第一篇电阻电路

第一篇电阻电路

第一章基本概念和基本规律 1.1电路和电路模型 • 电路（electric circuit）是由电气器件互连而成的电的通路。 • 模型（model）是任何客观事物的理想化表示，是对客观事物的主要性能和变化规律的一种抽象。 • 电路理论（circuit theory）为了定量研究电路的电气性能，将组成实际电路的电气器件在一定条件下按其主要电磁性质加以理想化，从而得到一系列理想化元件，如电阻元件、电容元件和电感元件等。

由于没有任何一种实际器件只呈现一种电磁性质，而能把其它电磁性质排除在外，所以器件建模是有条件的，一种近似表示只有在一定的条件下适用，条件变了，电路模型的形式也要作相应的改变。由于没有任何一种实际器件只呈现一种电磁性质，而能把其它电磁性质排除在外，所以器件建模是有条件的，一种近似表示只有在一定的条件下适用，条件变了，电路模型的形式也要作相应的改变。如：不同工作频率下的电阻模型 • 电路分析（circuit analysis），就是对由理想元件组成的电路模型的分析。虽然分析结果仅是实际电路的近似值，但它是判断实际电路电气性能和指导电路设计的重要依据。

电路集中化条件：实际电路的各向尺寸d远小于电路工作频率所对应的电磁波波长λ，即电路集中化条件：实际电路的各向尺寸d远小于电路工作频率所对应的电磁波波长λ，即 • 当实际电路的尺寸远小于其使用时的最高工作频率所对应的波长时，可以无须考虑电磁量的空间分布，相应的电路元件称为集中参数元件。由集中参数元件组成的电路，称为实际电路的集中参数电路模型或简称为集中参数电路。描述电路的方程一般是代数方程或常微分方程。 • 如果电路中的电磁量是时间和空间的函数，使得描述电路的方程是以时间和空间为自变量的代数方程或偏微分方程，则这样的电路模型称为分布参数电路。

例1.1.1我国电力用电的频率是50Hz，则该频率对应的波长 可见，对以此为工作频率的实验室设备来说，其尺寸远小于这一波长，因此它能满足集中化条件。而对于数量级为103km的远距离输电线来说，则不满足集中化条件，不能按集中参数电路处理。例1.1.3对无线电接收机的天线来说，如果所接收到信号频率为400MHz，则对应的波长为因此，即使天线的长度只有0.1m，也不能把天线视为集中参数元件。

1.2 电路变量 • 分析电路需要对电路进行数学描述，这种描述是由电路的一些物理量，如电压、电流、电荷、磁通、功率和能量等来表示的。这些物理量统称为电路变量或网络变量。其中电压和电流是描述电路特性的两个基本变量 • 电流：单位时间内通过导体横截面的电量，用i表示。电流的方向规定为正电荷运动的方向。如果电流的大小和方向不随时间变化，则称为恒定电流或直流电流，否则称为时变电流。若时变电流的大小和方向都随时间周期性变化，则称为交变电流。

（a）实际方向与参考方向一致 （b）实际方向与参考方向相反 • 分析复杂电路时往往难以事先判断某支路电流的实际方向，因此分析电流时先假定一个方向，称为参考方向，通常用带有箭标的线段表示，也可以采用双下标字母表示，如Iab表示电流的参考方向由a端指向b端。当电流实际方向与参考方向一致时，电流的数值就为正值；反之，当电流的实际方向与参考方向相反时，则电流的数值为负值。电流的实际方向与参考方向的关系：

电压：库仑电场力将单位正电荷由电场中的a点移动到b点所作的功称为a、b两点间的电压，用u表示。如果正电荷由a移动到b获得能量，则a点为低电位，即负极，b点为高电位，即正极。电压的方向为正极指向负极。为便于分析计算，电压也引入参考方向。参考方向可以任意假定，通常采用“＋”、“－”极性符号表示，也可以采用双下标字母表示，并规定由前一个字母（高电位端）指向后一个字母（低电位端）。电压参考极性的表示：

