Kužeľosečky

1. Kužeľosečky

2. Úvod • Kužeľosečky očami laika • Režeme kužeľ • Kužeľosečky okolo nás • Kružnica • Odvodenie rovnice kružnice • Priamka a kružnica • Elipsa • Odvodenie rovnice elipsy • Polohy elipsy • Dotyčnica elipsy • Hyperbola • Odvodenie rovnice hyperboly • Polohy hyperboly • Dotyčnica hyperboly • Parabola • Odvodenie rovnice paraboly • Polohy paraboly • Dotyčnica paraboly • Záver – zdroje materiálov, autori Menu

3. KUŽEĽOSEČKY OČAMI LAIKA Po elipsu či kružnicu dokonca stačí zájsť do najbližšej chladničky! Vyberme si napríklad nejakú salámu a pokúsme na narezať zopár plátkov. Ak krájame kolmé rezy, získame okrúhle plátky, plátky s kruhovou plochou. Šikmým rezom získame podlhovasté plátky, ktoré, napriek tomu, že sme krájali z tej istej salámy, sú väčšie než kruh. Čiaru, ktorá ich ohraničuje nazývame elipsou.  S elipsou sa stretneme pri mnohých iných príležitostiach. Vezmite pohár a naplňte ho asi do  polovice vodou. Ak pohár stojí na stole, hladina  tvorí kruh. Keď pohár trošku nakloníte, z kružnice sa stane elipsa. Ak použijete na pozorovanie veľmi úzku nádobu, napríklad laboratórnu skúmavku,  uvidíte, že existujú i veľmi úzke elipsy.  Elipsu vidíme veľmi často. Vlastne vždy, keď  sa na kružnicu dívame šikmo. Všimnite si pri najbližšej príležitosti tanier na vedľajšom stole, alebo pozorujte niekedy cyklistu ( prípadne cyklistku ) z okna.  Menu

4. Kružnica- dostaneme ju tak, že budeme kužeľ rezať rovinou kolmou na os kužeľa. Parabola- pri ďalšom nakláňaní roviny sa nám rez náhle "otvorí", dostali s me parabolu. ( rovina je rovnobežná s povrchovou priamkou kužeľovej plochy ) Hyperbola- stačí len malé vychýlenie roviny a rez bude dvojdielny,pretože rovina v tejto polohe pretne obidva kužele. • Všetky známe kužeľosečky ( regulárne kužeľosečky ) možno vyrobiť zrezávaním 2 kužeľov, ktoré sú spojené vo vrchole a sú nekonečné. Elipsa- dostaneme ju, keď túto rovinu trošku nakloníme. Menu

5. KUŽEĽOSEČKY OKOLO NÁS Predstavte si elipsu, ktorej ohniská sú od seba vzdialené 15 m. Okolo tejto elipsy postavíme 2 m vysoké a príslušne zaokrúhlené zrkadlá, ktorých zrkadlové plochy smerujú dovnútra takto vzniknutého eliptického valca. Keby teraz stála v každom ohnisku jedna osoba, budú sa obe osoby vidieť stále bez ohľadu na smer, ktorým sa dívajú. Všetky svetelné lúče vychádzajúce z jedného ohniska sa totiž odrážajú tak, že smerujú do druhého ohniska. To, čo platí o svetelných lúčoch platí prirodzene aj o zvuku.  Ak čosi šepkáme v jednom ohnisku elipsy,v druhom ohnisku je to celkom dobre počuť, čo by pri tejto vzdialenosti nebolo inak možné. Kedysi sa podobným spôsobom sadili a strihali kroviny a v ohniskách takto vytvorenej elipsy sa umiestňovali lavičky. Elipsa pritom nemusela byť úplná - stačilo iba niekoľko oblúkov, aby hovor na jednej lavičke bol zrozumiteľný i pre tých, ktorí sedeli na druhej lavičke. S podobnými javmi sa stretávame i v kopulovitých stavbách niektorých zámkov a kostolov. Potom hovoríme o takzvaných šepkajúcich galériách. Menu

6. S elipsou sa stretávame ešte v jednej súvislosti, kde tiež zohráva veľmi dôležitú úlohu. Naša Zem sa pohybuje okolo Slnka. Jeden obeh jej trvá práve jeden rok. Dráha, ktorú Zem za rok prebehne, má tvar elipsy. Táto elipsa je však priveľmi "tlstá" a od kružnice sa lísi len veľmi málo. Najmenšia vzdialenosť Zeme od Slnka je 147,1 miliónov km, najväčšia 152,1 miliónov km. I keď rozdiel piatich miliónov km je sám o sebe značný, v pomere k obidvom vzdialenostiam je skoro zanedbateľný.                                                              Eliptickú dráhu Zeme okolo Slnka objavil pred viac ako tristo rokmi slávny matematik a astronóm Ján Kepler. Objavil aj to, že Zem obieha tým rýchlejšie, čím je bližšie k Slnku. A to, čo platí pre pohyb Zeme, platí aj pre všetky ostatné planéty obiehajúce okolo Slnka. Napríklad planéta Merkúr, ktorá je v našej planetárnej sústave najbližšie k Slnku, sa pohyhuje po elipse, pričom najväčšia vzdialenosť od Slnka je jedenapolkrát väčšia ako vzdialenosť najmenšia.             Ešte výraznejší je elipsovitý tvar dráhy niektorých družíc. Ako umelé nebeské telesá sa musia riadiť rovnakými zákonmi ako planéty, len s tým rozdielom, že sa pohybujú okolo Zeme. V jednom ohnisku ich elipsovitej dráhy je Zem. Tu sú vzdialenosti samozrejme kratšie než pri planétach slnečnej sústavy.             Už ste presvedčení, že kužeľosečky sú všade okolo nás ? Menu

