第二节二次型

第二节二次型 • 二次型的定义 • 矩阵的合同 • 用拉格朗日配方法化二次型为标准形 • 用合同变换法化二次型为标准形

1. 引言 在解析几何中 为了便于研究二次曲线 ax2bxycy21 的几何性质 我们可以选择适当的坐标旋转变换一、二次型的定义把方程化为标准形 mx2ny21 化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式 使它只含有平方项

2.二次型的定义 含有n个变量x1x2xn的二次齐次多项式 f(x1x2xn)a11x12 2a12x1x2 + 2a13x1x3    2a1nx1xn +a22x22 2a23x2x3  2a2nx2xn  annxn2 称为二次型 >>> 令aijaji则 fxTAxA是一个对称矩阵 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵f 也叫做对称矩阵A的二次型 对称矩阵的秩就叫做二次型 f 的秩

xCy • 二次型的标准形与规范形对于二次型 我们讨论的主要问题是 寻求可逆的线性变换xCy 使二次型只含平方项 fk1y12k2y22knyn2 这种只含平方项的二次型 称为二次型的标准形(或法式) 如果二次型的标准形形如 fy12y22yp2yp12yn2 则这种标准形称为二次型的规范形 注

根据二次型与其矩阵的对应关系，该问题也就是：根据二次型与其矩阵的对应关系，该问题也就是：对一个实对称矩阵A ,寻求一个可逆矩阵C，使 CTAC =∧

二、合同矩阵 1.定义A、B为n 阶方阵，若有可逆矩阵C使BCTAC则称矩阵A与B合同 记为： 2. 性质（1）基本性质：自反、对称、传递（2）合同变换不改变矩阵的秩；（3）若A为对称阵 则BCTAC也为对称阵。事实上BT(CTAC)TCTATCCTACB即B为对称阵 又因为BCTAC而C可逆 从而CT也可逆 即R(B)R(A)

根据矩阵合同的定义，将二次型化为标准形的问题即是： 对于实对称矩阵A,求一个可逆矩阵C，使A合同于对角矩阵∧，即

三、用配方法化二次型成标准形 例1化二次型 f 为标准形 并求所用的变换矩阵 其中 fx122x225x322x1x22x1x36x2x3 解配方可得 fx122x1x22x1x32x225x326x2x3 (x1x2x3)2 x22x322x2x3 2x225x326x2x3 (x1x2x3)2 x224x2x34x32 (x1x2x3)2(x22x3)2 提示 由于 f 中含变换x1的平方项 故把含x1的项归并起来

例1化二次型 f 为标准形 并求所用的变换矩阵 其中 fx122x225x322x1x22x1x36x2x3 配方可得 fx122x1x22x1x32x225x326x2x3 解 (x1x2x3)2(x22x3)2 就把 f 化成标准形(规范形) f y12y22 所用变换矩阵为

例2化二次型 f 为规范形 并求所用的变换矩阵 其中 f2x1x22x1x36x2x3 解先作变换可得f2y122y224y1y38y2y3 提示 f 中不含平方项 令 x1y1y2x2y1y2 则 x1x2y 12y22 出现了平方项。

例2化二次型 f 为规范形 并求所用的变换矩阵 其中 f2x1x22x1x36x2x3 解先作变换可得f2y122y224y1y38y2y3 再配方 得提示 f2(y1y3)22(y22y3)26y32 f2y122y224y1y38y2y3 2(y1y3)2 2y228y2y32y32 2(y1y3)22(y22y3)2 6y32

例2化二次型 f 为规范形 并求所用的变换矩阵 其中 f2x1x22x1x36x2x3 解先作变换就把 f 化成规范形 fz12z22z32 所用的变换矩阵为可得f2y122y224y1y38y2y3 再配方 得 f2(y1y3)22(y22y3)26y32

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