分析电路时，既要为流经元件的电流假设参考方向，也要为元件两端的电压假设参考方向，它们彼此可以独立无关。但为了方便起见，常常采用一致参考方向，即电流参考方向与电压 “＋”极到“－”极的参考方向一致，于是在电路图上只需标出电流参考方向或电压参考方向即可。一致参考方向也称为关联参考方向。一致参考方向：

当任意一个二端电路元件的电压和电流取一致参考方向时，其吸收（即外界输入）的功率为 • 功率是指某一段电路吸收或提供能量的速率。功率用符号p表示。功率的参考方向：一段电路在电压、电流取一致参考方向的情况下，功率的参考方向指定为进入该电路。

一段电路在电压电流取一致参考方向下，从t0到t的时间内该部分电路吸收的能量为 1.3 电路基本规律 1.3.1 图论的基础知识与基本结论 • 图是一组节点和一组支路的集合，且每条支路的两端必须终止在两个节点上。电路及其图：

全部节点都为支路所连通的图称为连通图，否则称为非连通图。 • 各支路都标有参考方向（用箭标表示）的图称为有向图，否则称为无向图。

n端元件及其有向图：选端钮n作为参考点 • 对于一个多端元件的两个端钮，如果在任一时间t，从一个端钮流入的电流等于从另一个端钮流出的电流，则称这两个端钮为一个端口。若多端元件的端钮能两两组成端口，则称为多端口元件。二端口元件及其有向图：

给定图G和Gi，如果Gi的每个节点都是图G中的节点，每条支路都是图G中的支路，则称图Gi是图G的子图。 图G的子图 • 给定图G的一个子图Gi，如果Gi是连通的，且其每一个节点仅与两条支路相关联，则称这个子图Gi为回路。

给定图G的一个子图Gi，如果Gi是包含图G中的所有节点而不形成回路的连通图，则称子图Gi为连通图G的一个树。图G中构成树的支路称为树支，而把图G中除去树支以外的支路称为连支 • 设一图G，如果将其画在平面上，且不出现两条支路交叉于一个非节点处，那么称图G为平面图。否则称为非平面图。

平面图与非平面图： • 对于平面图G的一回路，如果在回路所限定的区域内不包含支路，则称该回路为网孔。网孔是一种特殊的回路，它包括内网孔和外网孔。 • 对于连通图G的任一支路集，如果移去该集的所有支路，能使图G分成两个分离部分，然而只要少移去其中的任一支路，图仍然是连通的，则此支路集称为图G的一个割集。

图G的部分割集： • 对于任意一个连通图G，选定一个树后，由一条连支和若干条树支构成的回路称为基本回路 (或单连支回路)。基本回路的参考方向一般取与连支的参考方向一致。对于一个连通图，确定其割集的一个比较方便的方法是先作一个高斯面（闭合曲面），然后看高斯面切割到的一组支路是否满足割集的定义。

对于任意一个连通图G，选定一个树，每条树支总能和若干条连支构成一个割集，这种仅包含一条树支的割集称为基本割集（或单树支割集）。基本割集的参考方向一般取与树支的参考方向一致。对于任意一个连通图G，选定一个树，每条树支总能和若干条连支构成一个割集，这种仅包含一条树支的割集称为基本割集（或单树支割集）。基本割集的参考方向一般取与树支的参考方向一致。图G的基本割集：选定树支集为{2,3,5}

对于一个具有n个节点、b条支路的连通图G，其树支数必为n1，其连支数必为b(n1)。其基本割集数nt必为n1，基本回路数，即独立回路数l等于连支数。即支路数与节点数和基本回路数的关系为 1.3.2 基尔霍夫电流定律 • 基尔霍夫电流定律（简记为KCL）可表述为：对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一时刻，流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和等于零。基尔霍夫电流定律又称基尔霍夫第一定律，其物理背景是电荷守恒公理。

节点① i1i20 节点② i2i3i40 节点③ i4i50 节点④ i1i3i50 例：对图示电路应用KCL，取流出节点的电流为正节点应用KCL建立电路方程时，根据各支路电流的参考方向，既可规定流出节点的电流为正，也可规定流入节点的电流为正，两种取法任选一种。