7. Kružnica je množina všetkýchbodov v rovine, ktorých vzdialenosť od pevného bodu, ktorý nazývame stred, je konštantná a je rovná polomeru. Kružnica Menu

8. Odvodenie rovnice kružnice Menu

9. Priamka a kružnica T[x0,y0] Menu

10. Elipsa Elipsa je množina všetkýchbodov v rovine, ktorých súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov, ktoré nazývame ohniská, je konštantný a je rovný dĺžke hlavnej osi elipsy. Elipsa má dve osi, hlavnú a vedľajšiu, ktorých priesečník je stred elipsy. Hlavnou osou elipsy nazývame tú, ktorá je dlhšia, vedľajšoukratšiu z nich. Ohniská označujeme F1 a F2, ležia na hlavnej osi, súrovnako vzdialené od stredu elipsya vzdialenosť ktoréhokoľvek z nich od stredu sanazýva excentricita. Označuje sae. Polovicu dĺžky hlavnej osi označujemea a polovicu vedľajšej osib. Menu

11. AKO SKONŠTRUOVAŤ ELIPSU... Záhradnícka metóda: 1. do zeme zapichneme dva kolíky, ktoré predstavujú ohniská elipsy ( tj ich vzdialenosť je 2e) 2. na kolíky pripevníme špagát dĺžky 2a 3. vezmeme tretí kolík, pomocou neho napneme špagát a pohybujeme ním: všetky miesta, ktoré kolíkom na zemi     označíme sú bodmi elipsy Menu

12. Odvodenie rovnice elipsy F1[-e; 0], F2[e; 0]. P[x; y] Menu

13. Menu

14. x2(a2-e2)+a2y2=a2(a2-e2) • x2 [a2 - (a2 - b2)] + a2y2 = a2[a2 - (a2 - b2)] • x2 [a2 - a2 + b2] + a2y2 = a2 [a2 - a2 + b2] • x2b2 + a2y2 = a2b2 /:a2b2 e2 = a2 - b2 Menu

15. Polohy elipsy Elipsa môže mať rôzne polohy. Budeme sa zaoberať len elipsami v rovine ktorých osi ležia na osiach x a y, alebo sú s nimi rovnobežné. Menu

16. Rovnica dotyčnice ku elipse T[x0,y0] Definícia: Priamka p je dotyčnica k elipse ak má s ňou spoločný jediný bod a všetky ostatné body priamky p sú vonkajšími bodmi elipsy. Menu

17. Hyperbola Hyperbola je množina všetkých bodov v rovine, ktorých absolútna hodnota rozdielu vzdialeností od dvoch pevných bodov, ktoré nazývame ohniská, je konštantná a je rovná dĺžke hlavnej osi elipsy. Hyperbola má tak ako elipsa dve osi, hlavnú a vedľajšiu, ktorých priesečník je stred hyperboly. Hlavnou osou hyperboly nazývame tú, ktorá je dlhšia a vedľajšou kratšiu z nich. Ohniská označujeme F1 a F2. Ležia na hlavnej osi, sú rovnako vzdialené od stredu hyperboly a vzdialenosť ktoréhokoľvek z nich od stredu sa nazýva excentricita- e.Polovicu dĺžky hlavnej osi označujeme a a polovicu vedľajšej osi b. Menu

18. Odvodenie rovnice hyperboly F1[-e; 0], F2[e; 0]. P[x; y] Menu

19. Menu

20. Polohy hyperboly Menu

21. Rovnica dotyčnice k hyperbole Definícia: Priamka p je dotyčnica ku hyperbole ak más ňou spoločný jediný bod a všetky ostatné body priamky p sú vonkajšími bodmi hyperboly. Menu

22. Parabola Parabola je množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od priamky d a bodu F rovnakú vzdialenosť. Bod F sa nazýva ohnisko, d je riadiaca (direkčná) priamka paraboly. Os paraboly tvorí priamka prechádzajúca bodom F kolmá na riadiacu priamku. Vrchol paraboly V sa nachádza v strede medzi ohniskom a priesečníkom riadiacej priamky s osou paraboly. Menu

23. Odvodenie rovnice paraboly P: y2 = 2px Menu

24. Polohy paraboly Menu

25. Menu

26. Rovnica dotyčnice k parabole Definícia: Priamka p je dotyčnica k parabole ak más ňou spoločný jediný bod a všetky ostatné body priamky p sú vonkajšími bodmi paraboly. Menu