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橢圓方程式 有限差分離散：一維問題

橢圓方程式 有限差分離散：一維問題. 教師授課 2 及 3. 模型問題 一維波桑方程式. 邊界值問題 (BVP). 可描述許多簡單的物理現象 ( 例如 ) ： 彈性棒之變形 張力作用下弦之變形 棒之溫度分佈. 模型問題 一維波桑方程式解的性質. 解 總是存在. 總是較數據 “ 平滑 ”. 若對於所有 , , 則對於所有 ,. 已知 則解 為唯一. 數值解有限差分 離散.

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橢圓方程式 有限差分離散：一維問題

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  1. 橢圓方程式有限差分離散：一維問題 教師授課 2 及 3

  2. 模型問題一維波桑方程式 邊界值問題 (BVP) • 可描述許多簡單的物理現象 (例如)： • 彈性棒之變形 • 張力作用下弦之變形 • 棒之溫度分佈

  3. 模型問題一維波桑方程式解的性質 • 解 總是存在 • 總是較數據 “平滑” • 若對於所有 , , 則對於所有 , • 已知 則解 為唯一

  4. 數值解有限差分離散 將區間 細分成 個相等的子區間，則 其中

  5. 數值解有限差分近似 例如 … 對於小

  6. 數值解有限差分方程 則 …

  7. 數值解有限差分方程 (對稱)

  8. 數值解有限差分解 是否非奇異？ 對任意 ( 為對稱正定) 因此 對任意 存在且唯一

  9. 數值解有限差分範例… 其中 令

  10. 數值解有限差分…範例

  11. 數值解有限差分收歛性？ 1. 離散解 是否仍保有連續解 之定性性質？ 2. 當 時解是否更精確？ 3.對於 是否可使 任意變小？

  12. 離散誤差分析A-1的性質 令 • 非負數 當 • 界限 當

  13. 離散誤差分析 的定性性質 若 當 則 當

  14. 離散誤差分析 的定性性質離散穩定性

  15. 離散誤差分析捨位誤差 對任意 可證明 令

  16. 離散誤差分析誤差方程式 令 為離散誤差 相減得 且

  17. 離散誤差分析誤差方程式

  18. 離散誤差分析收斂性 利用離散穩定性估計 或 A-先驗誤差估計

  19. 離散誤差分析數值範例

  20. 離散誤差分析數值範例 範例： 漸近於，

  21. 離散誤差分析摘要 • 對於簡單模型問題可求得任意精度之數值近似。 • a-先驗誤差估計使得解的誤差大小漸近相依於 • 離散尺度 的大小。

  22. 廣義定義 考慮一線性橢圓微分方程式 及一差分型式

  23. 廣義一致性 差分型式與微分方程式一致，若： 對所有平滑函數 其 當 對所有 為精度階

  24. 廣義捨位誤差 其 或 將正合解代入差分式中可求得捨位誤差。 一致性

  25. 廣義誤差方程式 原始型式 一致性 誤差 滿足

  26. 廣義穩定性 矩陣範數 差分型式為穩定若 (與 無關)

  27. 廣義穩定性 (最大列和)

  28. 廣義收斂性 誤差方程式 取範數

  29. 廣義性總結 一致性 + 穩定性  收斂性 收斂性 穩定性 一致性

  30. 特徵值問題模型問題敘述 求非平庸解 得 指定解 其中

  31. 特徵值問題應用軸向負荷樑 • “小” 撓曲 • 外力 平衡

  32. 特徵值問題正合解 或

  33. 特徵值問題正合解 因此 (選取 ) 較大 較大震盪 較大

  34. 特徵值問題正合解

  35. 特徵值問題離散方程差分公式

  36. 特徵值問題離散方程矩陣型

  37. 特徵值問題誤差分析 解析解： 宣稱 因為 注意

  38. 特徵值問題誤差分析 解析解：

  39. 特徵值問題誤差分析 解析解： 何謂 ?

  40. 特徵值問題誤差分析 解析解： 因此：

  41. 特徵值問題誤差分析結論… 低模： 對於固定 , : 二階收斂

  42. 特徵值問題誤差分析結論… 高模： 對於 當 高模( ) 不精確。

  43. 特徵值問題誤差分析結論… 低模 vs.高模 範例：

  44. 特徵值問題誤差分析結論… 低模 vs.高模 可解 不可解 精確 不精確 為 但是：當 , , 則任意固定模 收斂。

  45. 特徵值問題誤差分析結論…

  46. 特徵值問題誤差分析結論…

  47. 特徵值問題A之條件數 對一 對稱正定矩陣 , 其條件數 為 之最大特徵值 = 之最小特徵值 因此，對於矩陣 當 (在 ) 以格點數平方成長。 重要性： 瞭解求解程序。

  48. 特徵值問題連結至 …離散… 回憶： 或

  49. 特徵值問題連結至 …離散… 誤差方程式： 對於 (一致性) 當

  50. 特徵值問題連結至 範數定義 通常使用 “修正” 範數 對於 因此，由一致性可得

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