节点① i1i20 节点② i2i3i40 节点③ i4i50 节点④ i1i3i50 例： KCL适用于任何集中参数电路，与元件的性质无关。由KCL所得到的电路方程是线性齐次代数方程。把上面的四个方程相加，可以发现所得方程为0≡0。所以对任一具有n个节点，b条支路的，电路列写KCL方程，所得方程组中的独立方程只有n1个。所以一般先选定参考节点，然后对除去参考节点外的其它n1个独立节点列写KCL方程。

KCL通常适用于集中参数电路的节点，但对电路中任一割集（或闭合面）也是成立的，即：对于任一集中参数电路中的任一割集（或闭合面），在任一时刻，流出（或流入）该割集（或闭合面）的所有支路电流的代数和等于零。KCL通常适用于集中参数电路的节点，但对电路中任一割集（或闭合面）也是成立的，即：对于任一集中参数电路中的任一割集（或闭合面），在任一时刻，流出（或流入）该割集（或闭合面）的所有支路电流的代数和等于零。 KCL应用于闭合面：

u1u2u40 回路l1 u4u5u60 回路l2 u2u3u50 回路l3 1.3.3 基尔霍夫电压定律 • 基尔霍夫电压定律(简记为KVL)可表述为：对于任一集中参数电路中的任一回路，在任一时刻，沿该回路所有支路电压的代数和等于零例：基尔霍夫电压定律又称基尔霍夫第二定律，其物理背景是能量守恒公理。

KVL适用于任何集中参数电路，它与元件性质无关。由KVL所得到的电路方程是线性齐次代数方程，它表明了构成回路的各支路电压所受的线性约束。KVL适用于任何集中参数电路，它与元件性质无关。由KVL所得到的电路方程是线性齐次代数方程，它表明了构成回路的各支路电压所受的线性约束。对任一具有n个节点，b条支路的电路列写KVL方程，其独立方程数等于独立回路数。独立的KVL方程数为b (n1)。 1.3.4 关联矩阵和基尔霍夫定律的矩阵形式 • 具有n个节点、b条支路的有向图的关联矩阵Aa的第(i，k)个元素

例1.3.3试求图(a)所示有向连通图的关联矩阵Aa 解：图(a)所示有向连通图具有4个节点和5条支路，首先对其节点和支路进行编号，如图(b)所示。将支路编号按序写在对应的列上，节点编号按序写在对应的行上。根据定义写出关联矩阵如下

Aa中的任意一行都可由其它的n1行来确定。因此，可以把Aa中的任意一行删去，便得到一个具有n1行和b列的矩阵，其秩为n1，称之为降阶关联矩阵 例：只要给定一个有向图，就能求得关联矩阵Aa或降阶关联矩阵A；反之，对任意一个给定的关联矩阵Aa或降阶关联矩阵A，也能画出对应的有向图。

例1.3.4已知关联矩阵Aa，试画出其对应的有向图 解：画有向图时，可以先画出全部节点，然后根据关联矩阵的表达式画出节点间的相关支路。

具有n个节点、b条支路的有向图的网孔矩阵Mm的第(i，k)个元素具有n个节点、b条支路的有向图的网孔矩阵Mm的第(i，k)个元素例1.3.5求图示有向连通图的网孔矩阵Mm。把Mm中的任意一行删去，便得到降阶网孔矩阵M

KCL方程的矩阵形式： Aib= 0 • KCL和KVL的矩阵形式 ib为支路电流向量ib=[i1, i2, ..., ib]T ib = MTim im为网孔电流向量 im=[im1, im2, ..., im(b-n+1)]T ub = ATun KVL方程的矩阵形式： Mub= 0

1.3.5 特勒根定理 • 对于具有n个节点和b条支路的两个集中参数电路N和，它们可以由不同的元件构成，但却有相同的有向图。若二者的支路电压向量和支路电流向量分别用ub = [u1, u2,...,ub]T、ib=[i1, i2, ..., ib]T及表示，支路电压、、电流取一致参考方向，则有

