个输出”作为性能指标，其相应的综合问题即为解耦控制问题。以使一个“多输入——多输出”系统实现“一个输入只控制相应的某个输出”作为性能指标，其相应的综合问题即为解耦控制问题。 • 还有在各种扰动作用下无静差地跟踪参考指令的性能指标，其相应的综合问题为鲁棒控制问题（留在下一章专门讨论）。 • 本章最后讨论状态观测器。在状态反馈中，假定所有状态变量如输出量一样是可以得到的。实际上，这一假定通常是不成立的。

5. 因此，若我们要实现状态反馈，则必须根据可利用的信息来产生状态向量估值。这种建立近似状态向量的装置即为状态观测器。状态观测器理论的建立，拓宽了状态反馈综合方法的应用范围。因此，若我们要实现状态反馈，则必须根据可利用的信息来产生状态向量估值。这种建立近似状态向量的装置即为状态观测器。状态观测器理论的建立，拓宽了状态反馈综合方法的应用范围。

6. § 6.1 常用的反馈结构及其对系统特性的影响§ 6.2 单输入-单输出系统的极点配置 • § 6.3 多输入-多输出传统的极点配置 • § 6.4 解耦控制 • § 6.5 状态观测器

7. 6.1 常用的反馈结构及其对系统特性的影响 • 无论是在经典控制理论还是在现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式。但由于经典控制理论是用传递函数来描述的，因此它只能以输出量作为反馈量。而现代控制理论由于是采用系统内部的状态变量来描述系统的物理特性，因而除了输出反馈外，还可采用状态反馈这种新的控制方式。

8. 一、两种反馈结构 • 1. 状态反馈 • 设有n维线性定常系统 • (6.1) • 式中 分别为n维、p维和q维向量， 分别为 阶实矩阵。 • 由式可画出该系统结构图如图6-1(a)所示。

9. 图6-1(a) 系统结构图

10. 在这里，我们研究形如 的线性状态反馈对原线性定常动态方程的影响。其中v为p维系统参考输入向量，K是 反馈增益矩阵。按要求，K应为实矩阵。在研究状态反馈时，我们默认了这样一个假定，即所有的状态变量都是可以用来反馈的。 • 因此，当将系统的控制量u取为状态变量x的线性函数 • (6.2)

11. 时，称其为线性的直接状态反馈，简称状态反馈。由式(6.1)与式(6.2)可以得出加入状态反馈后系统结构图如图6-1(b)所示，将式代入式可得状态反馈系统动态方程为时，称其为线性的直接状态反馈，简称状态反馈。由式(6.1)与式(6.2)可以得出加入状态反馈后系统结构图如图6-1(b)所示，将式代入式可得状态反馈系统动态方程为 • (6.3) • 其传递函数矩阵可表示为 • (6.4)

12. 图6-1(b) 加入状态反馈后的结构图

13. 因此可用系统 来表示引入状态反馈后的闭环系统。而从式可以看出输出方程则没有变化。 • 2. 输出反馈 • 系统的状态常常不能全部测量到，状态反馈方法就有一定的工程限制，在此情况下，人们常常采用输出反馈方法。输出反馈的目的首先是使闭环成为稳定系统，然后在此基础上进一步改善闭环系统的性能。

14. 当把线性定常系统的控制量u取为输出y的线性函数当把线性定常系统的控制量u取为输出y的线性函数 • (6.5) • 时，相应的称为线性非动态输出反馈，简称为输出反馈。 • 加入输出反馈后系统的结构图如图6-2所示。

15. 图6-2 输出反馈系统

16. 由式(6.1)和式(6.5)可导出输出反馈的状态空间描述为由式(6.1)和式(6.5)可导出输出反馈的状态空间描述为 • (6.6) • 其传递函数矩阵则为： • (6.7) • 不难看出，不管是状态反馈还是输出反馈，都可以改变状态的系数矩阵。但这并不是说，两者具有等同的性能。

