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斐波那契数列 在初中数学竞赛中的应用

斐波那契数列 在初中数学竞赛中的应用. 温州新星学校 易永彪 yyb173@126.com. 1 2 3 5 8 13 21 34 55 + 89 ??. 数学活动：. “ 十秒 钟加数”. 请用 十秒， 计算 出左 边 一 条加数 的答案。. 时间到 ！. 答案是 231. 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 + 2584 ????. 数学活动：. “ 十秒 钟加数”. 换一个试试 ！. 时间到 ！. 答案是 6710 。.

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斐波那契数列 在初中数学竞赛中的应用

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  1. 斐波那契数列 在初中数学竞赛中的应用 温州新星学校 易永彪 yyb173@126.com

  2. 1 2 3 5 8 13 21 34 55+ 89 ?? 数学活动： “十秒钟加数” 请用十秒，计算出左边 一条加数的答案。 时间到！ 答案是231.

  3. 34 55 89 144 233 377 610 987 1597+ 2584 ???? 数学活动： “十秒钟加数” 换一个试试！ 时间到！ 答案是6710。

  4. 1 2 3 5 8 13 21 34 55+ 89 231 34 55 89 144 233 377 610 987 1597+ 2584 6710 细看这两个数列：       您有什么发现吗？  

  5. 问题的提出 • 在 1202 年，斐波那契在他的著作中，提出以下的一个问题： • 假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡，问：一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子? 这就是著名的“兔子问题”

  6. 合作探究： 1 月 1 对

  7. 合作探究： 1 月 1 对 2 月 1 对

  8. 合作探究： 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对

  9. 合作探究： 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对

  10. 合作探究： 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对

  11. 合作探究： 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 6 月 8 对

  12. 合作探究： 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 6 月 8 对 7 月 13 对

  13. 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 归纳小结： • 可以将结果以表格形式列出： 1 1 2 3 5 8 21 89 13 34 55 144 • 因此，兔子问题的答案是 144 对。 • 以上的数列，是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘全书》中提出的，亦被称为“斐波那契数列”

  14. 斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，… 数列中的每一个数都被称为斐波那契数。 这个数列有着十分明显的特点，那是： 前面相邻两项之和，构成了后一项。 （n为正整数）

  15. 即： 与 有什么关系吗？ 开放探索 连续10个斐波那契数之和，与第7个数有什么关系吗？ 我们发现： 现在你知道“十秒钟加数”的秘密了吗？

  16. 1 2 3 5 8 13 21 34 55+ 89 ?? “十秒钟加数”的秘密： • 我们发现： 连续10个斐波那契数之和，必定等于第7个数的11倍！ • 所以右式的答案是： 21  11 = 231

  17. 34 55 89 144 233 377 610 987 1597+ 2584 ???? “十秒钟加数”的秘密： • 又例如： • 右式的答案是： 610  11 = 6710

  18. 尝试成功 下图是一个树形图的生长过程，依据图中 所示的生长规律，第16行的实心圆点的个 数是．（迎春杯赛题） 610

  19. 例题讲解 一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级 台阶或二级台阶，从地面到最上面一级台阶， 一共可以有多少种不同的走法？ 加法原理 分析： 1级台阶，有1种； 2级台阶，有 1、1； 2， 共2种； 3级台阶，有 1、1、1； 1、2； 2、1； 共3种； 1、1、2； 1、2、1； 4级台阶，有 1、1、1、1； 2、1、1； 2、2； 共5种； 5级台阶， 若第一次迈1级台阶，还剩4级，有几种？ 若第一次迈2级台阶，还剩3级，有几种？ 你有什么发现？

  20. 变式训练 一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级 台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶。从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的走法？ 分析： 1级台阶，有1种； 2级台阶，有 1、1； 2， 共2种； 3级台阶，有 1、1、1； 1、2； 2、1； 3； 共4种； 4级台阶，有 1、1、1、1； 1、1、2； 1、2、1； 2、1、1； 2、2； 1、3； 3、1； 共7种； 那5级台阶呢？ 那6级台阶呢？ 那7级台阶呢？ 你又有什么发现呢？

  21. 考考你： 1、一只青蛙从宽5米的水田的一边要跳往另一边,它每次只能跳0.5米,或1米,这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法? 共有89种 2、有一堆火柴共12根，如果规定每次取 1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？ 共有927种

  22. 3、如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳1步或2步；小张从C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。试比较：谁跳到目标处的不同跳法多？多几种？3、如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳1步或2步；小张从C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。试比较：谁跳到目标处的不同跳法多？多几种？ 小张的不同跳法多，多5种。 小方要跳11步、小张要跳9步。 小方有144种， 小张有149种，

  23. 综合创新 斐波那契数列是1，1，2，3，5，8，13，……， 它的前两项都是1，之后的每一项都等于前两项 的和。 问题1：在斐波那契数列的前2010项中， 有多少个偶数？ 问题2：在斐波那契数列的前2010项中， 有多少项的末位数等于2？

  24. 问题2：在斐波那契数列的前2010项中， 有多少项的末位数等于2？ 分析：显然要尝试按模10计算，即只考察其个位数 且寻求其重复的循环规律。 前一半部分 9 9 8 7 5 2 7 …… 后一半部分 问题3：根据刚才探索的经验，你能尝试提出一个 新的问题吗？让你的同伴进行解决。

  25. 本节课你学到什么？ 有什么收获？

  26. 同学们再见！ 谢 谢

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