例1.3.6 上两个电路在不同时刻的支路电流和支路电压值如下表验证它们分别满足KCL和KVL。

解：通过下列计算，可以得出 从而验证了特勒根功率定理和特勒根似功率定理。

1.4 电阻电路元件 1.4.1 电阻元件 • 一个二端元件，如果在任一时间t，其端钮间的电压（简称端电压）u和通过其中的电流i之间的关系是由ui平面（或iu平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电阻元件，简称电阻。ui平面（或iu平面）上的这条曲线称为电阻在时间t的伏安特性曲线。 • 电阻按照它的电压电流关系是线性还是非线性的，可以分为线性电阻和非线性电阻；根据它的电压电流关系与时间的关系，还可以分为时变电阻和非时变电阻。

线性非时变电阻 • 线性时变电阻

线性非时变电阻吸收的瞬时功率 • 电阻元件的功率和能量对任一时刻t0，线性非时变电阻从时刻t0到时刻t所吸收的（电）能量为如果电路元件在所有的时刻t，只吸收能量而不提供能量，则称该电路元件为无源元件。一个电路元件为无源元件的充要条件是：

1.4.2 独立电源 • 独立电源是实际电源的理想化电路元件模型，包括（独立）电压源和（独立）电流源。电压源是理想电路元件，其电压电流关系为对任意的i 电压源符号及其伏安特性曲线

电流源是理想电路元件，其电压电流关系为 对任意的u 电流源符号及其伏安特性曲线对于独立电源来说，其端口电压和端口电流的参考方向可以任意选取。端口电压和端口电流取非一致参考方向，则乘积ui等于电源所发出的功率；如果u、i取一致参考方向，则乘积ui等于电源所吸收的功率

例1.4.1试计算图示电路中每个电阻消耗的功率，并通过计算电压源和电流源所提供的功率，确定电阻消耗功率的来源。例1.4.1试计算图示电路中每个电阻消耗的功率，并通过计算电压源和电流源所提供的功率，确定电阻消耗功率的来源。解：在图示电路中，电阻消耗的功率为电流源输出的功率为

电压源输出的功率为 负号表示电压源不输出功率而是吸收功率，即电流源对电压源充电。可见，电阻消耗的功率全是由电流源提供的

(1) 直流波形 • 几种基本波形 (2) 正弦波形 (3) 单位阶跃波形

单位阶跃函数具有信号起始作用，可以用来规定任意波形的起始点。任何一个函数f(t)乘以单位阶跃函数后，其乘积在单位阶跃跳变之前为零，而在单位阶跃跳变之后则为f (t)。单位阶跃函数的开关功能

(4) 单位脉冲波形 单位脉冲波形可以由阶跃波形和延迟阶跃波形组合而成

(5) 单位冲激波形  (tt0)表示在tt0处的单位冲激函数，称为延迟单位冲激函数 1）筛分性质

2）冲激函数可以用来表示一个任意波形 3）冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激函数的积分。此外，对单位阶跃函数积分可得单位斜坡函数对单位冲激函数求导，则可得单位对偶冲激函数

1.4.3 受控电源 可分为四类：电压控制型电流源（VCCS）、电流控制型电流源（CCCS）、电压控制型电压源（VCVS)和电流控制型电压源（CCVS）

受控电源吸收的功率为 例：计算受控电源吸收的功率受控电源吸收的功率为负值，即受控电源是向负载RL提供功率。因此受控电源是一种有源元件。

受控电源是一种常用的电路元件，在电路中常被用来模拟电子器件中所发生的物理现象。如晶体三极管用受控电源表示的模型 1.4.4 运算放大器一种有广泛用途的电子器件。由于可以模拟加法、减法、积分等运算而得名。虽然运算放大器有多种型号，内部结构也不相同，但从电路分析的角度出发，人们感兴趣的是该器件的外部特性

运算放大器的符号及其输入–输出特性曲线 在电路分析中常用理想运算放大器 Ri→∞ Ro0 A→∞ 理想运算放大器两个重要特性 1) 虚短：u+u– 2) 虚断：输入电流等于零

例1.4.3图示为反相放大器，试求其输出电压uo与输入电压uS之间的关系 解：根据图示电路，由“虚断” 可知，i1i2；由“虚地” 可知，反相输入端电压为零。因此，有即

1.4.5 理想变压器 理想变压器是实际变压器的理想化模型。它是一种二端口元件理想变压器也可用受控电源组成的模型来表示

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