17. 由于状态能完整地表征系统的动态行为，因而利用状态反馈时，其信息量大而完整，可在不增加系统的维数的情况下，自由地支配响应特性；而输出反馈仅利用了状态变量的线性组合来进行反馈，其信息量便较小，所引入的串、并联补偿装置将使系统维数增加，且难于得到任意期望的响应特性。一个输出反馈系统的性能，定有对应的状态反馈系统与之等同，这时只需令 ，确定状态反馈增益矩阵是方便的；

18. 但是，一个状态反馈系统的性能，却不一定有对应的输出反馈系统与之等同，这是由于令 来确定 的解时，或者形式上过于复杂而不易实现，或者 阵含有高阶导数项而不能实现，或对于非最小相位的受控对象，如含有右极点，而选择了右校正零点来加以对消时，便会潜藏有不稳定的隐患。不过，输出反馈所用的输出变量总是容易测得的，因而实现是方便的；而有些状态变量不便测量或不能测量，需要重构，给实现带来麻烦是需要克服的障碍。

19. 通过引入状态观测器，利用原系统的可测量变量 和 作为其输入以获得x的重构量 ，并以此来实现状态反馈（图6-3）。有关状态观测器和带有状态观测器的状态反馈系统的分析和综合问题，将在本章的最后几节中研究。

20. 图6-3 利用观测器来实现状态反馈

21. 二、反馈结构对系统特性的影响 • 由于反馈引入后，系统状态的系数矩阵有了变化，对系统的能控性、能观测性、系统的稳定性、系统的响应等都有影响。本节我们将研究反馈对能控性、能观测性，稳定性的影响及对闭环极点位置的影响问题。 • 1. 对能控性与能观测性的影响 • 对此，有如下两个结论。

22. 结论1 状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。 • 证 设受控系统 的动态方程为 • 则由 状态反馈后的系统 的动态方程为 • 首先证明：状态反馈系统 为能控的充分必要条件是受控系统 为能控。

23. 表示 和 的能控性判别阵分别为 • 和 • 由于 • 式中 为列向量。将K表为行向量组 ，即

24. 令式中 均为标量， • 故

25. 该式表明 的列是 的列的线性组合。同理有 的列是 的线性组合，如此等等。故 的每一列均可表为 的列的线性组合，由此可得 • （6.8） • 另一方面， 又可以看成为 的状态反馈系统，即 • 所以，同理可得下式 • （6.9）

26. 由式（6.8）和式（6.9）可导出 • 从而 能控，当且仅当 能控。 • 再来证明状态反馈系统不一定能保持能观测性。对此只需举反例说明，设为 能观测的，但 不一定为能观测。如考察系统

27. 其能观测性判别阵 • 满足 ，故 为能观测。现引入状态反馈，取 ，则状态反馈系统为

28. 其能观测性判别阵 • 显然有 ，故 为不完全能观测。而若取 ，则通过计算可知， 为能观测的。从而表明状态反馈可能改变系统的能观测性，这是由于人为地使配置极点和零点相对消造成的。

29. 结论2 输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性，即输出反馈系统 为能控（能观测）的充分必要条件是受控系统 为能控（能观测）。 • 证 首先，由于对任一输出反馈系统都可找到一个等价的状态反馈系统 ,而已知状态反馈可保持能控性，从而证明输出反馈的引入不改变系统的能控性。

30. 其次，表示 和 的能观测判别阵分别为： • 和 • 由于 ， ,

31. 式中 为行向量。将F表示为列向量组 ，即 • 则

32. 令式中 ， 为标量，该式表明 的行是 的行的线性组合。同理有 的行是 的行的线性组合，如此等等。故 的每一行均可表示为 的行的线性组合，由此可得 • (6.10) • 进而，可把 看成 的反馈系统，又有

33. （6.11） • 从而，由式（6.10）和（6.11）即得 • 这表明输出反馈克保持能观测性。证毕。

34. 2.稳定性与镇定 • 状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性。加入反馈，使得通过反馈构成的闭环系统成为稳定系统，就称为镇定。鉴于状态反馈的优越性，这里只讨论状态反馈的镇定问题。对于线性定常受控系统 • 如果可以找到状态反馈控制律 • 为参考输入

