3.4 基本不等式 :

3.4基本不等式: 一正、二定、三相等

如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 ICM2002会标

欣赏体会丰富自我

在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为讲授新课 1．探究图形中的不等关系

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 探究图形变化过程当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有

2．得到结论： 3．思考：你能给出它的证明吗？证明：因为

特别的，如果a>0,b>0,我们用 分别代替a、b ，可得通常我们把上式写作 4．1）认识基本不等式

要证（1） a+b （2） a+b- 0 （3） 2）从不等式的性质推导基本不等式（-） 0 （4）用分析法证明：只要证要证（2），只要证要证（3），只要证显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

D 当且仅当a=b时，等号成立。 b F G a C A E H B D a A C b E(FGH) B 基本不等式1：一般地，对于任意实数a、b，我们有

算术平均数 几何平均数基本不等式2：当且仅当a=b时，等号成立。注意： 1、两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同.

剖析公式应用 深入探究揭示本质 2. 基本不等式可以叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.正用、逆用，注意成立的条件 ⑴ a、b是两个正数. ⑵当且仅当a=b时“＝”号成立 ’ 4.变形用

D A B a C b E 基本不等式的几何解释：半弦CD不大于半径

例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

1、当x>0时，的最小值为，此时x=。 1 2 2、已知则x y 的最大值是。 3、若实数，且，则的最小值是（） A、10 B、 C、 D、 D

本题小结： 用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=” 成立的诸条件是否相容。

作业： • P100 练习 1、2、3、4

谢谢大家！

3.4 基本不等式 :

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