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第七章 矩阵理论与方法的应用

第七章 矩阵理论与方法的应用. 第二节 投入产出数学模型. 在经济活动中分析投入多少财力、物力、 人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高 低的主要标志。投入产出技术正是研究一个 经济系统各部门间的“ 投入 ”与“ 产出 ”关系的 数学模型，该方法最早由美国著名的经济学 家 瓦 . 列昂捷夫 （ W.Leontief ）提出，是目前 比较成熟的经济分析方法。. 一、投入产出数学模型的概念. 投入 ～从事一项经济活动的消耗； 产出 ～从事经济活动的结果； 投入产出数学模型 ～通过编制投入产出表，运 用线性代数工具建立数学模型，从而揭示

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第七章 矩阵理论与方法的应用

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  1. 第七章 矩阵理论与方法的应用 第二节 投入产出数学模型

  2. 在经济活动中分析投入多少财力、物力、 人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高 低的主要标志。投入产出技术正是研究一个 经济系统各部门间的“投入”与“产出”关系的 数学模型，该方法最早由美国著名的经济学 家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前 比较成熟的经济分析方法。

  3. 一、投入产出数学模型的概念 投入～从事一项经济活动的消耗； 产出～从事经济活动的结果； 投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运 用线性代数工具建立数学模型，从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。

  4. 表7.1：投入产出表

  5. 投入产出表描述了各经济部门在某个时期 的投入产出情况。它的行表示某部门的产出； 列表示某部门的投入。如表7.1中第一行x1表 示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用 量， (j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用 量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、 政府使用、出口和社会储备等）为 (j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这 个时期的总产出水平。

  6. 投入产出的基本平衡关系 从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 (7-9) 从上到下：中间消耗＋净产值＝总投入 (7-10) 由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)： (7-11) (7-12)

  7. 需求平衡方程组： (7-13) 投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)： (7-14) (7-15)

  8. 由(7-11)和(7-14)，可得 (7-16) 这表明就整个国民经济来讲，用于非生 产的消费、积累、储备和出口等方面产品的 总价值与整个国民经济净产值的总和相等。

  9. 二、直接消耗系数 定义7.2.1第j部门生产单位价值所消耗第i部 门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗 系数，记作 。 由定义得 (7-17) 把投入产出表中的各个中间需求 换成相应 的 后得到的数表称为直接消耗系数表，并 称n阶矩阵 为直接消耗系数矩阵。

  10. 例1已知某经济系统在一个生产周期内投入 产出情况如表7.2，试求直接消耗系数矩阵。 表7.2

  11. 解 由直接消耗系数的定义 ，得直接 消耗系数矩阵 直接消耗系数 具有下面重 要性质： 性质7.2.1 性质7.2.2

  12. 由直接消耗系数的定义 ，代入(7-17)，得 (7-18) 令 ， (7-18)式可表示为 ，或 (7-19) 称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。

  13. 类似地把 代入平衡方程(7-14)得到 (7-20) 写成矩阵形式为 (7-21) 其中

  14. 定理7.2.1列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。 如果各部门的最终需求 已知，则由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一 解 。 例2设某工厂有三个车间，在某一个生产周 期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求 如表7.3，求各车间的总产值。

  15. 表7.3 解

  16. 即三个车间的总产值分别为400，300，350。

  17. 定理7.2.2方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆 的。 证明 因 由性质7.2.2知， ，故 所以E-D可逆。

  18. 三、完全消耗系数 直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗， 不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出 如下定义。 定义7.2.2第j部门生产单位价值量直接和间 接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部 门对第i部门的完全消耗系数，记作 。

  19. 由 构成的n阶方阵 称为各部门间的 完全消耗系数矩阵。 定理7.2.3 第j部门对第i部门的完全消耗系数 满足方程 定理7.2.4 设n个部门的直接消耗系数矩阵为 A，完全消耗系数矩阵为B，则有