35. 使得通过反馈构成的闭环系统 • 是渐近稳定的，也即其特征值均具有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定。在镇定问题中，综合的目标不是要是闭环系统的极点严格地配置到任意指定的一组位置上，而是使其配置于复数平面的左半开平面上，因此这类问题属于极点区域配置问题，是指定极点配置的一类特殊情况。利用这一点，可以很容易导出镇定问题的相应结论。

36. 依据极点配置的基本定理可知，如果系统 为能控，则必存在状态反馈增益矩阵K，使得 的全部特征值配置到任意指定的位置上。当然，这也包含了使 。因此， 为能控是系统可由状态反馈实现镇定的充分条件。状态反馈镇定的充分必要条件由下述结论给出。 • 结论 线性定常系统是由主题反馈可镇定的，当且仅当其不能控部分是渐近稳定的。

37. 证明 由 为不完全能控，则必可对其引入线性非奇异变换而进行结构分解： • 并且对任意 可导出

38. 但知 为能控，故必存在 ，使 的特征值具有负实部，而状态反馈对不能控子系统的极点毫无影响。从而即知，欲使 的特征值均具有负实部，也就是上述系统由状态反馈可镇定的充分必要条件是：不能控部分 的特征值均具有负实部。证毕。

39. 3.极点配置问题 • 当反馈形式确定以后，极点配置问题就是依据希望的指定极点位置来计算反馈增益矩阵的问题。对于状态反馈而言，单输入系统的、反馈增益是唯一的，而多输入系统的反馈增益阵不唯一；但无论是单输入或多输入系统，只要系统完全能控，则系统的极点可以实现任意配置。关于状态反馈的极点配置问题将在6.2、6.3节中详细介绍。

40. 6.2 单输入-单输出系统的极点配置 • 由于一个系统的性能和它的极点位置密切相关，因此极点配置问题在系统设计中是很重要的。这里，需要解决两个问题：一个是建立极点可配置条件，也就是给出受控系统可以利用双腿反馈而任意配置其闭环极点所应遵循的条件：另一个是确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。

41. 一.极点可配置条件 • 我们来给出利用状态反馈的极点可配置条件，应该说明的是，该条件既适于单输入-单输出系统，又适于多输入-多输出系统。 • 定理 设受控系统状态方程为 • （6.12） • 要通过状态反馈的方法，使闭环系统的极点位于预先规定的位置上，其充分必要条件是系统（6.12）完全能控。

42. 证明 下面就单输入-多输出系统的情况证明本定理。这时式（6.12）中B的为一列，记为b。 • 先证充分性。考虑到一个单输入能控系统通过 的坐标变换可换成能控规范型 • 式中

44. 即 , 在单输入情况下，引入下述状态反馈， • 其中 ，则引入状态反馈向量 后状态反馈构成的闭环系统状态阵为

45. （6.13） • 对于式（6.13）这种特殊形式的矩阵，很容易写出其闭环特征方程

46. 由上式可见，n阶特征方程中的n个系数，可通过 来独立地设置，也就是说 的特征值可以任意选择，既系统的极点可以任意配合着。 • 再证必要性。如果系统 不能控，就数码系统的有些状态将不受u的控制。显然引入反馈时，企图通过控制量u来影响不能控的极点将是不可能的。

47. 至此，证明完毕。 • 考虑到实际问题中几乎所有的系统都是能控的，因此通常总可以利用状态反馈来控制系统的特征值即振型，而这正是状态反馈的重要特征之一。

48. 二.单输入-单输出系统的极点配置算法 • 需要解决的是状态反馈增益矩阵的问题。这里给出一种规范算法。 • 给定能控矩阵对 和一组期望的闭环特征值 ,要确定 维的反馈增益矩阵，使 成立。 • 第1步：计算A的特征多项式，即

49. 第2步：计算由 所决定的希望特征多项式，即第2步：计算由 所决定的希望特征多项式，即 • 第3步：计算

50. 第4步：计算变换矩阵 • 第5步：求P； • 第6步：所求的增益阵