  20. 证明 由定理7.2.3知， 将 个等式用矩阵表示为 由定理7.2.1知(E-A)可逆，故

  21. 例3假设某公司三个生产部门间的报告价值 型投入产出表如表7.4， 表7.4 求各部门间的完全消耗系数矩阵。

  22. 解 依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中 各列，得到直接消耗系数矩阵为

  23. 故所求完全消耗系数矩阵为 由此例可知，完全消耗系数矩阵的值比直接 消耗系数矩阵的值要大的多。

  24. 定理7.2.5 如果第j部门最终需求增加 ，而 其他部门的最终需求不变，那么部门总产出 X的增量为 其中 为单位坐标向量。 证明 由定理7.2.4知 ，将此 关系代入方程(7-19)，得

  25. 由定理假设，部门最终需求增量 于是

  26. 定理7.2.5表明，由第j部门最终需求的增加 （其他部门的最终需求不变），引起了各部门 总产值的增加。 从数量上表示了各 部门的增加量。如果没有这些追加，第j部门要 完成增加 最终需求的任务就不能实现。 如果定理7.2.5的结论用分量表示

  27. 特别取 ，则有 上式的经济意义是，当第j部门的最终需求 增加一个单位，而其他部门最终需求不变时， 第i部门总产值的增加量为 ，当第i部门的最终 需求增加一个单位而其他部门的最终需求不变 时，第i部门总产值的增加量为 。

  28. 若令 用矩阵表示为 将 代入上式，则

  29. 例4利用例1中的数据，求完全消耗系数矩阵B。 解 由例1知直接消耗系数矩阵 于是有

  30. 最后得完全消耗系数矩阵

  31. 四、投入产出实现模型的简单应用 投入产出法来源于一个经济系统各部门生 产和消耗的实际统计资料。它同时描述了当时 各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产 品供应与需求的平衡关系，因而在实际中有广 泛应用。在经济分析方面可以用于结构分析， 还可以用于编制经济计划和进行经济调整等。

  32. 编制计划的一种作法是先规定各部门计 划期的总产量，然后计算出各部门的最终需 求；另一种作法是确定计划期各部门的最终 需求，然后再计算出各部门的总产出。后一 种作法符合以社会需求决定社会产品的原则， 同时也有利于调整各部门产品的结构比例， 是一种较合理的作法。

  33. 例5给定价值型投入产出表7.5，预先确定 计划期各部门最终需求如表7.6。根据投入产 出表中的数据，算出报告期的直接消耗系数 矩阵A。假定计划期同报告期的直接消耗系数 是相同的，因此把A作为计划期的直接消耗系 数矩阵。再按公式 算出总产 出向量X。

  34. 表7.5（单位：万元） 表7.6（单位：万元）

  35. 解 通过数值计算得到

  36. 由 得出总产出向量

  37. 这样得到各部门在计划期的总产出依次是(万元)：这样得到各部门在计划期的总产出依次是(万元)： 如果各部都能完成计划期的上述总产出值，那 么就能保证完成各部门最终需求的计划任务。 在求出了各部门总产出 之 后，根据公式 可计算 各部门间应提多少中间需求 。具体数值表如 表7.7。

  38. 表7.7

  39. 例6某地有三个产业，一个煤矿，一个发电 厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付 0.25元的电费及0.25元的运输费; 生产一元钱 的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元 的电费及0.05元的运输费; 创收一元钱的运输 费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电 费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定 货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界 对地方铁路没有需求。

  40. 问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身 及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？ 三个企业各创造多少新价值? 解 这是一个投入产出分析问题。设x1为本周 内煤矿总产值，x2为电厂总产值, x3为铁路总 产值, 则

  41. 设产出向量为 ， 外界需求向量为 ， 直接消耗矩阵为 。

  42. 则原方程为 ，其中E-A为列 昂捷夫矩阵。 由此解得 。 投入产出矩阵为

  43. 总投入向量为 新创造价值向量为

  44. 消耗部门 外界需求 总产出 煤 矿 电 厂 铁 路 生产 部门 煤矿 0 36506 15582 50000 102088 电厂 25522 2808 2833 25000 56163 铁路 25522 2808 0 0 28330 新创造价值 51044 14041 9915 总产出 102088 56163 28330 表7.8投入产出分析表(单位：元)

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